Êîëîìèéñüêèé êîëåäæ êîìï’þòåðíèõ íàóê

Êàôåäðà êîìï’þòåðíèõ äèñöèïë³í

ÊÓÐÑÎÂÀ ÐÎÁÎÒÀ

íà òåìó :

«Îá÷èñëåííÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà ôóíêö³¿ F(x) íà â³äð³çêó [A,B] çà ôîðìóëîþ ѳìïñîíà.»

Âèêîíàëà: ñòóäåíò ãðóïè ÊÍ-12

Ïóêàí Þë³ÿ Âàñèë³âíà

Êåð³âíèê: ßðåì÷óê Áîãäàí ßðîñëàâîâè÷

Êîëîìèÿ 2000ð.

ÀÍÎÒÀÖ²ß

 äàí³é êóðñîâ³é ðîáîò³ ðîçãëÿíóòî îá÷èñëåííÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà ôóíêö³¿ F(x) íà â³äð³çêó [a,b] çà ôîðìóëîþ ѳìïñîíà. Ïðîãðàìà ðåàë³çîâàíà íà àëãîðèòì³÷í³é ìîâ³ ïðîãðàìóâàííÿ TURBO PASCAL âåðñ³¿ 7.0. TURBO PASCAL áóëà ðîçðîáëåíà àìåðèêàíñüêîþ ô³ðìîþ BORLAND â 1996 ðîö³, ÿêà çíà÷íî ïîëåãøèëî ðîáîòó ïðîãðàì³ñò³â-ïî÷àòê³âö³â òà êâàë³ô³êîâàíèõ ñïåö³àëñò³â.

Ç̲ÑÒ.

1.Âñòóï.

2.Òåîðåòè÷íà ÷àñòèíà:

2.1.ѳìïñîí ³ éîãî ôîðìóëà;

2.2.Ìåòîä ѳìïñîíà;

3.Ïîñòàíîâêà çàäà÷³.

4.Äîäàòêè:

4.1.Äîäàòîê 1;

4.2.Äîäàòîê 2;

5.Âèñíîâîê.

6.Âèêîðèñòàíà ë³òåðàòóðà.

ÂÑÒÓÏ.

Ïðîíèêíåííÿ ìàòåìàòè÷íèõ ìåòîä³â ó ð³çí³ ñôåðè ëþäñüêî¿ ä³ÿëüíîñò³ íàäàëî íîâîãî ³ìïóëüñó ðîçâèòêó ÿê ñóì³æíèõ ç ìàòåìàòèêîþ íàóê, òàê ³ ñàì³é ìàòåìàòèö³. Öå â ñâîþ ÷åðãó, çóìîâèëî ðîçãëÿä. íàéá³ëüø âàæëèâèõ ïîíÿòü i ìåòîä³â òà âèêëàä ¿õ ìîâîþ ñó÷àñíî¿ ìàòåìàòèêè.

²ñòîð³ÿ ïðèêëàäíî¿ ìàòåìàòèêè ïî÷àëàñü ê³ëüêà òèñÿ÷îë³òü òîìó, êîëè áóëè ðîçâ'ÿçàí³ íàéïðîñò³ø³ ìàòåìàòè÷í³ çàäà÷³ ç îá÷èñëåííÿ ïëîù, îá'ºì³â òà ³í. Çà ÷àñ, ùî ìèíóâ, ó ïðèêëàäí³é ìàòåìàòèö³ â³äáóëîñÿ áàãàòî çì³í, ÿê³ ïîçíà÷àëèñü íà ¿¿ ìîæëèâîñòÿõ ³ âïëèâ³ íà æèòòÿ ñóñï³ëüñòâà. ijéñíî ðåâîëþö³éíå ïåðåòâîðåííÿ íàóêè âçàãàë³ ³ ìàòåìàòèêè çîêðåìà ïîâ'ÿçàíå ç ïîÿâîþ â 40-õ ðîêàõ íèí³øíüîãî ñòîë³òòÿ åëåêòðîííèõ îá÷èñëþâàëüíèõ ìàøèí (ÅÎÌ). Öÿ ïîä³ÿ ïðèâåëà äî çì³íè òåõíîëî㳿 íàóêîâèõ äîñë³äæåíü, äî ðîçøèðåííÿ ìîæëèâîñòåé âèâ÷åííÿ ñêëàäíèõ ÿâèù ïðèðîäè ³ ñóñï³ëüñòâà, ïðîåêòóâàííÿ ñó÷àñíèõ òåõí³÷íèõ ñèñòåì òîùî. Ïðèêëàäîì ìîæå áóòè îâîëîä³ííÿ ÿäåðíîþ åíåð㳺þ òà îñâîºííÿ êîñì³÷íîãî ïðîñòîðó. Ñåðåä ñêëàäíèõ çàäà÷, ÿê³ çàðàç ñòîÿòü ïåðåä íàóêîþ, ìîæíà íàçâàòè ìîäåëþâàííÿ ëþäèíè, ¿¿ âçàºìî䳿 ç ïðèðîäîþ, ìîäåëþâàííÿ êë³ìàòó òà áàãàòî ³íøèõ.

