Критерій незалежності хі-квадрат Пірсона призначений для перевірки гіпотези про незалежність двох ознак, що задають рядки і стовпці таблиці спряженості. Статистика цього критерію

де сума береться по всіх клітках таблиці спряженості. Вона збігається зі статистикою критерия согласия хи-квадрат*, специфіка складається лише в способі обчислення очікуваних зустрічальностей: e_ij=r_ic_j/N, де r_i – сума зустрічальностей у i-й рядку, c_j – сума зустрічальностей у j-м стовпці.

Критерій згоди хі-квадрат використовується для перевірки гіпотези про збіг емпіричного і теоретичного розподілів дискретних випадкових величин. Критерій ґрунтується на порівнянні спостережених і очікуваних (теоретичних) встречаемостей. Статистика критерия дорівнює сумі квадратів різниць між спостереженими й очікуваними зустрічальностями, ділених на очікувані зустрічальності , де o_i – спостережена зустрічальність i-й градації, а e_i – її очікувана зустрічальність. Зверніть увагу: значення статистики залежить від обсягу вибірки.

Розглянемо одну з основних задач математичної статистики -задачу про перевірку правдоподібності гіпотез. Перед дослідником завжди поставав питання: як установити, чи суперечать досвідчені дані гіпотезі про те, що СВ_Х розподілена за деяким законом. Для відповіді на це питання користаються так називаними критеріями згоди. Одним з таких критеріїв є критерій c ² - Пірсона. У чому його суть? Пірсон запропонував розрахувати теоретичні частоти реалізації СВ_Х, що підкоряється гіпотезі, що перевіряється, про закон розподілу , і порівняти їх з  емпіричними за визначеним критерієм. Якщо критерій задовольняється, то гіпотеза про передбачуваний закон розподілу СВ_Х не відкидається, якщо критерій не задовольняється, те гіпотеза про передбачуваний закон розподілу СВ_Х відкидається і дослідник повинний висувати нову гіпотезу про закон розподілу СВ_Х (тобто переглянути свої погляди на природу досліджуваного явища).
Припустимо, що зроблено n незалежних досвідів, у кожнім з який СВ_Х прийняла визначене значення. Ці значення занесені в таблицю:

Тут  – частота події. Ми висуваємо гіпотезу Н₀, що складається в тім, що СВ_Х має розподіл

Щоб перевірити правдоподібність цієї гіпотези, треба вибрати якусь міру розбіжності статистичного розподілу з гіпотетичним. Як міру розбіжності береться сума квадратів відхилення статистичних імовірностей від гіпотетичних, узятих з деякими "вагами" с_j: Коефіцієнти с_j уводяться тому, що відхилення, що відносяться до різних значень p_i, не можна вважати рівноправними: те саме по абсолютній величині відхилення  може бути малозначним, якщо імовірність p_j велика, і дуже помітним, якщо вона мала. Пірсон довів, що якщо прийняти , те при великому числі досвідів n закон розподілу величини R має дуже прості властивості: він практично не залежить від закону розподілу СВ_Х и мало залежить від числа досвідів n, а залежить тільки від числа значень випадкової величини (СВ_Х) k і при збільшенні n наближається до розподілу c ². При такому виборі коефіцієнтів c_j міра розбіжності R звичайно позначається c ²_набл: чи з обліком того, що , одержимо .

Величина R підкоряється розподілу c ² і залежить від параметра r, називаного "числом ступенів волі". При даному критерії число ступенів волі дорівнює числу значень СВ_Х k мінус число незалежних умов ("зв'язків"), накладених на частоти р^*.

Проста лінійна кореляція (Пірсона r). Кореляція Пірсона (далі називана просто кореляцією) припускає, що дві розглянуті перемінні обмірювані, принаймні, у интервальной шкале (см. Элементарные понятия статистики). Вона визначає ступінь, з яким значення двох перемінних "пропорційні" один одному. Важливо, що значення коефіцієнта кореляції не залежить від масштабу виміру. Наприклад, кореляція між ростом і вагою буде однієї і тієї ж, незалежно від того, проводилися виміри в дюймах і чи фунтах у сантиметрах і кілограмах. Пропорційність означає просто лінійну залежність. Кореляція висока, якщо на графіку залежність "можна представити" прямою лінією (з позитивним чи негативним кутом нахилу).

Проведена пряма називається прямою регресії чи прямою, побудованою методом найменших квадратів. Останній термін зв'язаний з тим, що сума квадратів відстаней (обчислених по осі Y) від крапок, що спостерігаються, до прямої є мінімальної. Помітимо, що використання квадратів відстаней приводить до того, що оцінки параметрів прямої сильно реагують на викиди.

Як інтерпретувати значення кореляцій. Коефіцієнт кореляції Пірсона (r) являє собою міру лінійної залежності двох перемінних. Якщо звести його в квадрат, то отримане значення коэффициента детерминации r²) представляє частку варіації, загальну для двох перемінних (іншими словами, "ступінь" чи залежності зв'язаності двох перемінних). Щоб оцінити залежність між перемінними, потрібно знати як "величину" кореляції, так і її значимість.

Використана література:

1. Вища математика для ВУЗів. – Харків, 2000.

2. Высшая математика. – Одесса, 1992.