Вступ

У процесі навчання математикці важливе місце відводиться організації повторення вивченого матеріалу. Необхідність повторення обумовлена задачами навчання, що вимагають міцного і свідомого оволодіння ними.

Вказуючи на важливість процесу повторення вивченого матеріалу, сучасні дослідники показали значну роль при цьому таких дидактичних прийомів, як порівняння, класифікація, аналіз, синтез, узагальнення, що сприяє інтенсивному протіканню процесу запам’ятовування. При цьому виробляється гнучкість, рухливість розуму, узагальненість знань.

У процесі повторення пам’ять в учнів розвивається. Емоційна пам’ять спирається на наочно-образні процеси, поступово уступає пам’яті з логічними процесами мислення, що заснована на умінні встановлювати зв’язок між відомими і невідомими компонентами, зіставляти абстрактний матеріал, класифікувати його, обґрунтовувати свої висловлення.

Повторення навчального матеріалу з математики здійснюється у всій системі навчального процесу: при актуалізації знань — на етапі підготовки і вивчення нового матеріалу, при формуванні вчителем нових понять, при закріпленні вивченого раніше, при організації самостійних робіт різних видів, при перевірці знань учнів.

Літератури з організації повторення не вистачає. Важливість узагальнюючого повторення і методичних розробок визначають актуальність цієї проблеми.

Проблема полягає у вивченні впливу узагальнюючого повторення на якість знань учнів.

У зв’язку з виниклою проблемою висувається гіпотеза: пропонована методика узагальнюючого повторення сприяє підвищенню якості знань учнів.

Об’єктом є навчально-виховний процес у періоди повторення пройденого матеріалу.

Предметом служить узагальнююче повторення на уроках математики.

Для розв’язання проблеми необхідно роозв’язати задачі:

Вивчити науково-педагогічний матеріал з психології, з математики, з методики викладання.

Проаналізувати види узагальнюючого повторення.

Розробити зміст і метод прийомів на прикладі теми: “Чотирикутники”.

Методи, використані при експериментуванні гіпотези: теоретичний аналіз і педагогічне спостереження.

Види повторення

У зв’язку з цим ми розрізняємо наступні види повторення раніше пройденого матеріалу:

1. Повторення на початку навчального року.

2. Поточне повторення всього раніше пройденого:

а) повторення пройденого в зв’язку з вивченням нового матеріалу;

б) повторення пройденого без зв’язку з новим матеріалом.

3. Тематичне повторення (узагальнююче і систематизуюче повторення закінчених тем і розділів програми).

4. Заключне повторення (організовуване при закінченні проходження великого розділу програми чи наприкінці навчального року).

Мета і час повторення тісно зв’язані і взаємообумовлені і в свою чергу визначають методи і прийоми повторення.

При плануванні повторення необхідно підібрати матеріал, встановити послідовність і час повторення, розподілити підібраний матеріал по уроках, встановити форми і методи для здійснення повторення, зрозуміло, треба враховувати і властивості пам’яті.

Основні вимоги щодо організації повторення повинні виходити з цілей повторення, специфіки математики як навчального предмета та її методів.

Перша вимога до організації повторення, що виходить з його цілей, це визначення часу: коли повторювати? Воно повинно здійснюватися за принципом: “Учить новое, повторяя, и повторять, изучая новое” (В.П.Вахтеров).

Це не означає, однак, що не можна спеціально відводити уроки для повторення, наприклад, для таких питань програми, які важко прив’язати до поточного матеріалу.

План повторення і вибір тем для повторення вчитель повинен складати в кожному окремому випадку на підставі загальних теоретичних знань з урахуванням того, як засвоєний учнями матеріал відповідних розділів.

До сказаного додамо ще те, що характер уроку в зв’язку з переходом учнів з одного класу в інший значно міняється. У старших класах істотно перебудовується закріплення і повторення навчального матеріалу. Збільшується обсяг фактичного матеріалу, що виноситься на закріплення і повторення; поурочне закріплення в ряді випадків переходить в тематичне чи переростає в узагальнююче повторення, збільшується частка самостійності учнів при закріпленні та повторенні.

Друга вимога до організації повторення повинна відповідати на запитання: Що повторювати? Виходячи з висловлень класиків педагогіки, можна висунути наступні положення при доборі навчального матеріалу з різних видів повторення:

1. Не слід повторювати усе раніше пройдене. Потрібно вибрати для повторення найбільш важливі питання і поняття, навколо яких групується навчальний матеріал.

2. Виділяти для повторення такі теми і питання, які через свою складність засвоюються недостатньо міцно.

3. Виділяти для повторення треба те, що необхідно узагальнити, поглибити і систематизувати.

