Городская открытая научно – практическая конференция

1. Введение
2. Решение уравнений с параметрами
3. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями
4. Заключение

Введение
Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами при сдачи Единого Государственного экзамена и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.
Цель данной работы рассказать о решении уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1)               дать определения понятиям уравнение с параметрами;
2)               показать принцип решения данных уравнений на общих случаях;
3)               показать решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.
Для выполнения поставленной цели были использованы следующие методы: использование литературы разного типа, работа в группах на уроках алгебры и занятиях элективного курса по математике, участие проектной группы в городской конференции по данной теме в 2006 году.
Объектом исследовательской работы было решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами выше представленных функций.
Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть, заключение, библиографический список.

Решение уравнений с параметрами
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.
Большинство пособий адресовано абитуриентам, однако начинать знакомиться с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике.
Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.
Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.
Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром, - это необходимость осторожного, даже, если хотите, деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Этому, по нашему мнению, во многом будут способствовать наши примеры.
Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна на тех примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относятся: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение, неравенство и т.д.
Обычно в уравнение буквами обозначают неизвестные.
Решить уравнение - значит:
найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное(X, Y,Z), содержат другие буквы, называемые параметрами(a, b, c). Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений.
При одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только один корень, при третьих – два корня.
При решении таких уравнений надо:
1) найти множество всех доступных значений параметров;
2) перенести все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного в правую;
3) привести подобные слагаемые;
4) решать уравнение ax = b.
Возможно три случая.
1. а 0, b – любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х = .
2. а = 0, b = 0. Уравнение принимает вид: 0х = 0, решениями являются все х R.
3. а = 0, b 0. Уравнение 0х = b
решений не имеет.
Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.
В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, я считаю целесообразным привести ответ.
Ответ:
х =  при а  0, b – любое действительное число;
х – любое число при а = 0, b = 0;
решений нет при а = 0, b ≠ 0.
Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, тригонометрической и логарифмической функциями
1. Найдем значения параметра n, при которых уравнение 15·10 ^х – 20 = n – n · 10^{х + 1} не имеет корней?
Решение: преобразуем заданное уравнение: 15·10 ^х – 20 = n – n · 10^{х + 1}; 15·10 ^х + n· 10^{х + 1} = n + 20; 10 ^х ·(15 + 10n) = n + 20; 10 ^х = .
Уравнение не будет иметь решений при  ≤ 0, поскольку 10 ^х всегда положительно.
Решая указанное неравенство методом интервалов, имеем:  ≤ 0; (n + 20)·(15 + 10n) ≤ 0; - 20 ≤ n ≤ - 1,5.
Ответ: .
2. Найдем все значения параметра а, при которых уравнение lg² (1 + х²) + (3а – 2)· lg(1 + х²) + а² = 0 не имеет решений.
Решение: обозначим lg(1 + х²) = z, z > 0, тогда исходное уравнение примет вид: z² + (3а – 2) · z + а² = 0. Это уравнение – квадратное с дискриминантом, равным (3а – 2)² – 4а² = 5а² – 12а + 4. При дискриминанте меньше 0, то есть при 5а² – 12а + 4 < 0 выполняется при 0,4 < а <2.
Ответ: (0,4; 2).
3. Найдем наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение cos2x + asinx = 2a – 7 имеет решение.
Решение: преобразуем заданное уравнение:
cos2x + asinx = 2a – 7; 1 – 2sin²х – asinx = 2a – 7; sin²х - asinx + a – 4 = 0;
(sinх – 2) ·  = 0.
Решение уравнения (sinх – 2) ·  = 0 дает:
(sinх – 2) = 0; х принадлежит пустому множеству.
sinх -  = 0; х = (-1)ⁿ arcsin  + πn, n  Z при  ≤ 1. Неравенство ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что наибольшее целое значение параметра а равно 6.
Ответ: 6.
4. Указать наибольшее целое значение параметра а, при котором корни уравнения 4х² - 2х + а = 0 принадлежит интервалу (- 1; 1).
Решение: корни заданного уравнения равны: х₁ =  (1+ )
х₂ = , при этом а ≤ .
По условию -1 < (1+ ) < 1 < < 3,
 - 1 < < 1  >  > - 3.
Решением, удовлетворяющим указанным двойным неравенствам, будет решение двойного неравенства: - 3 <  < 3.
Неравенство - 3 <  выполняется при всех а ≤ , неравенство < 3 – при - 2 < а ≤ . Таким образом, допустимые значения параметра а лежат в интервале (-2; .
Наибольшее целое значение параметра а из этого интервала, которое одновременно принадлежит и интервалу (-1; 1), равно 0.
Ответ: 0.
5. При каких значениях параметра а число корней уравнения
² - х  = 0 равно а?
Решение: построим эскиз графика функции, у = ² - х  при этом учтем, что функция у – четная и ее график – симметричен относительно оси ординат, в силу чего можно ограничиться построением только его правой части ( х ≥ 0). Также учтем, что трехчлен х² - 8х + 7 имеет корни х = 1 и х = 7, при х = 0 у = 7, а при х = 4 – минимум, равный – 9. На рисунке: пунктирными прямыми изображена парабола
у = х² - 8х + 7 с минимумом у_мин равным - 9 при х _мин = 4, и корнями х₁ = 1 и х₂ = 7;

