ПОСЛІДОВНОСТІ

План

1. Числова послідовність.

2. Означення границі числової послідовності.

3. Основні теореми про границі.

4. Обчислення деяких границь.

5. Монотонні послідовності.

6. Число е.

7. Верхня та нижня границя.

8. Функціональна послідовність критерій Коші.

Уявімо собі натуральний ряд чисел. Зіставимо з довільним числом n відповідно з деяким правилом а_n. Упорядкований набір чисел а₁, а₂, ... а_n називається числовою послідовністю. Задати числову послідовність означає задати закон, за яким кожному натуральному n ставиться у відповідність єдине цілком визначене число аn.

аn – єдиний член послідовності: 1, -1, 1, -1, ...., (-1)ⁿ.

а, а · q … a · q^-1, a_n = a · q^-1. a x d, … a + (n-1)^d, a_n = a (n-1)^d

a_n = 1 + 2n (1, 3, 5, 7).

Залежно від зростання n зазначені вище послідовності поводять себе по-різному (одні зростають, інші спадають, змінюють знаки) a + (n-1)^d , при d<0. Послідовності, що мають певну властивість стійкості членів, яка виявляється в тому, що їх члени із зростанням стають дедалі ближчими до певного числа – збіжні, а число до якого наближаються її члени – границя відповідної послідовності.

Число А – називається одиницею числової послідовності, якщо для будь-якого Е>0,яким би малим воно не було, можна визначити такий номер N, що нерівність |A-a_n|<E виконується для всіх n>N. Те, що означена границя числової послідовності має свою границю А записується:

Про послідовність, яка має границю будемо говорити, що вона збігається. Геометрична інтерпретація границі послідовності така, якщо , то який би відрізок [A-E, A+E] (Е окіл.) ми не взяли всі члени послідовності {a_n} починаючи з деякого номера N залежить Е. (N=N_E). границею є О Е = 1/1000, N = 1000, що для всіх n>N маємо нерівність |0 – a_n|<E. Нехай n = 1002 

Якщо послідовність границі немає, то вона розбігається. 1, 2, 3, 4... n... Доведем, що послідовність натуральних чисел розбіжна.

Нехай послідовність {n} збіжна, тоді всі її члени починаючи з деякого номера (N_E) попадуть в Е_окіл . Але якщо Е < 1/2 , то Е_окіл т.А буде меншим за одиницю, а в послідовності натуральних чисел відстань між двома сусідніми числами – 1. Отже, послідовність натуральних чисел розбіжна. Числова послідовність, що збігається до нуля є нескінченно малою послідовністю .

Числову послідовність називають нескінченно великою, якщо яким би не було число М, можна визначити такий номер N, що для всіх n>M виконується нерівність |a_n|>M.

Послідовність {a_n} обмежена, якщо існує число М, що для всіх n виконується нерівність |a_n|<M.

• Для того, що послідовність {a_n} збігалась до А необхідно і достатньо, щоб послідовність {α_n= A - a_n} була нескінченно малою.

• Якщо {α_n} і {β_n} нескінченно малі, а {c_n} обмежена, то {α_n + β_n} та c_n + α_n} нескінченно малі.

• Збіжна послідовність обмежена

• Якщо:

• Якщо

• Якщо

• Якщо

• Для того, щоб {α_n},α_n була нескінченно малою необхідно і достатньо, щоб була нескінченно великою.

• Якщо

• Якщо дано дві послідовності {a_n} і {b_n}, які мають границі і для всіх n виконується нерівність а_n < b_n, то

• Нехай К належить Z, тоді при К>0 і при К<0.

• Якщо

• Нехай Р_r(n) = a_o · n^r + a₁ · n^r-1 … a_r, тоді

• Якщо а_о і в_о не дорівнюють 0, то