4. Не слід повторювати все в однаковій мірі. Повторювати ґрунтовно треба головне і найбільш важке. При доборі матеріалу для повторення необхідно враховувати ступінь його зв’язку з новим матеріалом.

Третя вимога до організації повторення математики повинна відповідати на запитання, як повторювати, тобто освітити ті методи і прийоми, якими повинно здійснюватися повторення. Методи і прийоми повторення повинні знаходитися в тісному зв’язку з видами повторення.

При повторенні необхідно застосовувати різні прийоми і методи, зробити повторення цікавим шляхом внесення, як у повторюваний матеріал, так і в методи вивчення деяких елементів новизни. Тільки різноманітність методів повторення може усунути ті протиріччя, які виникають через відсутність бажання в частини учнів повторювати те, що ними вже засвоєне один раз.

Різні види повторення тісно взаємодіють. Від своєчасного й успішного проведення одного з видів повторення, наприклад, тематичного чи поточного, залежить тривалість і успішність повторення іншого виду — заключного повторення чи повторення наприкінці року. Перейдемо до короткої характеристики видів повторення.

1. Повторення пройденого на початку року.

При повторенні на початку навчального року на перший план повинно висуватися повторення тем, що мають прямий зв’язок з новим навчальним матеріалом. Нові знання, що здобуваються на уроці, повинні спиратися на міцний фундамент уже засвоєних.

При повторенні на початку року необхідно поряд з повторенням тем, тісно зв’язаних з новим матеріалом, повторити й інші розділи, які поки що з ним не зв’язані. Тут необхідно поєднати обидві задачі: провести загальне повторення в порядку огляду основних питань з матеріалу минулих років і більш глибоко повторити питання, безпосередньо зв’язані з наступним матеріалом по програмі навчального року.

Саме повторення варто проводити як у класі, так і вдома. При вирішенні питання, який матеріал повинен бути повторений у класі і який залишений учням для самостійного повторення вдома, потрібно виходити з особливості матеріалу. Найбільш важкий матеріал повторити в класі, а менш важкий дати додому для самостійної роботи.

2. Поточне повторення пройденого.

Поточне повторення в процесі вивчення нового матеріалу — дуже важливий момент у системі повторення. Воно допомагає встановлювати органічний зв’язок між новим матеріалом і раніше пройденим.

Поточне повторення може здійснюватися в зв’язку з вивченням нового матеріалу. У цьому випадку повторюється матеріал, що природно зв’язаний з ним. Повторення тут є складовою і невід’ємною його частиною.

Під керівництвом вчителя учні на уроці відтворюють раніше вивчений ними необхідний матеріал. В результаті цього доведення нової теореми сприймається учнями легко, а подальша робота вчителя — відтворення доведеного і вправи, що забезпечують вторинне осмислення теореми і її закріплення.

В другому випадку, якщо повторюваний матеріал не знаходить природної прив’язки до нового, то його потрібно повторювати на спеціальних уроках.

При поточному повторенні питання і вправи можуть бути запропоновані учням з різних розділів програми.

Поточне повторення здійснюється в процесі виконання вправ, включається в домашнє завдання. Воно може бути проведене як на початку чи вкінці уроку, так і під час опитування учнів.

Поточне повторення доповнюється супутнім повторенням, яке не можна строго планувати на великий період. Супутнє повторення не вноситься в календарні плани, для нього не виділяється спеціальний час, але воно є органічною частиною кожного уроку. Супутнє повторення залежить від матеріалу, залученого до вивчення чергового питання, від можливості встановити зв’язок між новим і старим, від стану знань учнів у даний момент. Успіх супутнього повторення в значній мірі обумовлюється досвідом і спритністю вчителя. Супутнім повторенням учитель по ходу роботи усуває неточності в знаннях, нагадує коротенько давно пройдене, указує зв’язок з новим.

3. Тематичне повторення.

У процесі роботи над математичним матеріалом особливо великого значення набуває повторення кожної закінченої теми чи цілого розділу курсу.

При тематичному повторенні систематизуються знання учнів з теми на завершальному етапі його проходження чи після деякої перерви.

Для тематичного повторення виділяються спеціальні уроки, на яких концентрується та узагальнюється матеріал однієї якої-небудь теми.

У процесі роботи над темою питання, пропоновані учням по кожному розділу, варто знову переглянути; залишити найбільш істотні і відкинути більш дрібні. Узагальнюючий характер питань при тематичному повторенні відображається і на їхній кількості. Учителю доводиться основний матеріал теми охопити в меншому числі питань.

Повторення на уроці проводиться шляхом бесіди із широким залученням учнів у цю бесіду. Після цього учні одержують завдання повторити певну тему і попереджуються, що буде проведена контрольна робота.

