Реферат

на тему:

Бульові функції

1. Алгебри бульових виразів і бульових функцій

7.1.1. Основні поняття

Множину {0, 1} позначимо літерою B. Множину всіх можливих послідовностей з 0 і 1 – Bⁿ. Такі послідовності за традицією будемо називати наборами або векторами довжини n. Очевидно, Bⁿ містить 2ⁿ елементів. Значення 0 і 1 називаються протилежними одне до одного.

Означення. Всюди визначена функція з Bⁿ у B називається n-місною функцією алгебри логіки або n-місною бульовою функцією.

Послідовність змінних (x₁, x₂, …, x_n) із значеннями у B позначимо . Бульова функція f() задається у вигляді таблиці, або графіка зі стандартним розташуванням наборів:

x1, x2, …, xn	f(x1, x2, …, xn)
0, 0, …, 0, 0	f(0, 0, …, 0, 0)
0, 0, …, 0, 1	f(0, 0, …, 0, 1)
0, 0, …, 1, 0	f(0, 0, …, 1, 0)
0, 0, …, 1, 1	f(0, 0, …, 1, 1)
…	…
0, 1, …, 1, 1	f(0, 1, …, 1, 1)
1, 0, …, 0, 0	f(1, 0, …, 0, 0)
…	…
1, 1, …, 1, 0	f(1, 1, …, 1, 0)
1, 1, …, 1, 1	f(1, 1, …, 1, 1)

Зауважимо, що в стандартному розташуванні набори можна розглядати як двійкові записи послідовних чисел від 0 до 2ⁿ-1. Функцію, задану зі стандартним розташуванням наборів, можна ототожнити з набором довжини 2ⁿ. Наприклад, двомісну функцію, задану таблицею

x y	f(x, y)
0 0	1
0 1	0
1 0	1
1 1	1

можна ототожнити з вектором (1011).

Далі іноді будемо позначати n-місну функцію f() як f⁽ⁿ⁾(), підкреслюючи кількість змінних, від яких вона залежить.

Очевидно, що множина всіх можливих наборів довжини 2ⁿ, тобто множина n-місних бульових функцій, складається з 2²ⁿ елементів. При n=0 це 2, при n=1 – 4, при n=2 – 16, при n=3 – 256 тощо.

Нуль-місними функціями є сталі 0 і 1.

Одномісні функції подано у наступній таблиці разом з виразами, якими ці функції позначаються:

x	0	1	x	x
0	0	1	0	1
1	0	1	1	0

Функції 0 і 1 називаються тотожними нулем і одиницею, функція x – тотожною, x – запереченням. Замість виразу x вживається ще вираз . Ці вирази читаються як "не x".

Подамо також деякі з 16 двомісних функцій разом із їх позначеннями:

x y	xy	xy	xy	xy	xy	x | y	xy
0 0	0	0	1	1	0	1	1
0 1	0	1	1	0	1	1	0
1 0	0	1	0	0	1	1	0
1 1	1	1	1	1	0	0	0

Функція, позначена виразом xy, називається кон'юнкцією і позначається ще як x&y, xy або xy. Усі ці вирази читаються як "x і y".

Функція, позначена виразом xy, називається диз'юнкцією. Вираз читається як "x або y".

Функція, позначена виразом xy, називається імплікацією і позначається ще як xy. Ці вирази читаються як "x імплікує y" або "з x випливає y".

Функція, позначена виразом xy, називається еквівалентністю і позначається ще як x~y або xy. Ці вирази читаються як "x еквівалентно y", що в даному випадку збігається з "x дорівнює y".

Функція, позначена виразом xy, називається додаванням за модулем 2 або "виключним або". Зауважимо, що її значення є протилежними до значень еквівалентності.

Функція, позначена виразом x|y, називається штрихом Шеффера і має значення, протилежні значенням кон'юнкції. Її вираз читається як "не x або не y".

Функція, позначена виразом xy, називається стрілкою Пірса і має значення, протилежні значенням диз'юнкції. Її вираз читається як "не x і не y".

Зауважимо, що інфіксні позначення наведених функцій вигляду x f y, де f – відповідний знак, склалися історично. Їх так само можна позначати й у вигляді f(x, y), наприклад, (x, y).

З тримісних функцій наведемо лише так звану функцію голосування m(x, y, z), графік якої має такий вигляд:

x y z	m(x, y, z)
0 0 0	0
0 0 1	0
0 1 0	0
0 1 1	1
1 0 0	0
1 0 1	1
1 1 0	1
1 1 1	1

Її назва зумовлена тим, що її значення на кожному наборі збігається з більшістю значень змінних у цьому наборі.