Äëÿ òîãî, ùîá âèâ÷èòè ïðîáëåìó çà äîïîìîãîþ ìàòåìàòè÷íèõ ìåòîä³â òà ÅÎÌ, íà ïåðøîìó åòàï³ ôîðìóëþþòü ¿¿ â òåðì³íàõ òèõ îá'ºêò³â, ÿê³ âèâ÷ຠñó­÷àñíà ìàòåìàòèêà — ñèñòåì ë³í³éíèõ ÷è íåë³í³éíèõ ð³âíÿíü, äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ³ ò.ï. ²íøèìè ñëîâàìè, ñòâîðþþòü ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü (ÌÌ) ÿâèùà, ÿêå âèâ÷àºòüñÿ, ÷è òåõí³÷íî¿ ñèñòåìè, ÿêà ïðîåêòóºòüñÿ.

Äàë³ çâåðòàþòüñÿ çà äîïîìîãîþ äî ÅÎÌ. Àëå, ÿê â³äîìî, ÅÎÌ âè­êîíóº ëèøå íàéïðîñò³ø³ àðèôìåòè÷í³ ³ ëîã³÷í³ îïåðàö³¿, õî÷à ³ ðîáèòü öå ç âåëè÷åçíîþ øâèäê³ñòþ. Òîìó íà äðóãîìó åòàï³ ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü ïåðåòâîðþþòü äî òàêîãî âèãëÿäó, ùîá äî íå¿ âõîäè­ëè ëèøå ò³ îïåðàö³¿, ÿê³ ìîæå âèêîíóâàòè ÅÎÌ. Òàêå ïåðåòâîðåííÿ âèêîíóþòü çà äîïîìîãîþ ìåòîä³â, ÿê³ íàçèâàþòü «÷èñåëüí³ ìåòîäè» (×Ì) àáî «ìåòîäè îá÷èñëåíü» (ÌÎ). ßê íàñë³äîê ä³ñòàþòü íîâó ìî­äåëü, ÿêà íàçèâàºòüñÿ (íà â³äì³íó â³ä âèõ³äíî¿ íåïåðåðâíî¿ ìîäåë³) äèñêðåòíîþ ìîäåëëþ (ÄÌ). Äàë³ (òðåò³é åòàï) çà äèñêðåòíîþ ìîäåëëþ ñêëàäàþòü ïðîãðàìó (Ï) äëÿ ÅÎÌ. Çàóâàæèìî, ùî ð³âåíü ìàòåìàòè÷íîãî çàáåçïå÷åííÿ (ÌÇ) ñó÷àñíèõ ÅÎÌ äຠçìîãó ïðîãðàì³ñòó óíèêíóòè òðóäîì³ñòêîãî ³ âèñíàæëèâîãî øëÿõó, êîëè ïðè ïðîãðàìóâàíí³ äèñêðåòíó ìîäåëü äîâîäèòüñÿ «ðîçïèñóâàòè» àæ äî åëåìåíòàðíèõ àðèôìåòè÷íèõ ³ ëîã³÷íèõ îïåðàö³é.  ÌÇ ÅÎÌ º òàê çâàí³ ïàêåòè ïðèêëàäíèõ ïðîãðàì (ÏÏÏ), ³ ÿêùî â äèñêðåòí³é ìîäåë³, íàïðèêëàä, ïîòð³áíî ðîçâ’ÿçàòè ñèñòåìó ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü, òî â ïðîãðàì³, ÿêà ðåàë³çóº öþ äèñêðåòíó ìîäåëü, äîñèòü ç ÏÏÏ âèêëèêàòè â³äïîâ³äíó ï³äïðîãðàìó.