Контрольна робота з теми повинна включати всі її основні питання. Після виконання контрольної роботи проводиться аналіз характерних помилок і організовується повторення для їх усунення.

При тематичному повторенні корисно скласти список питань, а потім логічний план по темі і завершити роботу складанням підсумкових схем. Таблиця чи схема економно і наочно показує спільне для понять, що входять у дану тему, їх взаємозв’язок у логічній послідовності.

Процес складання таблиць в одних випадках, підбір і запис прикладів після аналізу готової таблиці в інших є одночасно і формами письмових вправ при узагальнюючому і систематизуючому повторенні.

Послідовне вивчення різних особливих випадків при повторенні дуже корисно закінчити їхньою класифікацією, що допоможе учням ясніше розрізнити окремі випадки і групувати їх по певній ознаці.

4. Заключне повторення.

Повторення, що проводиться на завершальному етапі вивчення основних питань курсу математики і здійснюване в логічному зв’язку з вивченням навчального матеріалу з даного розділу чи курсу в цілому, будемо називати заключним повторенням.

Цілі тематичного і заключного повторення аналогічні, матеріал повторення (відбір істотного) дуже близький, а прийоми повторення в ряді випадків збігаються.

Заключне повторення навчального матеріалу переслідує такі цілі:

1. Огляд основних понять, головних ідей курсу відповідного навчального предмету; нагадування в найбільш загальних рисах пройденого шляху, еволюції понять, їх розвитку, теоретичних і практичних застосувань.

2. Поглиблення і по можливості розширення знань учнів з основних питань курсу в процесі повторення.

3. Деяка перебудова й інший підхід до раніше вивченого матеріалу, приєднання до повторюваного матеріалу нових знань, що допускаються програмою з метою його поглиблення.

Зміст і методика узагальнюючого повторення на прикладі теми: “Чотирикутники”

Розв’язанням однієї з важливих задач загальноосвітньої і професійної школи є посилення прикладної спрямованості навчання. У зв’язку з цим важливо виробити в учнів уміння при вирішенні конкретних питань орієнтуватися на істотні властивості об’єктів і явищ. Великі можливості для формування такого вміння має вивчення теми “Чотирикутники”.

Пропонований матеріал представляє великі можливості для організації різних форм колективної учбово-пізнавальної діяльності учнів, формування їхнього діалектико-матеріалістичного світогляду, закладає фундамент для розвитку вміння застосовувати геометричні знання при вирішенні питань життєво-практичного і виробничого характеру.

В якості провідної ідеї візьмемо ідею чіткого розмежування властивостей і ознак паралелограма і його частинних випадків.

Насамперед потрібно домогтися, щоб учні навчилися розрізняти поняття “властивість фігури” і “ознака фігури”. Якщо дано, що фігура паралелограм, і виходячи з цього доводять деякі співвідношення між елементами розглянутої фігури, то кожне з цих співвідношень називається властивістю фігури, про яку мова йде в умові теореми.

Наприклад, теорема: “У паралелограма протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні”, коротко може бути записане так:

Дано: АВСD – паралелограм.

Довести: 1) АВ = СD; AD = ВC;

2) А = C; B = D.

Кожне зі співвідношень (1), (2) висновку теореми дає властивість паралелограма.

У теоремі ж “Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться пополам, то цей чотирикутник — паралелограм” вказані співвідношення між елементами деякого чотирикутника (АО=ОС, ВО=ОD) і доводиться, що при їх виконанні чотирикутник буде належати до класу паралелограмів (буде паралелограмом). У цьому випадку умови (АО=ОС, ВО=ОD) називають ознаками паралелограма, тому що при їх виконанні ми можемо впевнено стверджувати, що чотирикутник, для якого виконуються ці умови, обов’язково буде паралелограмом (теорема).

Більш глибокого й свідомого засвоєння понять “властивість” і “ознака” можна домогтися, якщо зв’язати їх з поняттями “необхідна умова”, “достатня умова”, “необхідна і достатня умова”.

Повідомляємо школярам, що будь-яка теорема може бути записана у вигляді АB, де А — умова теореми (що дано), а В — висновок теореми (що потрібно довести).

Якщо доведена теорема АB, то А є достатнім для В (як тільки є А, то зараз же буде й B), а В — необхідне для А, з А необхідно випливає В.

Ще більш переконливе обґрунтування того, чому умова B вважається необхідною для А, можна дати, якщо познайомити учнів з питанням про види теорем і зв’язку між ними. Записуємо схему:

(1) АВ BА (2)

(3) не А  не В не В  не А (4)

Повідомляємо, що якщо твердження (1) назвати прямим, то твердження (2) буде до нього зворотним, твердження (3) — протилежним прямому, а (4) – протилежне зворотному. Далі доводиться, що зі справедливості твердження (1) випливає справедливість твердження (4) [(1)(4)] і навпаки, тобто (4)(1).

