Исследование некоторых задач в алгебрах и пространствах программ

Казиев В.М.

Рассмотрим пару алгебр (A,B): алгебру X=<X,& ,a (+),a {},{}a > событий - алгоритмических процедур (программ) заданную над алфавитом X={x₁,x₂,...,x_n} и В-трехзначную алгебру логики (0,1,2 - неопределенность). В алгебре А определим двухместные операции конъюнкции и условной дизъюнкции и одноместную операцию итерации следующим образом: конъюнкция s_1& s₂ событий s₁, s₂ состоит из всех слов вида pq, pÎ s₁, qÎ s₂; a - дизъюнкция a (s₁+s₂) совпадает с s₁(s₂), если условие a истинно (ложно); итерация с постусловием {s}a состоит из пустого события s₀=e и всевозможных слов вида p₁p₂...p_k т.е., {s}a =s^m, где s^m - последний из степеней s, для которого условие a выполнено; итерация с предусловием a {s} определяется аналогично. В алгебре А задается событие называемое неопределенным и обозначаемое символом Æ . Элементарные события в А - события е, x₁, x₂,..., x_n. Аксиомы алгебры А ниже рассмотрены. Все аксиомы алгебры B и правила вывода в ней сохраняются. Правила вывода, используемые в алгебре А включают правила вывода, принятые в программировании - см., например, [1]. Событие, получаемое применением конечного числа операций алгебры А над элементарными, называется регулярным.

Имеет место важная теорема Клини [2]: регулярные события и только они представимы в конечных автоматах.

Рассмотрим задачу построения алгоритма регуляризации во введенной паре алгебр (А,B). Алгоритм в укрупненных шагах состоит в следующем.

Шаг 1. Задается произвольное событие s=s₀ s₁ s₂...s_n+1, где s_i - событие номер i, начальное событие - s₀, конечное - s_n+1, остальные события - преобразователи и/или события - распознаватели.

Шаг 2. Составляется система уравнений алгебры событий А: записывается функция F события, его дерево D и дерево состояний определяющее все к путей выполнения :, где F_i - функция ветви дерева состояний. Функция ветви дерева - композиция всех функций (событий) данной ветви; программная функция F - объединение всех функций ветвей дерева.

Шаг 3. Система уравнений с помощью подстановок и операций дизъюнкции и конъюнкции представляется в виде : X=XA+B, где X - событие, представленное заключительным состоянием s_n+1,.

Шаг 4. Находим решение системы. Используется теорема [3]: если характеристический граф матрицы А (орграф соединяющий ребрами вершины i и j только тогда, когда eÎ a_ij) не содержит ни одного цикла, то система X=XA+B имеет единственное решение X=B{A}, которое регулярно при регулярных A, B. При решении системы эффективно преобразовывать уравнения, - как и при решении линейных алгебраических уравнений, например, брать дизъюнкцию событий, изменять порядок исключения событий и др.

Шаг 5. По условиям выполнимости событий находим регулярную форму этого решения. Используются аксиомы алгебры логики В и соотношения алгебры событий А, например, следующие (AB=A& B, a b = a & b , a (A) - условие выполнимости события А, Aa - проверка условия a после события А и для этого условия верны все аксиомы алгебры В, - отрицание условия a ):

Ae=eA=A,

ea =a (e)=a ,

AÆ =Æ A=Æ ,

₂(A+B)=Æ ,

a (b (A))=b ,

A(BC)=(AB)C,

_b (A+B)=(a (A)+ (B)),

a (b (A+B))=(b a (A))+( (B)),

_a (A+B)C=a (AC+BC),

Aa (B+C)=a (AB+AC),

a (AB)=a (A)Ba (B),

(AB)a =A(Ba ),

A{B}a ={B_Aa }A,

a ({A}b )={Ab }b ,

{A}a =a (e+A{A}a ),

{a (A)} (B)={A}B,

_a {A}a {A}=a {A},

{a _a {A}}=a {A},

{A}a {A}a ={A}a ,

{{A}a a }={A}a ,

{a (A)}={A} ,

{A}a +e=a {A},

Aa {A}=a {A}A={A}a .