Àâòîð ïðîãðàìè, ÿêà âèêîðèñòîâóºòüñÿ â äàí³é êóðñîâ³é ðîáîò³ - Òîìàñ ѳìïñîí, íàðîäèâñÿ 20 ñåðïíÿ 1710 ðîêó ó Âåëèêîáðèòàí³¿. Çà ôàõîì ѳìïñîí áóâ êâàë³ô³êîâàíèì ìàòåìàòèêîì. Ó 1746 ðîö³ ñòàâ ÷ëåíîì Ëîíäîíñüêîãî Êîðîë³âñüêîãî Òîâàðèñòâà, ùî íà òîé ÷àñ áóëî äóæå ïðåñòèæíî. Ùå ç äèòèíñòâà çàõîïëþâàâñÿ øàõìàòàìè. Îñâ³òó çäîáóâ ñàìîñò³éíî, áóâ òêà÷åì, ïîò³ì øê³ëüíèì â÷èòåëåì â àíãë³éñüêîìó ì³ñò³ Äåðá³, äàë³ Òîìàñ ѳìïñîí ñòàâ ïðîôåñîðîì ìàòåìàòèêè â Âîºíí³é àêàäå쳿 â Êóëüâ³÷³. Ôîðìóëó íàáëèæåíîãî ³íòåãðóâàííÿ âèâ³â â 1743 ðîö³. Ðîáîòè ïî åëåìåíòàðí³é ãåîìåòð³¿, òðèãîíîìåòð³¿, àíàë³çó ³ òåî𳿠éìîâ³ðíîñò³. Âåëèêèé ìàòåìàòèê ïîìåð 14 òðàâíÿ 1761 ðîêó.

2.Òåîðåòè÷íà ÷àñòèíà.

2.1.ѳìïñîí ³ éîãî ôîðìóëà.

Ùîá ïîáóäóâàòè òðèòî÷êîâó êâàäðàòóðíó ôîðìóëó ç ð³âíîâ³ääàëåíèìè âóçëàìè äëÿ îá÷èñëåííÿ íàáëèæåíîãî çíà÷åííÿ , äå f(x) - íåïåðåðâíà íà [ x0-h; x0+h ] ðàçîì ç³ ñâî¿ìè ïîõ³äíèìè äî ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó âêëþ÷íî, ìîæíà âèêîðèñòàòè ³íòåðïîëÿö³éíèé ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà 2-ãî ïîðÿäêó, ãðàô³ê ÿêîãî ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êè (x0-h;f(x0-h)),(x0;f(x0)) i (x0+h,f(x0+h)) i ïðî³íòåãðóâàòè ïî õ ó ìåæàõ â³ä x0-h äî x0+h.

Ïðîòå òàêó êâàäðàòóðíó ôîðìóëó áóäóâàòèìåìî òóò, êîðèñòóþ÷èñü ìåòîäîì íåâèçíà÷åíèõ êîåô³ö³ºíò³â. Öåé ìåòîä, êð³ì òîãî, äຠçìîãó äîñèòü ïðîñòî îá÷èñëèòè ¿¿ çàëèøêîâèé ÷ëåí. Îòæå, ïîáóäóºìî êâàäðàòóðíó ôîðìóëó âèãëÿäó

äå À ³  - íåâ³äîì³ êîåô³ö³ºíòè, à R(f) - çàëèøêîâèé ÷ëåí.