Повідомляється, що якщо (1)(4), то твердження називаються еквівалентними. Аналогічно еквівалентні твердження (2) і (3) [(2)(3)].

Словами формулу (1)(4) можна розшифрувати так: якщо з умови А слідує (випливає) умова В, то без B немає й А (з не B не А), іншими словами В необхідно для А (без B не буде й А).

А далі повідомляємо, що необхідна умова дає нам властивість, а якщо умова не тільки необхідна, але й достатня, то одержуємо ознаку.

Іншими словами, щоб одержати властивість B якого-небудь об’єкта А, досить довести теорему АB, а щоб переконатися, що розглянута властивість B є ознакою, варто ще довести теорему ВА (зворотну).

Разом з учнями згадуємо всі властивості паралелограма і складаємо таблицю.

Дано: АВСD – паралелограм

Довести:

АВ || СD ВC || AD АВ = СD ВC = AD АO = ОС ВO = ОD

А = C B = D А + B = 1800 C + B = 1800 C + D = 1800 А + D = 1800

Звертаємо увагу на той факт, що кожна з умов 1–12 випливає з того, що АВСD — паралелограм, отже, кожна з них є необхідною умовою того, щоб чотирикутник АВСD був паралелограмом. Легко переконатися, що з кожної з умов 1–12 не випливає, що АВСD — паралелограм (наприклад, якщо дано, що АВ || СD, то маємо трапецію, тому що відрізок ВC не паралельний AD).

Таким чином, кожна з умов 1–12, взята окремо, ознакою паралелограма не є. Тепер почнемо комбінувати властивості по дві (Скільки таких комбінацій буде? Як порахувати всі комбінації, щоб бути переконаним, що жодна з них не пропущена?). Переконуємося, що деякі з комбінацій дають ознаку паралелограма. Які з комбінацій по двох дають відомі уже вам ознаки паралелограма? [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (5, 6)].

В той же час легко бачити, що не кожна з комбінацій дає ознаку паралелограма. Наприклад, з того що АВ || СD і ВC = AD випливає, що фігура АВСD — рівнобічна трапеція, а не паралелограм.

Природно постає питання, скільки ж усього ознак у паралелограма? Для відповіді на це питання потрібно перебрати всі можливі комбінації й або довести отриману теорему, або привести приклад, що спростовує її (контрприклад). Ясно, що ця робота не може бути виконана на уроці. Вона може бути дана в якості індивідуального завдання додому успішним учням, чи ще краще, запропонована в якості колективної роботи гуртківцям. Тут постають цікаві питання про планування роботи, про поділ праці при розв’язанні цієї проблеми, про організацію самоконтролю і взаємоконтролю, про підведення остаточних висновків, тобто питання, що виникають при організації будь-якої трудової діяльності.

Далі аналогічну роботу можна провести для з’ясування ознак прямокутника і ромба. Але цій роботі повинно передувати уточнення означень прямокутника і ромба. Дійсно, досить поставити вимогу, щоб у паралелограма був один прямий кут, так як з умови (АВСD — паралелограм; А=90⁰) випливає, що B=90⁰, C=90⁰, D=90⁰. Для доведення цього факту досить скористатися відомими властивостями кутів паралелограма.

Аналогічно, легко довести теорему (АВСD — паралелограм, АВ=ВCАВ=ВC=СD=AD), з якої випливає, що ромбом називається паралелограм, у якого дві суміжні сторони рівні.

Можна не змінювати звичні учням надлишкові визначення, але обов’язково підкреслити той факт, що, щоб переконатися, що розглянутий паралелограм буде ромбом, досить перевірити рівність двох суміжних сторін, а щоб переконатися, що він буде прямокутником, досить довести, що один з його кутів прямий.

Після цього відмічаємо особливі властивості діагоналей прямокутника і ромба і знову порушуємо питання, чи будуть ці умови не тільки необхідними, але і достатніми, тобто чи є ці умови ознаками розглядуваних фігур. Як це перевірити? Учні повинні збагнути, що для відповіді на поставлене питання треба сформулювати і довести теореми, зворотні до теорем, що виражають властивості діагоналей прямокутника і ромба.

Запишемо одну з цих теорем.

Дано: АВСD - прямокутник. Довести: АС=ВD.

Обернене до цієї теореми твердження записується так:

Дано: у чотирикутнику АВСD АС=ВD .

Довести: АВСD — прямокутник.

