Реферат

Реферат Властивості степеневих рядів Неперервність суми Інтегрування і диференціювання степеневих ряді

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 11.11.2024


















Пошукова робота на тему:

Властивості степеневих рядів. Неперервність суми. Інтегрування і диференціювання степеневих рядів.

План

  • Властивості степеневих рядів

  • Неперервність суми

  • Інтегрування степеневих рядів

  • Диференціювання степеневих рядів

1. Властивості степеневих рядів

             Теорема 1 (неперервність суми степеневого ряду). Сума  степеневого ряду (13.39) є неперервною всередині проміжку збіжності.

            Д о в е д е н н я. Візьмемо деяке додатне  Тоді числовий ряд з додатними членами

                              (13.49)

збігається. Але при  члени ряду (13.39) за абсолютною величиною не більші відповідних членів ряду (13.49). Тому, за ознакою Вейєрштрасса, ряд (13.39) рівномірно збігається на відрізку  і його сума буде неперервною на цьому відрізку.

            Наслідок. Якщо границі інтегрування ,  лежать всередині інтервалу збіжності степеневого ряду , то за теоремою 3 (п.13.9.3) його можна почленно інтегрувати на проміжку , оскільки він буде рівномірно збігатися на  , що містить проміжок  ().

            Теорема 2 (диференціювання степеневих рядів). Якщо степеневий ряд (13.39)

має інтервал збіжності , то ряд

                           (13.50)

одержаний почленним диференціюванням ряду (13.39), має той же інтервал збіжності ; при цьому сума ряду (13.50)  де сума ряду (13.39).

            Д о в е д е н н я. Доведемо, що ряд (13.50) рівномірно збігається на відрізку який повністю лежить всередині інтервалу збіжності.

            Для цього візьмемо деяку точку  таку, що  В цій точці ряд (13.39) збігається, значить а тому можна вказати таке постійне число  що  . Якщо  то

де

            Таким чином, члени ряду (13.50) при  за абсолютною величиною менші за члени числового ряду з додатними членами:

            За ознакою Даламбера цей ряд збігається:

Отже, ряд (13.50) рівномірно збігається на відрізку і за теоремою 4 (п.13.9.3) його сума  є похідна від суми даного ряду на відрізку , тобто  

            Оскільки довільну внутрішню точку інтервалу  можна помістити в  деякий відрізок то звідси випливає, що ряд (13.50) збігається в довільній внутрішній точці інтервалу

            Доведемо тепер, що ряд (13.50) розбігається поза інтервалом  Припустимо, що ряд  (13.50) збігається при деякому Інтегруючи його почленно в інтервалі  де ми одержали б, що ряд (13.39) збігається в точці а це протирічить умовам теореми. Таким чином, інтервал  є інтервал збіжності ряду (13.50). Теорема повністю доведена.

            Ряд (13.50) знову можна почленно диференціювати і продовжити так як завгодно багато разів. Отже, одержимо висновок:

            Наслідок. Якщо степеневий ряд збігається в інтервалі  то його сума представляє собою функцію, що має всередині інтервалу збіжності похідні довільного порядку, кожна з яких є сумою ряду, одержаного в результаті почленного диференціювання даного ряду відповідне число разів; при цьому інтервал збіжності кожного ряду, одержаного в результаті диференціювання, є той же інтервал

            Приклад 1. Знайти інтервали збіжності степеневих рядів.

            а) ;   б) .

            Р о з в ‘ я з о к. а) Знайдемо радіус збіжності степеневого ряду за формулою (13.44)

.

Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу, тобто при 

При   розбігається, тому що

При :    розбігається (не виконується

необхідна умова збіжності). Отже, ряд збігається при

            б)         За формулою (13.45) знаходимо радіус збіжності

При  :  .

Оскільки

, то

знакочергуючий ряд розбігається.

При  розбігається (не виконується

необхідна ознака збіжності. Інтервал збіжності даного ряду

            Приклад 2. Знайти суму ряду

            Р о з в ‘ я з о к. Позначимо суму цього степеневого ряду через   Радіус збіжності даного ряду  а інтервал збіжності  Продиференціюємо почленно його два рази (наслідок теореми 2) :

Останній ряд рівномірно збігається всередині проміжку  і представляє собою суму нескінченно спадної геометричної прогресії із знаменником  а тому сума

            Зауважимо, що

            Розв’язуючи дане диференціальне рівняння із заданими початковими умовами, одержимо:

            Оскільки то  і сума заданого ряду


1. Курсовая на тему Основні підходи до визначення поняття особистість
2. Реферат Коммерческий договор 2
3. Реферат Сущность современной концепции маркетинга
4. Реферат на тему A Knights Purpose Essay Research Paper The
5. Контрольная работа по Защите прав потребителей
6. Реферат Жизненный цикл товара 16
7. Курсовая на тему Разработка приложения вычисления определенных интегралов по формуле левых прямоугольников
8. Реферат на тему Automobile Emissions Essay Research Paper ABSTRACT Pollution
9. Реферат Судебные акты как источник российского трудового права
10. Реферат на тему Eathquakes Essay Research Paper Earthquakes