Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении

Расчетная работа

Выполнил Шеломанов Р.Б.

Кафедра математической статистики и эконометрики

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

Москва 1999

ЗАДАНИЕ № 23

Продолжительность горения электролампочек (ч) следующая:

750	750	756	769	757	767	760	743	745	759
750	750	739	751	746	758	750	758	753	747
751	762	748	750	752	763	739	744	764	755
751	750	733	752	750	763	749	754	745	747
762	751	738	766	757	769	739	746	750	753
738	735	760	738	747	752	747	750	746	748
742	742	758	751	752	762	740	753	758	754
737	743	748	747	754	754	750	753	754	760
740	756	741	752	747	749	745	757	755	764
756	764	751	759	754	745	752	755	765	762

По выборочным данным, представленным в заданиях №1-30, требуется:

1* Построить интервальный вариационный ряд распределения;

Построение интервального вариационного ряда распределения

Max: 769

Min: 733

R=769-733=36

H= R / 1+3,32 lg n=36/(1+3,32lg100)=4,712

A1= x min - h/2=730,644

B1=A1+h; B2=A2+h







2* Вычислить выборочные характеристики по вариационному ряду:

среднюю арифметическую (x ср.), центральные моменты (мю к, к=1,4), дисперсию (S^2), среднее квадратическое отклонение (S), коэффициенты асимметрии (Ас) и эксцесса (Ек), медиану (Ме), моду (Мо), коэффициент вариации(Vs);




Вычисление выборочных характеристик распределения




Di=(x_i- x_ср)

x_ср =å xi mi/å mi

x_ср = 751,7539




Вспомогательная таблица ко второму пункту расчетов







Выборочный центральный момент К-го порядка равен




M k = ( xi - x)^k mi/ mi



В нашем примере:

Центр момент 1	0,00
Центр момент 2	63,94
Центр момент 3	-2,85
Центр момент 4	12123,03

Выборочная дисперсия S^2 равна центральному моменту второго порядка:

В нашем примере:

S^2= 63,94

Ввыборочное среднее квадратическое отклонение:

В нашем примере:

S= 7,996

Выборочные коэффициенты асимметрии Ас и эксцесса Fk по формулам

Ac = m3/ S^3;

В нашем примере:

Ас =-0,00557

Ek = m4/ S^4 -3;

В нашем примере:

Ek = -0,03442

Медиана Ме - значение признака x (e), приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений ( n = 2l -1). При четном числе наблюдений( n= 2l) медианой Ме является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда: Me=( x(e) + x( e+1) /2

Если исходить из интервального ряда, то медиану следует вычислять по ормуле

Me= a me +h * ( n/2 - mh( me-1) / m me

где mе- означает номер медианного интервала, ( mе -1) - интервала, редшествующего медианому.

В нашем примере:

Me=751,646

Мода Мо для совокупности наблюдений равна тому значению признака , которому соответствует наибольшая частота.

Для одномодального интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле

Mo= a mo + h * ( m mo- m(mo-1))/2 m mo- m( mo-1) - m( mo+1)

где мо означает номер модального интервала ( интервала с наибольшей частотой), мо-1, мо+1- номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов.

В нашем примере:

Mo = 751,49476

Так как Х_ср, Mo Me почти не отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.

Коэффициент вариации Vs = S/ x * 100 %= 3.06%

В нашем примере:

Vs= 1,06%




3* Построить гистограмму, полигон и кумуляту.




Графическое изображение вариационных рядов



Для визуального подбора теоретического распределения, а также выявления положения среднего значения (x ср.) и характера рассеивания (S^2 и S) вариационные ряды изображают графически.

Полигон и кумулята применяются для изображения как дискретных, так и интервальных рядов, гистограмма – для изображения только интервальных рядов. Для построения этих графиков запишем вариационные ряды распределения (интервальный и дискретный) относительных частот (частостей)

Wi=mi/n, накопленных относительных частот Whi и найдем отношение Wi/h, заполнив таблицу 1.4.




Интервалы xi Wi Whi Wi/h

Ai-bi

1 2 3 4 5

4,97-5,08 5,03 0,02 0.02 0,18

5,08-5,19 5,14 0,03 0,05 0,27

5,19-5,30 5,25 0.12 0,17 1,09

5,30-5,41 5,36 0,19 0,36 1,73

5,41-5,52 5,47 0,29 0,65 2,64

5,52-5,63 5,58 0,18 0,83 1,64

5,63-5,74 5,69 0,13 0,96 1,18

5,74-5,85 5,80 0,04 1,00 0,36

- 1,00 -

Для построения гистограммы относительных частот (частостей) на оси абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте Wi данного i-го интервала. Тогда высота элементарного прямоугольника должна быть равна Wi/h,. Следовательно, позади под гистограммой равна сумме всех носительных частот, т.е. единице.

Из гистограммы можно получить полигон того же распределения. Если середины верхних оснований прямоугольников соединить отрезками прямой.




4* Сделать вывод о форме ряда распределения по виду гистограммы и полигона, а также по значениям коэффициентов Ас и Ек.

4 Анализ графиков и выводы

Гистограмма и полигон являются аппроксимациями кривой плотности (дифференциальной функции) теоретического распределения (генеральной совокупности). Поэтому по их виду можно судить о гипотическом законе распределения.