Легко переконатися, що це твердження невірне. Приведіть приклади, що підтверджують цей факт. Учні можуть згадати, що діагоналі рівні в рівнобічної трапеції, чи накреслити довільний чотирикутник з рівними діагоналями. Таким чином, ми переконуємося, що рівність діагоналей не виділяє прямокутник із класу чотирикутників (серед чотирикутників з рівними діагоналями є і ті, що не є прямокутниками).

Тут учитель знайомить учнів зі ще одним способом одержання тверджень обернених даному. Зауважує, що умова прямої теореми може бути розбита на дві частини.

Дано: 1) АВСD — паралелограм.

2) А=90⁰.

Довести: АС = ВD.

Якщо тепер поміняти місцями висновок і другу частину умови, то ми одержимо твердження:

Дано: АВСD — паралелограм

АС=ВD.

Д
овести: А=90⁰.

Це твердження легко довести. Доведіть самостійно.

Якщо учні затрудняються, то можна “навести” їх на думку, звернувши увагу, що А + D = 180⁰ (АВСD — паралелограм ). Що залишилося тепер довести? (А=D).

Аналогічну роботу проводимо з встановленням ознак ромба, що базуються на властивостях його діагоналей. Згадуємо теорему про властивості діагоналей ромба.

Дано: АВСD — ромб.

Довести: 1) ВD АС;

2) ВАС =САД.

Для цієї теореми можна

скласти дві обернені:

Теорема 1 Теорема 2

Дано: ВD АС Дано: ВАС = САD

Довести: АВСD — ромб. Довести: АВСD — ромб.

Легко показати, що кожна з цих теорем несправедлива, привівши хоча б по одному контрприкладу;

Цікаве питання. А як можна видозмінити перший рисунок щоб його можна було використовувати одночасно для спростування і теореми 1 і теореми 2? (Досить взяти АО=ОС і тоді AВD=DВС).

Використовуючи другий спосіб утворення зворотних теорем, з яким учні ознайомлені при встановленні ознаки прямокутника.

Маємо:

Пряма теорема:

Дано: АВСD -паралелограм, АВ = ВC.

Довести: ВD АС

Обернена теорема:

Дано: АВСD -паралелограм, ВD АС.

Довести: АВ=ВC

Згадуючи уточнене визначення ромба, даємо таке формулювання оберненої теореми: “Якщо в паралелограмі діагоналі перпендикулярні, то цей паралелограм — ромб”.

Схема аналітичного міркування при відшуканні доведення цієї теореми.

АВСD – ромб

АВСD – паралелограм АВ=ВC

АВО = СВО АОВ = СОВ

 ВD АС

АO = ОС BO – спільна АОВ = СОВ

 

АВСD – паралелограм ВD АС

Аналогічно формулюємо другу ознаку ромба: “Якщо в паралелограмі діагональ поділяє кут навпіл, то цей паралелограм — ромб”. Аналітичне міркування проводиться аналогічно.

Схематичний запис доведення

АВСD — паралелограм AD || ВC  (1 = 3, 1 = 2) 

2 = 3  (АВ=BС, АВСD - паралелограм)  АВСD — ромб.

Узагальнюючи отримані результати, корисно звернути увагу школярів на той факт, що рівність діагоналей не виділяє прямокутник з безлічі всіх чотирикутників, але виділяє його з безлічі паралелограмів, і запропонувати їм самостійно сформулювати аналогічні твердження (їх 2!) для ромба.

Для перевірки того, чи володіють учні ознаками паралелограма, ставлять перед ними наступну проблему:

Як сформулювати ознаки прямокутника і ромба, які базуються на властивостях їхніх діагоналей, щоб вони виділяли прямокутник і ромб із безлічі всіх чотирикутників? Підказка, якщо учні не справляються: умову АВСD — паралелограм, якою вимогою щодо його діагоналей можна замінити?

Одержуємо ознаки:

1. Якщо в чотирикутнику діагоналі рівні і точкою перетину діляться пополам, то цей чотирикутник — паралелограм.

2. Якщо в чотирикутнику діагоналі перпендикулярні і поділяються точкою перетину пополам, то цей чотирикутник — паралелограм.

3. Ознаку формулюємо аналогічно.

Переходячи до з’ясування ознак квадрата, підкреслюємо, що квадрат є як частковим випадком прямокутника, так і ромба і отже має усі властивості прямокутника і усі властивості ромба. Ставиться проблема: виділити комбінації властивостей діагоналей, які виділяли квадрат з множини прямокутників, з множини ромбів, з множини паралелограмів, з множини чотирикутників.

Якщо учні осмислили розглянутий матеріал про ознаки прямокутника і ромба, то вони легко дадуть відповідь на поставлені питання і сформулюють наступні ознаки квадрата:

Квадратом є:

Прямокутник із взаємо-перпендикулярними діагоналями.

Прямокутник, у якого діагональ поділяє кут навпіл.