Множину всіх n-місних функцій позначимо P⁽ⁿ⁾, а множину всіх функцій, тобто об'єднання P⁽ⁿ⁾ по всіх n – P₂.

Перейдемо до означення таких понять, як алгебра бульових функцій і алгебра формул.

Алгебри бульових функцій, як і всі інші алгебри, визначаються своїми носіями та сигнатурами операцій. Носіями в алгебрах бульових функцій є множини функцій. Сигнатуру складає операція суперпозиції, або підстановки.

Означення. Нехай є n-місна функція f⁽ⁿ⁾() і n функцій g₁(y_1,1, y_1,2, …, y_1,m1), g₂(y_2,1, y_2,2, …, y_2,m2), …, g_n(y_n,1, y_n,2, …, y_n,mn), залежні від змінних з деякої їх множини Y={y₁, y₂, …, y_k}. Суперпозицією, або підстановкою функцій g₁, g₂, …, g_n у функцію f⁽ⁿ⁾ називається функція h^(m)(y₁, y₂, …, y_m), кожне значення якої h(₁, ₂, …, _m) визначається як

f⁽ⁿ⁾(g₁(_1,1, _1,2, …, _1,m1), g₂(_2,1, _2,2, …, _2,m2), …, g_n(_n,1, _n,2, …, _n,mn)).

Суперпозиція ще позначається як

S(f⁽ⁿ⁾; g₁(y_1,1, y_1,2, …, y_1,m1), g₂(y_2,1, y_2,2, …, y_2,m2), …, g_n(y_n,1, y_n,2, …, y_n,mn)).

Приклади.

1. h1(x, y, z)=S(; xy, yz) задається наступною таблицею:

x y z	xy	yz	h1(x, y, z)
0 0 0	0	1	0
0 0 1	0	1	0
0 1 0	1	0	0
0 1 1	1	1	1
1 0 0	1	1	1
1 0 1	1	1	1
1 1 0	1	0	0
1 1 1	1	1	1

2. h2(x, y)=S(; xy, yx) задається таблицею:

x y	xy	yx	h2(x, y)
0 0	0	1	0
0 1	1	0	0
1 0	1	1	1
1 1	1	1	1

Нехай є множина бульових функцій F. Утворюючи з них та їх суперпозицій усі можливі суперпозиції, ми одержимо множину функцій, яку позначимо [F]. Отже, маємо алгебру ([F]; S), породжену множиною функцій F. Інша множина функцій F₁ буде породжувати, взагалі кажучи, іншу алгебру ([F₁]; S). Наприклад, алгебри ({(0111), (0001)}; S) і ({(10), (0001)}; S).

Розглянемо тепер поняття алгебри формул (термів, або виразів). Нехай є множина функцій F. Кожній n-місній функції з F поставимо у взаємно однозначну відповідність символ, що її позначає (функціональний символ) f⁽ⁿ⁾. Нехай X – зліченна множина змінних (точніше, їх імен).

Означення.

1. Ім'я змінної є формулою.

2. Якщо f⁽ⁿ⁾ – функціональний символ, а T₁, T₂, …, T_n є формулами, то f⁽ⁿ⁾( T₁, T₂, …, T_n) є формулою.

3. Інших формул немає.

Це означення задає множину формул із функціональними символами з множини F, які одержуються за допомогою підстановок, тобто суперпозицій. Таким чином, ми маємо алгебру формул, породжену множиною функціональних символів F. Інша множина функціональних символів буде породжувати й іншу алгебру формул.

Зв'язки між алгебрами функцій і алгебрами формул встановлюють наступні два означення.

Означення. Значенням формули T на наборі значень змінних з множини X є:

1) значення змінної x, якщо T є змінною x;

2) f⁽ⁿ⁾(₁, ₂, …, _n), якщо T=f⁽ⁿ⁾(T₁, T₂, …, T_n), а формули T₁, T₂, …, T_n мають на цьому наборі значення відповідно ₁, ₂, …, _n.

Означення. n-місна бульова функція f⁽ⁿ⁾ задається формулою T, якщо всі змінні у формулі T є змінними з множини X, і при будь-якому наборі значень (₁, ₂, …, _n) цих змінних x₁, x₂, …, x_n значення формули дорівнює значенню f⁽ⁿ⁾(₁, ₂, …, _n).

Звідси випливає інше означення суперпозиції функцій.