Пример 1. Регуляризуем микропрограмму А деления с фиксированной запятой. Для простоты считаем, что числа неотрицательны, а операция не приводит к переполнению разрядной сетки компьютера фон - Неймановского типа, операционный автомат которого состоит из регистров R₁, R₂ сумматора R₃ и счетчика сдвигов R₄. Делимое храниться на R₁, делитель - на R₂, частное накапливается на R₃. Введем обозначения: l_i - микрооперация сдвига регистра R_i влево (i=1,2,3); s^-1_ij - микрокоманда вычитания из содержимого регистра R_j содержимого регистра R_i; a _i - условие заполненности регистра R_i; g _i - условие отрицательности содержимого регистра R_i; p_i - микрооперация занесения единицы в младший разряд R_i; s_i,j- микрокоманда добавления содержимого регистра R_i к содержимому R_j.

Выпишем систему уравнений, обозначив через x_i - событие соответствующее каждому из 11 пунктов алгоритма деления (см., например, [3]):

Решим эту систему. После очевидных подстановок, вводя обозначения:

x=x₃+x₇+x₁₀ ,

B=el₃s^-1₁₃,

A=g ₃p₂l₂p₄l₃s^-1₁₃+g ₃l₂p₄l₃s^-1₁₃

получим уравнение X=XA+B, решение которого будет X=B{A} и после упрощений с помощью приведенных аксиом, заключительное событие S равно

s=x₁₁l₃s^-1₁₃{g ₃(l₂p₄l₃s₁₃+p₂ l₂p₄l₃s₁₃^-1)}a ₄

2. Рассмотрим задачу нахождения оптимальных (например, в смысле операции, длины и т.д.) структурированных программ из заданного набора базовых процедур (некоторые из них - см. в [5]), а также построения грамматик для анализа структур из программных единиц. При решении этой задачи используются аксиомы алгебры А.

Пример 2. Дана программа Р, где А,В,С - процедуры, a , b - предикаты:

P=a (BA+CA)b (Ab {A}+e)=a (B+С)Ab (Ab {A}+e)=a (B+С)Ab ({A}b +e)=a (B+С)Ab {A}=a (B+C){A}b =T.

Программа Т - более оптимальна и ее правильность доказываема формально.

Доказана теорема (доказательство не приводим из-за объема).

Теорема 1. Если R,A,S Î A, a ,b ,g Î B, A и S - коммутативны, то:

а)AX=Aa (R+SX)Û AX=A{S}a R, б)Ag =Aa (b +Sg )Û Ag =A{S}a b ,

в)Ag =Aa (b +S)Þ Ag =A{S²}t a (b +S),t =a +Sa ,

г)Ag =A{S²}t g Þ Ag =At (e+S²)g , g =a (b +S), t =a +Sa .

Рассмотрим задачу исследования разрешимости в пространствах программ.

Пусть x=<X, Y, M, S> - программа, определенная на входном алфавите Х, выходном алфавите Y и состоящая из подпрограмм (процедур) М с логической схемой (структурой) S. Структуре S поставим в соответствие орграф: Вершины - подпрограммы, ребра - в соответствии со структурой их взаимодействий. Метрика r (x,y) в этом пространстве - сумма всех весов ребер орграфов программ не совпадающих при заданной структуре S или отклоняющихся от оптимальной структуры, т.е. Аксиомы метрики проверяемы.

Отметим метризуемость пространства и по некоторым характеристикам качества программ Холстеда [6], а также с помощью понятия интеллектуальной работы программы, оцениваемой как разность энтропии до работы (статической формы программы) и после работы (динамической формы). У идеальной программы энтропия равна нулю. Отметим, что если ds/dt - общее изменение энтропии программного комплекса при отладке, ds₁/dt - изменение энтропии за счет необратимых изменений структуры, потоков внутри комплекса (рассматриваемую как открытую систему), ds₂/dt - изменение энтропии за счет усилий по отладке и тестированию, то справедливо уравнение Пригожина: ds/dt = ds₁/dt + ds₂/dt. Последовательность программ {x_i}, сходится по схеме (структуре) к программе х (обозначим), если r (x_n,x)® 0, при n® ¥ , т.е. дерево программы x_n при n® ¥ стремится к дереву программы х. Последовательность {x_i} сходится функционально к программе х (обозначим), если F(x_n)® F(x) при n® ¥ (программная функция x_n стремится к программной функции х). Нетрудно видеть, что из сходимости по схеме следует сходимость функциональная, но обратное неверно.