Ромб із рівними діагоналями.

Паралелограм, у якого діагоналі рівні і взаємо-перпендикулярні.

Паралелограм, у якого діагоналі рівні і поділяють кут навпіл.

Чотирикутник, у якого діагоналі рівні, перпендикулярні і в точці перетину діляться пополам.

Після цього можна перейти до розв’язання задач, що вимагають застосування вивчених ознак.

Для зведення в систему матеріалу по темі “Паралелограм і його види” є дуже гарна задача: “Визначити вид чотирикутника, що отримаємо, якщо послідовно з’єднаємо відрізками прямої середини сторін довільного чотирикутника”.

Після доведення того факту, що отриманий чотирикутник буде паралелограмом, ставиться питання: “Яким повинен бути даний чотирикутник, щоб отриманий виявився прямокутником, ромбом, квадратом?».

1. Накреслимо довільний чотирикутник.

2. Знайдемо середини сторін і зобразимо схематично на рисунку рівність відрізків.

3. З’єднаємо послідовно отримані крапки E, F, M, N.

Питання: який чотирикутник отримали?

У різних учнів відповідь буде різною: паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат. Учитель звертає увагу на те, що прямокутник, ромб, квадрат — частинні випадки паралелограма, тому всім доведеться доводити, що чотирикутник EFMN — паралелограм.

Дано: АЕ = ЕB, BF=FC, СМ=МD, DN=NА.

Довести: EFMN — паралелограм.

Проводиться аналіз:

Питання: Для того, щоб довести, що EFMN — паралелограм, що достатньо довести?

Відповідь: паралельність прямих EF і MN, а також ЕN і MF.

Питання: Як можна це довести? (або, якщо не відповідають: Використовуючи яку ознаку паралельності прямих можна це довести?).

Відповідь: Перша ознака паралельності прямих, тому що в інших ознаках присутні кути, а в умові задачі про кути нічого не сказано.

Питання: У першій ознаці паралельності прямих говориться про три прямі. Де взяти третю пряму?

Відповідь: З’єднати точки А і С. Одержимо два трикутники — АВС і АDС.

Питання: Яке співвідношення відомо в цих трикутниках? Або: Чим є ЕF і MN у АВС і АDС?

Відповідь; ЕF є середньою лінією АВС, тому що АЕ = EВ і ВF = FC, а MN є середньою лінією АDС, тому що СМ = МD і DN = NА.

Питання: Яку властивість середньої лінії ми знаємо?

Відповідь: Середня лінія паралельна основі.

Питання: Який висновок можна зробити про ЕF і MN?

Відповідь: ЕF || АС і МN || АС. Значить, за першою ознакою паралельності прямих випливає, що ЕF || MN.

Аналогічно доводиться, що ЕN || FM.

Проведемо так званий “погляд назад” і спробуємо знайти інше розв’язання, більш раціональне і коротке.

Питання: Як ще можна довести, що чотирикутник EFMN — паралелограм?

Або: Якою ознакою паралелограма можна скористатися, щоб довести, що чотирикутник EFMN — паралелограм?

Відповідь: Скористатися ознакою паралелограма, яка полягає в тому, що якщо в чотирикутнику протилежні сторони попарно паралельні і рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. Значить треба довести, що EF || MN і EF = MN.

Питання: Паралельність прямих EF і MN доводиться так, як це було зроблено вище. Як довести рівність ЕF і МN? або: Яку властивість середньої лінії ми знаємо?

Відповідь: Так як ЕF — середня лінія АВС, то ЕF дорівнює половині основи АС; MN середня лінія АВС і М дорівнює половині основи АС. Значить ЕF = MN.

Це розв’язання є більш раціональним і коротким.

Тепер потрібно записати розв’язання задачі. Для цього вже використовується синтез.

АЕ = ЕВ ЕF || AC

BF = FC EF = 1/2 AC EF || MN  EFMN – пара-

СМ = МD MN || AC EF = MN лелограм

DN = NA MN = 1/2 AC

У класі завжди є учні, які швидко знайдуть розв’язання цієї задачі. Для організації індивідуальної групової діяльності більш сильним учням можна дати додаткові завдання:

Який вигляд повинен мати даний чотирикутник, щоб отриманий був а) прямокутником? б) ромбом? в) квадратом?

У цьому випадку доцільно підійти до розподілу диференційовано: найбільш сильним запропонувати варіант в), середнім — варіант б), іншим — а).

Пропонуючи учням задачі з надлишковою і неповною інформацією, ми виховуємо в них готовність до практичної діяльності. Розглядаючи витончене розв’язання тієї чи іншої математичної задачі, ми сприяємо естетичному вихованню школярів.