Означення. n-місна бульова функція f⁽ⁿ⁾ є суперпозицією функцій f₁, f₂, …, f_n, якщо її можна задати формулою, усі функціональні символи якої є серед символів функцій f₁, f₂, …, f_n.

З наведених прикладів 1 і 2 видно, що функція h1(x, y, z) задається формулою ((x, y), (y, z)), або в інфіксному записі (xy)(yz). Аналогічно функція h2(x, y) задається формулою ((x, y), (y, x)), або (xy)(yx). Як бачимо, обидві функції задаються формулами з тими самими функціональними символами , , , тобто є суперпозиціями цих функцій.

Наостанок наведемо узгодження, які склалися в математиці й дозволяють у формулах з функціональними символами , , , , , , |,  записувати не всі необхідні дужки. ****

Суттєві та несуттєві змінні

Розглянемо поняття суттєвої залежності функції від її змінних. Почнемо з прикладів: значення функції h2(x, y) з прикладу 2 на кожному з наборів збігаються зі значеннями x. Отже, зміна значення y не впливає на значення функції, тобто вона фактично не залежить від y. В той час як зміна значення x веде до зміни значення h2. Уточнимо ці міркування наступними означеннями.

Означення. Змінна x_i функції f⁽ⁿ⁾(x₁, x₂, …, x_i, …, x_n) називається суттєвою, якщо існує хоча б одна пара наборів значень змінних

(₁, ₂, …, _i-1, 0, _i+1, …, _n) і (₁, ₂, …, _i-1, 1, _i+1, …, _n),

така, що

f⁽ⁿ⁾(₁, ₂, …, _i-1, 0, _i+1, …, _n)  f⁽ⁿ⁾(₁, ₂, …, _i-1, 1, _i+1, …, _n).

Змінна x_i називається несуттєвою у противному разі, тобто коли за всіх можливих пар наборів значень

(₁, ₂, …, _i-1, 0, _i+1, …, _n) і (₁, ₂, …, _i-1, 1, _i+1, …, _n)

мають місце рівності:

f⁽ⁿ⁾(₁, ₂, …, _i-1, 0, _i+1, …, _n) = f⁽ⁿ⁾(₁, ₂, …, _i-1, 1, _i+1, …, _n).

Наприклад, неважко переконатися, що всі змінні функції h1 з прикладу 1 є суттєвими. Функція h2 має суттєву змінну x і несуттєву y. Функція двох змінних, задана як вектор (1111), не має суттєвих змінних.

Еквівалентні формули та закони

Одна й та сама бульова функція задається, взагалі кажучи, багатьма різними формулами. Наприклад, неважко переконатися, що формули xy і xy обидві задають функцію (1101). Таким чином, можна говорити про еквівалентність цих двох формул.

Означення. Нехай **** Формули ₁ і ₂ називаються еквівалентними, якщо

2. Бульові функції та комбінаційні схеми

І-елемент АБО-елемент -елемент НЕ-елемент

a a a

b r b r b r a r

r = ab r = ab r = ab r = a

Розглянемо реалізацію бульових функцій у вигляді комбінаційних схем. Найпростішими з них є логічні елементи, відповідні бульовим функціям: кон'юнкції , диз'юнкції , додавання за модулем 2  та заперечення . Вони позначаються й зображаються таким чином:

Входи перших трьох елементів вважаються симетричними згідно законів комутативності, яким задовольняють кон'юнкція, диз'юнкція та додавання за модулем 2.

З наведених логічних елементів будуються складніші схеми, які в загальному випадку мають n входів і m виходів і реалізують набір з m функцій від n аргументів:

a₁ b₁

a₂ b₂

.

.

.

a_n b_m

Тут b_j=f_j(a₁, a₂, …, a_n), j=1, 2, …, m..

Приклади.

1. Побудуємо схему з І-, АБО- та НЕ-елементів, яка реалізує функцію . Виразимо її за допомогою функцій набору {, , }:

xy = xyxy.

x

y

Звідси відповідна схема має вигляд:

2. Побудуємо схему з І- та -елементів, яка реалізує функцію . Виразимо її за допомогою функцій набору {, , 1}:

xy = xyxy.

Звідси відповідна схема має вигляд:

x

y

3. Побудуємо схему з І-, АБО- та НЕ-елементів, яка реалізує так званий "однорозрядний напівсуматор"[****] з двома симетричними входами x, y і двома виходами: s = xy, d = xy. З цих формул видно, що схема має реалізувати додавання двох однорозрядних чисел із переносом. Виразимо s за допомогою функцій набору {, , }: s = xyxy. Тоді схема має вигляд:

x s

d

y

3. Замкнені та повні набори функцій. Критерій Поста повноти набору функцій

У підрозділі 7.1 ми побачили, що будь-яку бульову функцію можна задати як суперпозицію функцій з набору {, , } або з набору {, , 1}.