Для построения кумуляты дискретного ряда по оси абсцисс откладывают значения признака xi, а по оси ординат – накопленные относительные частоты Whi. Для интервального ряда по оси абсцисс откладывают интервалы .

С кумулятой сопоставляется график интегральной функции распределения F(x).

В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался отрицательным (Ас=-0,005), что свидетельствует о небольшой левосторонней асимметрии данного распределения. Эксцесс оказался также отрицательным (Ек= -0,034). Это говорит о том, что кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальной, имеет несколько более плоскую вершину. Гистограмма и полигон напоминают кривую нормального распределения (рис.1.1 и 1.2.). Все это дает возможность выдвинуть гипотезу о том, что распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным.

Примечание: Кумулята, гистронрамма и полигон находятся в приложениях к работе.

5* Рассчитать плотность и интегральную функцию теоретического нормального распределения и построить эти кривые на графиках гистограммы и кумуляты соответственно.

Расчет теоретической нормальной кривой распределения

Приведем один из способов расчета теоретического нормального распределения по двум найденным выборочным характеристикам x и S эмпирического ряда.

При расчете теоретических частот m^тi за оценку математического ожидания (мю) и среднего квадратического отклонения G нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик x ср. и S, т.е. (мю)=Xср.= 751,7539; G=S=7,99.

Теоретические частоты находят по формуле: M^i=npi,

где n – объем; Pi – величина попадания значения нормально распределенной случайной величины в i-й интервал.

Вероятность Pi определяется по формуле




Pi=P(ai<x<=bi)=1/2[Ф(t2i)-Ф(t1i)],




Где Ф(t)=2\ 2(пи)=интегралу с границами от (0;t) е^x2/2dx - интегральная функция Лапласа – находится по таблице для

T2i=bi-x ср.\ S

T1i=ai-x ср.\S




Таблицы Для вычисления вероятности нормальной кривой распределения

Интервалы		Mi	T1	T2	1/2Ф(T1)	1/2Ф(T2)	Pi
a(i)	b(i)
730,644	735,356	2	-2,640	-2,051	0,4958	0,4798	-0,0080
735,356	740,068	8	-2,051	-1,461	0,4798	0,4279	-0,0260
740,068	744,780	6	-1,461	-0,872	0,4279	0,3078	-0,0601
744,780	749,492	18	-0,872	-0,283	0,3078	1,1103	0,4013
749,492	754,204	35	-0,283	0,306	0,0300	0,6619	0,3160
754,204	758,916	12	0,306	0,896	0,1179	0,3133	0,0977
758,916	763,628	11	0,896	1,485	0,3133	0,4306	0,0587
763,628	768,340	6	1,485	2,074	0,4306	0,4808	0,0251
768,340	773,052	2	2,074	2,664	0,4808	0,4960	0,0076
Pi*n	Mi(теор)	Mi(теор)/h	Mi(теор)накоп
-0,8000	1	0,002	0,0080
-2,5950	3	0,006	0,0340
-6,0050	6	0,013	0,0940
40,1250	40	0,085	0,4953
31,5950	32	0,068	0,8153
9,7700	10	0,021	0,9130
5,8650	6	0,012	0,9716
2,5100	3	0,005	0,9967
0,7600	1	0,002	1,0000
	100

Сравнение гистограммы и нормальной кривой наглядно показывает согласованность между теоретическим и эмпирическим распределением.

Примечание: Построенные графики находятся в приложениях к работе.




6* Проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласи яПирсона f^2).

Проверка гипотез о нормальном законе распределения

Частоты для проверки соответствия эмпирического ряда распределения нормальному закону используют критерий X^2, основанный на сравнении эмпирических частот mi с теоретическими m^тi, которые можно ожидать при принятии определенной нулевой гипотезы.

Значение X^2набл. – наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно

к

F^2набл.= (mi-m^тi)

I=1 m^i

Где к – число интервалов (после объединения). M^i – теоретические частоты. Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления f^2, сведем в таблицу 1.6.




Таблица 1.6.

Вычисление критерия X^2 при проверке нормальности продолжительности горения электролампочек

Интервалы		Mi(Практ)	Mi(теор)	(Mi-Mi(теор))^2	…../Mi(теор)
a(i)	b(i)
730,644	735,356	2	2	9	1,29
735,356	740,068	8	5
740,068	744,780	6	13	49	3,88
744,780	749,492	18	21	9	0,43
749,492	754,204	35	25	100	4,01
754,204	758,916	12	21	81	3,89
758,916	763,628	11	12	1	0,08
763,628	768,340	6	5	1	0,14
768,340	773,052	2	2
				X^2набл	13,71

Правило проверки гипотезы заключается в следующем. Определяем по таблице распределения xu-квадрат критическое значение X^2кр.(альфа для числа степеной свободы V=к-3 и заданного уровня значимости альфа. Затем сравниваем X^2кр.




Если X^2 набл.<=X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о законе распределения не отвергается (не противоречит опытным данным).

Если X^2 набл. >X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки a.

Для нашего примера X^2набл.=13,71, a=0,005, V=7-3=4 (число интервалов после объединения стало равным 7) и X^2кр. (0,005; 4) =14,9

Так как X^2набл.<X^2кр., то согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном законе не отвергается с вероятностью ошибки 0,005. Можно сделать вывод, что распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным. Что подтверждают графики и значения моды и медианы.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/