Мені хочеться привести кілька прикладів задач, що виникають при розгляді шарнірної моделі чотирикутника.

Переконавшись разом зі школярами в рухливості цієї моделі (не жорстко скріпленої у вершинах) учитель спонукає їх до висновку, що чотири дані сторони не визначають чотирикутник однозначно.

Потім перед учнями формулюється сама задача.

Задача 1. Маємо модель шарнірного чотирикутника зі сторонами визначеної довжини. Яким способами можна надати “жорсткість” даної моделі чотирикутника, якщо його вершини не можуть бути закріплені? Відповідь обґрунтувати.

В ході обговорення цієї задачі пропонуються різні варіанти її розв’язання, які перевіряються дослідним шляхом, наприклад, скріпити дві вершини чотирикутника планкою по діагоналі, з’єднати планкою середини двох протилежних сторін і т.д.

Переконавшись на досліді в розумності зроблених пропозицій, учні приходять до необхідності обґрунтувати той чи інший спосіб “надання жорсткості”. За допомогою вчителя вони приходять до можливості провести це обґрунтування, переформулювати задачу у вигляді відповідної задачі на побудову.

Можливість зведення конкретної задачі, визначеної на моделі, до розв’язання абстрактної геометричної задачі на побудову реалізує одну з найважливіших виховних функцій геометричних задач: зв’язок навчання математиці з життям, тобто показує реальне походження математичних абстракцій.

Враховуючи “властивість жорсткості” трикутника перше з вищезгаданих розв’язань обґрунтовується досить просто. Однак обґрунтування другого шляху розв’язання задачі не настільки очевидне. Виникає вже чисто геометрична абстрактна задача.

Задача 2. Побудувати чотирикутник АВСD, знаючи довжину його сторін і довжину відрізка MN, що з’єднує середини сторін АВ і DС.

Припустимо, що шуканий чотирикутник АВСD побудований. Виконаємо паралельне перенесення (DN) сторони DА і паралельне перенесення (CN) сторони СВ, тепер з точки N виходять 3 відрізка А₁N, MN, NВ₁ відомої довжини.

Неважко показати, що точка М є серединою А₁В₁. Справді, довжини відрізків АА₁ і ВВ₁ рівні 1/2DС, а самі відрізки || DС.

Тому чотирикутник А₁АВ₁В є паралелограмом. Точка М — середина його діагоналі АВ. Тому М належить діагоналі А₁В₁ і є її серединою.

Отже, у NA₁B₁ відомі сторони NA₁, B₁N і відкладена між ними медіана. Для того, щоб побудувати цей трикутник, побудуємо точку N₁, симетрично відносно М. Очевидно, |А₁N₁| = |В₁N|.

Трикутник N₁NA₁ можна побудувати за трьома відомими сторонами: |NA₁| = |DА|, |A₁N₁| = |В₁N| = |CB| і |NN₁| = 2|NM|.

Тепер побудуємо шуканий чотирикутник. Ділимо відрізок N₁N точкою М на два конгруентних відрізка, будуємо точку В₁, симетричну А₁ відносно М. За трьома сторонами будуємо трикутники А₁МА і МВВ₁. Перенести відрізок А₁А на вектор А₁N, а відрізок ВВ₁ на вектор B₁N, отримаємо всі чотири вершини шуканого чотирикутника АВСD. Неважко показати єдиність розв’язку задачі.

Посиленню розвиваючих функцій задачі сприяє подальша постановка задач-аналогів, при розв’язанні яких використовується деякий (той самий) прийом, заснований на застосуванні певного методу. Це створює можливість розв’язання цілого класу задач, аналогічних даній, сприяючи, таким чином, формуванню в учнів здібностей до узагальнення.

Приклади подібних задач:

Задача 3. У чотирикутнику АВСD відома довжина відрізка МN, що з’єднує середини сторін АВ і СD, довжина діагоналі АС і довжини сторін АВ, ВР і AD. Чи є дана фігура жорсткою?

Задача 4. Побудувати трапецію АВСD за даними діагоналям АС, ВD, стороні AD і відрізку МN, що з’єднує середини її основ.

Розгляд цього прикладу показує, як досить широко можна використовувати навчальні, розвиваючі і виховні функції задач у їх єдності. Справді, у ході розв’язання цих задач використовуються різні властивості геометричних фігур, активно працює метод паралельного перенесення і прийом побудови допоміжної фігури з дуже цікавими властивостями, тісно зв’язаними з властивостями заданої (шуканої) фігури (реалізуються різні розвиваючі функції), задача легко моделюється, збуджує інтерес школярів (реалізуються виховні функції).