Означення. Множина всіх функцій, що є суперпозиціями функцій деякого набору F, і лише їх, називається замиканням цього набору й позначається [F].

Таким чином, якщо P₂ позначає множину всіх бульових функцій, то

{, , } = [{, , 1}] = P₂.

Означення. Множина функцій F називається функціонально повною, якщо F=P₂.

Отже, множини {, , } і {, , 1} є функціонально повними.

Природним є питання про те, які властивості повинні мати функціонально повні множини функцій.

Видатний математик Еміль Пост сформулював і обгрунтував критерій повноти множини функцій у загальному випадку алгебри функцій з операцією суперпозиції. У цьому критерії, тобто необхідній і достатній умові, використовується поняття передповного класу. Розглянемо його.

Нехай F позначає множину всіх можливих функцій деякої алгебри функцій A з операцією суперпозиції.

Означення. Множина функцій S називається передповним класом алгебри A, якщо SF і за будь-якої функції f з множини F\S набір S{f} є повним: S{f}=F.

Критерій Поста. Нехай S₁, S₂, … – усі передповні класи алгебри функцій F. Множина функцій M є повною тоді й тільки тоді, коли для кожного передповного класу S_i множина M містить fM\S_i.

Приймемо це твердження без доведення.

Пост також дослідив передповні класи алгебри бульових функцій. Їх виявилося лише 5. Це множини всіх функцій:

що зберігають сталу 0,

що зберігають сталу 1,

самодвоїстих,

лінійних,

монотонних.

Означимо вказані функції.

Означення. Функція f⁽ⁿ⁾ зберігає сталу 0, якщо на нульовому наборі має значення 0: f⁽ⁿ⁾(0, 0, …, 0)=0.

Означення. Функція f⁽ⁿ⁾ зберігає сталу 1, якщо на одиничному наборі має значення 1: f⁽ⁿ⁾(1, 1, …, 1)=1.

Наприклад, тотожна функція f(x)=x зберігає сталі 0 і 1, функція f(x)=x не зберігає жодної.

****Двоїста до …

Означення. Функція f⁽ⁿ⁾ є самодвоїстою, якщо для всіх пар протилежних наборів вона приймає на них протилежні значення:

f⁽ⁿ⁾(₁, ₂, …, _n) = ****f⁽ⁿ⁾(₁, ₂, …, _n) зберігає сталу 0, якщо на нульовому наборі має значення 0: f⁽ⁿ⁾(0, 0, …, 0)=0.

Означення. Функція f⁽ⁿ⁾ зберігає сталу 1, якщо на одиничному наборі має значення 1: f⁽ⁿ⁾(1, 1, …, 1)=1.

Неважко переконатися, що множини означених функцій, позначені відповідно T₀, T₁, S, L, M, є замкненими класами.

Список рекомендованої літератури

1. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика.–М.: Наука, 1975.

2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике.–М.: Наука, 1973.

3. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики.–М.: Наука, 1982

4. Глушков В.М., Цейтлин Г.Е., Ющенко Е.Л. Алгебра. Языки. Программирование.–К.: Наукова думка, 1988.

5. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А., Математическая логика.–М.:Наука, 1979.

6. Карри Х.Б. Основания математической логики.–М.: Мир, 1969.

7. Клини С.К. Математическая логика.– М.: Мир, 1973.

8. Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.–М.: Наука, 1981.

9. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера.–М.:Энергоатомиздат, 1988.

10. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре.–М.: Наука, 1973.

11. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов.–М.: Наука, 1984.

12. Линдон Р. Заметки по логике.– М.: Мир, 1968.

13. Мендельсон Э. Введение в математическую логику.–М.: Наука, 1984.

14. Новиков П.С. Элементы математической логики.–М.: Наука, 1973.

15. Ставровський А.Б., Коваль Ю.В. Методичні рекомендації та вказівки до курсу "Дискретна математика" (розділ "Множини та відповідності").– К.:"Київський університет", 1994.

16. Трохимчук Р.М. Збірник задач з дискретної математики (розділ "Множини і відношення") для студентів факультету кібернетики.–К.:"Київський університет", 1997.

17. Трохимчук Р.М. Множини і відношення. Навчальний посібник для студентів факультету кібернетики.–К.:"Київський університет", 1993.

18. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. М.: Мир, 1998.

19. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988.