Ùîá ä³ñòàòè ð³âíÿííÿ, ç ÿêèõ ìîæíà âèçíà÷èòè êîåô³ö³ºíòè À ³ Â, ïîäàìî ôóíêö³¿ f(x),f(x0-h) i f(x0+h) â îêîë³ òî÷êè õ0 çà äîïîìîãîþ ôîðìóëè Òåéëîðà. Ìàºìî

¦(C)=¦(Co)+(C-Co)¦¢(Co) + + +

¦(Co-H)=¦(Co)-H¦¢(Co)+(HÙ2)¦¢¢(Co)¤2!-(HÙ3)¦¢¢¢(Co)¤3!+(CÙ4)¦¢¢¢¢(Co+q3H)¤4!

¦(Co+H)=¦(Co)+H¦¢(Co)+(HÙ2)¦¢¢(Co)¤2!+(HÙ3)¦¢¢¢(Co)/3!+(HÙ4)¦¢¢¢¢(Co+q3H), 0<q,q2,q3<1.

ϳäñòàâëÿþ÷è ö³ çíà÷åííÿ ôóíêö³é f(x), f(x0-h), f(x0+h) ó (6.30) ³ áåðó÷è äî óâàãè, ùî

äëÿ çàëèøêîâîãî ÷ëåíà R(f) ä³ñòàíåìî:

Íåâ³äîì³ êîåô³ö³ºíòè À ³  äîáåðåìî òàê, ùîá

_1-2À-Â=0,

1/3!-À=0.

Çâ³äñè çíàõîäèìî À=1/6, Â=2/3.

Çà öèõ çíà÷åíü À ³  çàëèøêîâèé ÷ëåí êâàäðàòóðíî¿ ôîðìóëè (6.30)

Àëå f’’’’ íåïåðåðâíà íà [x0-h;x0+h], òîìó ³ñíóº òî÷êà xÎ[Co-H,Co+H] òàêà, ùî

Îòæå,

Òàêèì ÷èíîì, òðèòî÷êîâó êâàäðàòóðíó ôîðìóëó (6.30) ìîæíà çàïèñàòè òàê :

Öå ³ º êâàäðàòóðíà ôîðìóëà ѳìïñîíà, àáî ôîðìóëà ïàðàáîë ³ç çàëèøêîâèì ÷ëåíîì. Âîíà òî÷íà äëÿ ìíîãî÷ëåíà òðåòüãî ñòåïåíÿ, áî ïîõ³äíà ÷åòâåðòîãî â³ä òàêîãî ìíîã÷ëåíà äîð³âíþº íóëþ. Ç ôîðìóëè (6.31) ëåãêî çíàéòè òàêó îö³íêó äëÿ àáñîëþòíî¿ ïîõèáêè ÷èñåëüíîãî ³íòåãðóâàííÿ çà ôîðìóëîþ ѳìïñîíà :

ßêùî òðåáà îá÷èñëèòè ç äîñòàòíüîþ òî÷í³ñòþ, òî â³äð³çîê [a,b] ä³ëÿòü íà 2n ð³âíèõ â³äð³çê³â çàâäîâæêè ³ äî êîæíîãî ç â³äð³çê³â [X2k;X2k+2] (k=0,1,..., n-1) çàñòîñîâóþòü ôîðìóëó ѳìïñîíà (6.32).

Òîä³ äå

Îñê³ëüêè f’’’’(xk)=f’’’’(x),xÎ[A;B].