Досвід показує, що успішність в реалізації виховних функцій математичних задач багато в чому визначається пробудженням в учнів інтересу до даної задачі, виникненням у них стійкої потреби в її розв’язанні, наявністю інтересу до самого процесу розв’язання задач, на основі якого часто пробуджується і формується інтерес учнів до вивчення самої математики і суміжних навчальних дисциплін, інтерес до навчання в цілому.

Фактори, що істотно впливають на формування в учнів стійкого інтересу до розв’язання математичних задач, дуже різноманітні. До них, наприклад, відноситься доступність запропонованої задачі, зовнішня чи внутрішня цікавість задачі, усвідомлена можливість виявити при цьому творчу самостійність.

ВИСНОВОК

Міцне засвоєння знань є головною задачею процесу навчання, це дуже складний процес. В нього входять сприймання навчального матеріалу, його запам’ятовування й осмислення, а також можливість використання цих знань в різних умовах.

1. Викладання математики не може бути на належному рівні, а знання учнів не будуть досить повними і міцними, якщо в роботі вчителя відсутня система повторювально-узагальнюючих уроків.

Це пояснюється психологічними особливостями процесу пізнання і властивостей пам’яті. Тільки постійне включення нових знань у систему попередніх знань може забезпечити досить високу якість засвоєння предмету. Тільки через повторення можна прийти до логічних висновків. Без повторення неможливо розкрити сутність речей і явищ, їх розвиток. Не дарма кажуть: “Повторение — мать учения”.

2. Повторення математики необхідне як для учнів з метою поглиблення, зміцнення і систематизації своїх знань, так і для самого вчителя з метою вдосконалювання методів навчання і збільшення ефективності своєї праці.

3. Повторення математики повинно систематично проводитися на уроках, органічно вписуючись в основний зміст уроку.

При викладі нового матеріалу одночасно треба повторювати раніше пройдений матеріал. Учні повинні відчувати потребу в повторенні. Це досягається тим, що при вивченні нового матеріалу вчитель порівнює його, зіставляє зі старим, встановлює аналогію між ними, проводить узагальнення, поглиблення і систематизацію.

4. Перед початком навчального року чи чверті необхідно ретельно спланувати матеріал для повторення, вказати види повторення, через яке воно може проводитися, тобто встановлюється, який матеріал буде повторюватися паралельно з вивченням нової теми і який на спеціально відведених уроках повторення.

5. Необхідно систематично практикувати поточне повторення. Необхідне також тематичне повторення по закінченні теми та заключне – по закінченні розділу чи курсу, на яких встановлюються більш широкі логічні зв’язки між темами і розділами, підкреслюються ідеї, що лежать в основі даної навчальної дисципліни.

6. Для підвищення інтересу і активності учнів при повторенні необхідно застосовувати різні прийоми і методи роботи, урізноманітнити повторюваний матеріал, старий матеріал розглянути з інших точок зору, встановлювати все нові і нові логічні зв’язки, стимулювати самостійну роботу учнів.

Тільки таким шляхом можна усунути протиріччя, що виникає з одного боку через відсутність бажання в частини учнів повторювати те, що ними вже засвоєне один раз, а з іншої в силу необхідності повторювати з метою поглиблення, узагальнення і систематизації раніше вивченого матеріалу.

7. Необхідна добре продумана теоретична і практично обґрунтована система повторення, що має забезпечити високу якість і міцність знань учнів. Тільки в цьому випадку викладач досягає тих цілей, які він переслідує повторенням.

8. Необхідно ретельно проаналізувати теорію і практику повторення з метою встановлення позитивних і негативних сторін роботи шкіл при повторенні.

Повторення навчального матеріалу потребує від вчителя творчої праці. Він повинен забезпечити чіткий зв’язок між видами повторення, здійснити глибоко продуману систему повторення.

Опанувати мистецтвом організації повторення – задача вчителя, від її розв’язання багато в чому залежить міцність знань учнів.

Список літератури

1. Аракелян О.А. Некоторые вопросы повторения математики в средней школе. – М.: Учпедгиз, 1960. – 35с.

2. Бескин Н.М. Методика геометрии: Учебник для педагогических институтов. – М.: Учпедгиз, 1947. – С.60-68.

3. Бевз Г.П. Геометрія 7-9: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Вежа, 2001. – С.82-90.

4. Колягин Ю.М. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. – М.: Просвещение, 1980. – 90с.

5. Математика 5-11 кл.: Програми для загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Шкільний світ, 2001. – С.28-31.

6. Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підручник для 7-9 класів. – К.: Освіта, 2001. – С.223-240.

7. Эрдниев П.М. Обучать математике активно, творчески, экономно. – М.: Народное образование, 1962. – С.102-110.

Эрдниев П.М. Сравнение и обобщение при обучении математике. – М.: Учпедгиз, 1960. –58с.