Пошукова робота на тему:

Інтерполяція.

План

• Інтерполяція

• Інтерполяційна формула Лагранжа

• Інтерполяційна формула Ньютона

13.16. Інтерполювання функцій

            Нехай відомі числові значення  деякої величини , які відповідають числовим значенням величини  /вузли інтерполювання /. Вважаючи  функцією від , складемо таблицю із цих чисел:

Такі таблиці виникають на практиці в результаті дослідів, які проводяться над величиною ; але їх складають і для аналітично заданих функцій  : таблиці квадратів та кубів чисел, таблиці логарифмів, таблиці тригонометричних функцій і т.п.

            Часто виникає потреба в ущільненні таблиць, тобто в обчисленні проміжних значень , відсутніх в таблиці, задовольнившись при цьому лише наявним запасом табличних значень цієї величини . Також буває потрібним знайти на базі таблиці аналітичний вираз деякої функції , яка набувала б табличних значень  за табличних значень . Звичайно, за  беруть многочлен степеня , що має таку властивість (інтерполюючий многочлен).

            Ознайомимося з деякими методами інтерполювання.

13.16.1. Інтерполяційна формула Лагранжа

Інтерполяційний многочлен запишемо у вигляді:

            Для  знаходження невизначених коефіцієнтів  будемо покладати в цій рівності по черзі  вимагаючи при цьому, щоб

            Тоді одержуємо

            Підставивши знайдені значення коефіцієнтів у вираз інтерполяційного многочлена, одержимо інтерполяційну формулу Лагранжа:

            Поклавши в цю формулу , що дорівнює потрібному нам проміжному (нетабличному) значенню,  одержуємо відповідне проміжне (нетабличне) значення . За табличних значень  маємо відповідні табличні значення .

13.16.2. Інтерполяційна формула Ньютона

 У випадку, коли вузли інтерполювання  утворюють арифметичну прогресію (рівновіддалені)

( - крок інтерполювання), користуються інтерполяційною формулою, яка використовує скінченні різниці функції .

            Скінченою різницею першого порядку величини називається різниця між двома послідовними її табличними значеннями:

            Скінченою різницею другого порядку величини  називається різниця між двома послідовними різницями першого порядку:

Аналогічно визначаються і скінченні різниці вищих порядків.

            Із означень одержуємо:

            Можна показати методом математичної індукції, що і в загальному випадку коефіцієнти виразу  є біноміальними, а весь вираз  нагадує розгорнутий -ий степінь суми. Тому  

            У цій формулі  є номер табличного значення , або інакше - число кроків , які відділяють табличне значення  від , тобто

            Якщо будемо обчислювати нетабличне  значення , що відповідає нетабличному значенню , і збережемо вигляд правої частини рівності для  , то величина   буде такою самою функцією від  , якою функцією від  раніше було  ( за всіх  табличних   переходить в  ).

            Замінивши  на , одержуємо інтерполяційну формулу Ньютона:

            У розгорнутому вигляді  є многочлен степеня  відносно . За всіх табличних значень  аргументу дорівнює відповідному табличному значенню  функції , тобто .

            Зауваження. Якщо функція  лінійна або якщо розміщення на координатній площині  точок   наближено нагадує пряму лінію , то для одержання проміжних  (нетабличних ) значень   не має  необхідності в інтерполяційних  формулах, побудованих на базі усієї таблиці. Достатньо використати лише два ближчих вузли інтерполювання. Нехай  і потрібно знайти , знаючи відповідні табличні значення  та . Із рівняння прямої

одержимо

            Цю формулу називають формулою лінійного інтерполювання. Нею часто користуються у випадках, коли вузли інтерполювання близькі один до одного.

            Одержимо формули диференціювання функції, заданої таблицею,  у випадку рівновіддалених вузлів інтерполювання.

            Інтерполяційну формулу Ньютона запишемо так:

Оскільки

       тощо,

то

                            тощо.

            Для знаходження похідних функцій  за табличних значень аргументу  покладено  і тому

             

                            тощо.

            Ці формули поширюються на будь-яке табличне значення аргументу  оскільки будь-яке значення з таблиці скінчених різниць можна вважати початковим, так що