Òàêèì ÷èíîì ä³ñòàºìî óçàãàëüíåíó ôîðìóëó ѳìïñîíà (ïàðàáîë) ³ç çàëèøêîâèì ÷ëåíîì âèãëÿäó:

Çàëèøêîâèé ÷ëåí óçàãàëüíåíî¿ ôîðìóëè ѳìïñîíà

Çâ³äñè ä³ñòàºìî òàêó îö³íêó àáñîëþòíî¿ ïîõèáêè ÷èñåëüíîãî ³íòåãðóâàííÿ çà óçàãàëüíåíîþ ôîðìóëîþ ѳìïñîíà :

ßêùî íàáëèæåíå çíà÷åííÿ ³íòåãðàëà òðåáà îá÷èñëèòè ç òî÷í³ñòþ E>0, â³äïîâ³äíèé êðîê ³íòåãðóâàííÿ h âèçíà÷àºòüñÿ íåð³âí³ñòþ

,

àáî, ùî òå ñàìå, â³äð³çîê [a;b] òðåáà ïîä³ëèòè íà n ð³âíèõ ÷àñòèí äå

Çà óçàãàëüíåíîþ ôîðìóëîþ ѳìïñîíà îá÷èñëèìî íàáëèæåíå çíà÷åííÿ ³íòåãðàëà (6.19) ç êðîêîì n=0,1 ³ îö³íèìî ïîâíó àáñîëþòíó ïîõèáêó D1.

Êîðèñòóþ÷èñü òàáëèöåþ 6.1, çà ôîðìóëîþ (6.33) çíàéäåìî :

²ñì=0,38177448»0,381745

Ùîá îö³íèòè çàëèøêîâèé ÷ëåí R(f) ôîðìóëè ѳìïñîíà çà ôîðìóëîþ (6.35), òðåáà çíàéòè ïîõ³äíó ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó â³ä ôóíêö³¿ f(x)=xcosx, ìàºìî

f’’’’(x)=4sinx+xcosx, çâ³äñè

Òîìó äëÿ çàëèøêîâîãî ÷ëåíà R(f) çà ôîðìóëîþ (6.35) (a=0, b=1, h=0,1, M4=5) ä³ñòàíåìî

Ïîõèáêà îñòàòî÷íîãî îêðóãëåííÿ Do=0,2*10^(-7), à íåóñóâíà ïîõèáêà DfDfáî , à çíà÷åííÿ ï³ä³íòåãðàëüíî¿ ôóíêö³¿ f ó âóçëàõ Xk (k=0,1,...10) îá÷èñëþâàëè ç òî÷í³ñòþ 0,5*10^(-7), òîáòî Df=0,5*10^(-7).

Çà ôîðìóëîþ (6.3) äëÿ ïîâíî¿ àáñîëþòíî¿ ïîõèáêè ÷èñåëüíîãî ³íòåãðóâàííÿ ôóíêö³¿ f(x)=xcosx çíàõîäèìî òàêó îö³íêó :

D1=0,278*10^(-5)+0,5*10^(-7)+0,2*10^(-7)=0,285*10^(-5)<0,3*10^(-5).

Îòæå îá÷èñëåíå çà ôîðìóëîþ ѳìïñîíà äëÿ n=10,h=0,1 íàáëèæåíå çíà÷åííÿ ³íòåãðàëà (6.19) ìຠï’ÿòü ïðàâèëüíèõ çíà÷óùèõ çíà÷óùèõ öèôð, òîáòî

Íàéá³ëüøèé âíåñîê ó ïîâíó àáñîëþòíó ïîõèáêó óçàãàëüíåíî¿ ôîðìóëè ѳìïñîíà âíîñèòü çàëèøêîâèé ÷ëåí R(f). Òîìó äëÿ âèçíà÷åííÿ ê³ëüêîñò³ â³äð³çê³â n-ðîçáèòòÿ [a;b], ÿêå ãàðàíòóº îá÷èñëåííÿ íàáëèæåíîãî çíà÷åííÿ ³íòåãðàëà ç òî÷í³ñòþ E>0, äîñèòü ñêîðèñòàòèñü ôîðìóëîþ (6.36). Çâè÷àéíî, âñ³ ïðîì³æí³ îá÷èñëåííÿ ïðè öüîìó ñë³ä ïðîâîäèòè ç òî÷í³ñòþ, á³ëüøîþ çà E. Íàïðèêëàä, ùîá îá÷èñëèòè íàáëèæåíå çíà÷åííÿ ³íòåãðàëà (6.19) ç òî÷í³ñòþ E=0,5*10^(-4), òðåáà â³äð³çîê [0;1] ïîä³ëèòè íå ìåíüø ÿê íà òðè ð³âí³ ÷àñòèíè, áî çà ôîðìóëîþ (6.36) ( à=0, â=1, Ì4=5 ) ìàºìî

