Тема: Функції багатьох змінних. Означення, границя та неперервність, похідні диференціали.

Як відомо, будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел х₁…,х_n позначається (х₁,…,х_n) або М(х₁,…,х_n) і називається точкою n-вимірного арифметичного простору Rⁿ; числа х₁,…,х_n називаються координатами точки М(х₁,…,х_n). Відстань між точками М(х₁,…,х_n) і М^/(х^/₁,…,х^/_n) визначається за формулою

Нехай D Rⁿ – довільна множина n-вимірного арифметичного простору. Якщо кожній точці М(х₁,…,х_n) D поставлено у відповідність деяке цілком визначене дійсне число f(M)= f(х₁,…,х_n), то кажуть, що на множині D задана числова функція f : RⁿR від n змінних х₁…,х_n. Множина D називається областю визначення, а множина - множиною значень функції f.

Зокрема, при n = 2 функцію двох змінних z = f(x,y),(x,y)D можна розглядати як функцію точок площини в тривимірному просторі з фіксованою системою координат О_xyz. Графіком цієї функції називається множина точок

яка визначає, взагалі кажучи, деяку поверхню в R³.

Приклад 4. Знайти точки розриву функції

Функція не визначена в точках, в яких знаменник перетворюється в нуль. Тому вона має лінією розриву пряму 2х + 3у + 4 = 0.

Нехай (х⁰₁,…,х⁰_k,…x⁰_n) – довільна фіксована точка в області визначення функції u = f(х₁,…,х_n). Надаючи значенню змінної х_k приросту , розглянемо границю

.

Ця границя називається частинною похідною 1-го порядку функції по змінній x_k в точці (x⁰₁,…,x⁰_n) і позначається або

Обчислюються частинні похідні за звичайними правилами і формулами диференціювання, але при цьому всі змінні, крім x_k, розглядаються як сталі.

Частинними похідними 2-го порядку функції u=f(x₁,…,x_n) називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку. Похідні другого порядку позначаються так:

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядку вищого, ніж другий.

Результат багатократного диференціювання функції по різних змінних не залежать від черговості диференціювання за умови, що одержані при цьому змішані частинні похідні неперервні.

Повним приростом функції в точці , який відповідає приростам аргументів , називається різниця

Функція u=f(M) називається диференційовною в точці М₀, якщо скрізь в околі цієї точки певний приріст функції можна подати у вигляді

де A₁,…A_n – числа, не залежні від .

Диференціалом 1-го порядку du функції називається вираз

Диференціали незалежних змінних за означенням беруться рівними їх приростам: .

Для диференціала du правильна формула

Якщо p достатньо мале, то для диференційовної функції правильна наближена формула:

Диференціалом 2-го порядку d²u функції називається диференціалом від її диференціала 1-го порядку, розглянутого як функція змінних при фіксованих значеннях : d²u = d(du). Аналогічно визначається диференціал 3-го порядку d³u = d(d²u). Взагалі, d^ku = d(d^k-1 u).

Диференціал k-го порядку функції , де х₁…х_n – незалежні змінні, символічно записуються у вигляді формули

яка формально розкривається за біномним законом.

Зокрема, у випадку функції двох змінних , маємо:

Градієнт функції - це вектор, що визначається формулою grad Він визначає напрямок найшвидшого зростання функції:

Приклад 9. Нехай Знайти grad u (M₀).

Маємо

Тоді

а тому grad u(M₀)= (10;3;8)=