Пусть M = {x₁, x₂, ..., x_n,...} - последовательность программ с общей функцией (эквивалентных функционально). На этом множестве рассмотрим множество операторов А преобразования (композиции, суперпозиции) программ. Последовательность {A_n} сходится к А функционально (по схеме, структуре), если верно: " xÎ М:

С точки зрения исследования существования, единственности оптимальной (в каком-то смысле) программы можно рассмотреть: операторы минимизации числа операндов; операторы минимизации числа типов операторов; операторы минимизации числа вызовов процедур; минимизации числа ошибок в программе; минимизации сложности (разных способов определения) и др. При исследовании программных систем важно рассматривать пространства векторов х=(х₁,x₂,...,x_n), где x_i - характеристика ошибок в программе или структурной связностипроцедур, u_i - количество ошибок в i-ом модуле программного комплекса P(u)=P(u₁,u₂,...,u_n).

Пусть u(x,t) - количество ошибок, обнаруженных в программе (системе) в момент времени t, а х - характеристика уровня ошибок. Рассмотрим модель обнаружения ошибок при отладке, представимая уравнением (см. также [7]): Lu+Tu=f, где T - оператор, определяющий первоначальный уровень ошибок в программе или их некоторую характеристику, L - некоторый линейный ограниченный оператор отладки, L:U® V, U,V - линейные нормированные пространства D(L) Í U, R(L)Í V.

Теорема 2. Если R(L)=V и для каждого uÎ D(L) существует постоянная c такая, что, то Lu+Tu=f имеет единственное решение uÎ U.

Доказательство. Условия теоремы гарантируют существование непрерывного обратного оператора L^-1, причем. Тогда u=L^-1(f-Tu). Для однородного уравнения:. Отсюда следует, что, т.е. u=0. Следовательно, неоднородное уравнение имеет единственное решение.

Пример 3. Пусть u_max - максимальный уровень синтаксических ошибок в программе Р, u(t) - их оставшееся количество к моменту времени t. Исходя из модели du/dt+l u_max=0, u(t₀)=u₀ можно заключить, что уровень ошибок убывает при l (c-t₀) ¹ -1 (t₀<c<T) по закону: u(t) = u₀(1+ l (c-t))/(1+l (c-t₀)).

Если задать дополнительно u(t_*)=u_*, (u_max - неизвестная величина), то закон изменения уровня ошибок находится однозначно, так как: с=(u_*t₀-u₀t_*)/(l u_*-l u₀)-1/l .

Вопросы разрешимости некоторых уравнений Lx=y, где х - неизвестная программа, y - заданная программа, L - оператор, например, оптимизации, будут изложены в другой работе.

Список литературы

1. Алагич С., Арбиб М. Проектирование корректных структурированных программ. - М., Радио и связь, 1984.

2. Клини С.К. Представление событий в нервных сетях и конечных автоматах. - Автоматы, ИЛ, М., 1956.

3. Бондарчук В.Г. Системы уравнений в алгебре событий. - Журнал вычислительной математики и математической физики, N6, т.3, 1963.

4. Глушков В.М. О применении абстрактной теории автоматов для минимизации микропрограмм. - Изв. АН СССР, Технич. кибернетика, N1, 1964.

5. Казиев В.М. Дидактические алгоритмические единицы. - Информатика и образование, N5, 1991.

6. Холстед М. Начала науки о программах. - М., Финансы и статистика, 1981.

7. Казиев В.М. Один класс математических моделей переработки информации и некоторые его приложения. - Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах, Киев, 1991.