Îá÷èñëèìî ³íòåãðàë (6.19) çà ôîðìóëîþ (6.33), ïîêëàâøè n = 2, 4, 8, 16. Çíàéäåìî ²2 = 0,38182200; ²4=0,38177633; ²8=0,381773333. À öå îçíà÷àº, ùî ²2 ìຠòðè, ²4 - ï‘ÿòü, ²8 - ø³ñòü ïðàâèëüíèõ çíà÷óùèõ äåñÿòêîâèõ öèôð.  ²16 - âñ³ 8 öèôð ïðàâèëüí³.

2. Ìåòîä ѳìïñîíà.

Âëàñíå çíà÷åííÿ ³íòåãðàëà

ìîæíà çíàéòè ìåòîäîì ѳìïñîíà (ïàðàáîë). Äëÿ öüîãî â³äð³çîê [a,b] ðîçáèâàºòüñÿ íà n=2m ÷àñòèí Co=A,C1=A+h,...,Cn= ç êðîêîì h=(b-a)/n (1)

Ó òî÷êàõ Õ³ îá÷èñëþþòü çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ Ó1=f(Xi) ³ çíàõîäÿòü íàáëèæåíå çíà÷åííÿ ³íòåãðàëà çà ôîðìóëîþ ѳìïñîíà S = Sn + Rn

äå

Äàë³ ê³ëüê³ñòü òî÷îê ðîçáèòòÿ ïîäâîþºòüñÿ ³ çä³éñíþºòüñÿ îö³íêà òî÷íîñò³ îá÷èñëåíü

ßêùî , òî ê³ëüê³ñòü òî÷îê ðîçáèòòÿ çíîâó ïîäâîþºòüñÿ. Ïðè öüîìó çíà÷åííÿ ñóìè 2*(ó1+ó2+...+ó2m-1) ó ïîïåðåäí³õ òî÷êàõ ðîçáèòòÿ çáåð³ãàºòüñÿ, òîìó äëÿ îá÷èñëåííÿ ³íòåãðàëà ïðè ïîäâîºíí³ ê³ëüêîñò³ òî÷îê ðîçáèòòÿ òðåáà îá÷èñëþâàòè çíà÷åííÿ ó(õ) ëèøå â íîâèõ òî÷êàõ.

4.ÄÎÄÀÒÊÈ :

4.1.Äîäàòîê 1: Ñòðóêòóðà ïðîãðàìè.

Ó äàí³é ïðîãðàì³ âèêîðèñòîâóþòüñÿ çì³íí³ :

à, â - ìåæ³ ³íòåãðóâàííÿ;

å - òî÷í³ñòü;

õ - àðãóìåíò ôóíêö³¿ f(x);

h - êðîê;

S, S1, S2, S3 -ðîáî÷³ çì³íí³;

x1=xi+h.

Êîíòðîëüíèé ïðèêëàä.

²íòåãðàë

Ôóíêö³ÿ ff(x) ìຠâèãëÿä :

Function ff( x:Real ):Real;

Begin ff:=exp(x) END;

Ñòðóêòóðà ïðîãðàìè

1-2 - çàãîëîâîê ôóíêö³¿ òà îïèñ ëîêàëüíèõ çì³ííèõ;

4-11 - îá÷èñëåííÿ çà ôîðìóëàìè (2) ³ (3)

Ïðîãðàìà. ²íòåãðàë çà ѳìïñîíîì.

FUNCTION FF(X:REAL):REAL;

BEGIN FF:=EXP(X) END;

FUNCTION Simpson(a,b,e:real):real;

var h,S,S1,S2,S3,X,X1:REAL;

BEGIN

S2:=1E+30;H:=B-A;S:=FF(A)+FF(B);

REPEAT

S3:=S2;H:=H/2;S1:=0;X1:=A+H;

WHILE(X1>B)=(H<0) DO

BEGIN S1:=S1+2*FF(X1);X1:=X1+2*H;

END;

S:=S+S1;S2:=(S+S1)*H/3;X:=ABS(S3-S2)/15

UNTIL X<E;

SIMPSON:=S2; END;

4.2.Äîäàòîê 2. : Óçàãàëüíåííÿ ïðîåêòó.

Íà äàíèé ìîìåíò ³ñíóº äîñèòü áàãàòî ð³çíèõ ìåòîä³â â ìàòåìàòè÷í³é ãàëóç³ ÷èñåëüíîãî ³íòåãðóâàííÿ ôóíêö³é. Äî íàéâ³äîì³øèõ ìåòîä³â â³äíîñÿòüñÿ :

à) Êâàäðàòóðí³ ôîðìóëè Íüþòîíà-Êîòåñà;

á) Ôîðìóëà ïðÿìîêóòíèê³â;

â) Ôîðìóëà òðàïåö³é;

ã) Ìåòîä îá÷èñëåííÿ ³íòåãðàëà çà Ðîìáåðãîì;

Çâè÷àéíî äî öèõ ìåòîä³â íà ïåðøå ì³ñöå ñë³ä â³äíåñòè îá÷èñëåííÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà ôóíêö³¿ f(x) íà â³äð³çêó [a, b] çà ôîðìóëîþ ѳìïñîíà à òàêîæ ³íòåãðóâàííÿ ìåòîäîì ѳìïñîíà ç îö³íêîþ òî÷íîñò³. Ìåòîä ѳìïñîíà âèðàõîâóº íàäçâè÷àéíî òî÷íå îá÷èñëåííÿ ³íòåãðàëà ôóíêö³¿. Çâè÷àéíî îá÷èñëþâàòè ìåòîäîì ѳìïñîíà òàê³ ³íòåãðàëè âðó÷íó äóæå äîâãî, òîìó äëÿ öüîãî ³ ³ñíóº òàêà äèñöèïë³íà, ÿê «Àëãîðèòì³÷í³ ìîâè ïðîãðàìóâàííÿ»

5.Âèñíîâîê.

Îòæå â äàí³é òåì³ êóðñîâî¿ ðîáîòè «Îá÷èñëåííÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëó ôóíêö³é f(x) íà â³äð³çêó [a, b] çà ôîðìóëîþ ѳìïñîíà» ïîêàçàíî ìîæëèâ³ñòü ðîçâ’ÿçàííÿ ³íòåãðàëó çà ôîðìóëîþ ѳìïñîíà, à òàêîæ ³íòåãðóâàííÿ ìåòîäîì ѳìïñîíà ç îö³íêîþ òî÷íîñò³.

6.˳òåðàòóðà.

6.1. ß.Ì.Ãðèãîðåíêî, Í.Ä.Ïàíêðàòîâà. «Îá÷èñëþâàëüí³ ìåòîäè â çàäà÷àõ ïðèêëàäíî¿ ìàòåìàòèêè»

Ê. «Ëèá³äü» 1995

6.2.².Ï.Ãàâðèëþê, Â.Ë.Ìàêàðîâ. ..«Ìåòîäè îá÷èñëåíü». (Ó äâîõ ÷àñòèíàõ)

Ê. «Âèùà øêîëà» 1995.

6.3..«Ìåòîäè îá÷èñëåíü». Ïðàêòèêóì íà ÅÎÌ.

Ê. «Âèùà øêîëà» 1995.

6.4.ß.Ò.Ãðèí÷èøèí. «×èñåëüí³ ìåòîäè â ô³çèö³ òà ìàòåìàòèö³».

Òåðíîï³ëü, 1994.

6.5.Þ.Ï.Áîãëàåâ. «Âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàòåìàòèêà è ïðîãðàììèðîâàíèå».

Ì. «Âûñøàÿ øêîëà», 1990.