сплошными линиями изображена часть параболы у = ² – 8х +  (1 < х < 7), полученная зеркальным отражением относительно оси 0х части параболы
х² - 8х + 7 при 1 < х < 7.
(Эскиз левой части графика функции при х < 0 можно получить, отразив эскиз правой части графика симметрично относительно оси 0у).
Проводя горизонтали у = а, а  N, получаем k точек ее пересечение с линиями эскиза графика. Имеем:

а	0	[1; 6]	7	8	9
к	4	8	7	6	4	2

Таким образом, а = k при а = 7.
Ответ: 7.
6. Указать значение параметра а, при котором уравнение
х⁴ + (1 – 2а)х² + а² – 4 = 0 имеет три различных корня.
                            Решение: всякое биквадратное уравнение в общем случае имеет две пары корней, причем корни одной пары различаются только знаком. Три корня возможны в случае, если уравнение имеет одну пару в виде нуля.
Корни заданного уравнения равны:
х =  
Одна из пар корней будет равна 0, если (2а-1) =  . Решая это уравнение при условии 2а-1 > 0 > , имеем: (2а – 1) =   (2а – 1)² = 17 – 4а
4а² – 4а +1 = 17 – 4а а = 2.
Ответ: 2.
7.                Указать целое значение параметра p, при котором уравнение
cosx – 2sinx =  +  имеет решение.
Решение: р ≥ 0; 2 – р ≥ 0  р ≤ 2; объединяя допустимые значения параметра р, имеем:
0 ≤ р ≤ 2.
При р = 0 исходное уравнение принимает вид – 2sinх = 2   х принадлежит пустому множеству ( в силу ограниченности синуса).
При р = 1 исходное уравнение принимает вид:
cosx-2sinx =  +1.
Максимальное значение разности (cosx-2sinx) составляет
 = (- sinx – 2cosx) = 0 tgx = -2, при этом sinx =
sin (arctg(-2)) = , cosx – 2sinx = , что меньше  +1.
Следовательно, при р = 1 уравнение решений не имеет.
При р = 2 исходное уравнение принимает вид
.
Максимальное значение разности  составляет  при х = arctg(- ) (при этом sinx =  , cosx = ). Поскольку >  +1, то уравнение  =  будет иметь решение.
Ответ: 2.
8. Определить число натуральных n, при которых уравнение  не имеет решения.
Решение: х ≠ 0, n ≠ 10.
 
Уравнение х² – 8х – n(n – 10) = 0 не имеет решения, если его дискриминант меньше 0, т.е. 16 + n(n-10) < 0  n² -10n +16 < 0 (n-2) (n-8) <0  2 < n < 8.
В найденном интервале 5 натуральных чисел: 3, 4, 5, 6 и 7. Учитывая условие n ≠ 10, находим, что общее число натуральных n, при которых уравнение не имеет решений, равно 6.
Ответ: 6.
9. Найти наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение (0 < х < ) имеет решение.
Решение: по условию 1 > sinx > 0 1 < < + ,
1 > cosx > 0 1 < < + ,
Следовательно, 2 < а < + .
Возводя обе части заданного уравнения в квадрат, имеем:
 = а²  = а²
 = а².
Введем переменную z = . Тогда исходное уравнение примет вид:
z² + 2z – а² = 0. Оно имеет решение при любом а, поскольку его дискриминант
D = 1 + а² положителен при любом а.
Учитывая, что 2 < а < + , заключаем, что наименьшее целое значение параметра а, при котором заданное уравнение имеет решение равно 3.
Ответ: 3.

Заключение
Во время создания данного проекта мы усовершенствовали свои старые знания по теме «Уравнения с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями » и в какой-то мере получили новые.
По завершению работы мы пришли к выводу, что эта тема должна изучаться не только на элективных курсах и дополнительных занятиях, но и в школьной программе, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру у школьников. Учащимся (студентам) знания по этой теме помогут сдать Единый Государственный Экзамен и вступительные экзамены в ВУЗы.

Используемая литература.
1.                П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир «Задачи с параметрами», 2002г.
2.                Н.Ю.Глаголева «Задачи по математике для поступающих в вузы», 1994г.
3.                В.В.Локоть «Задачи с параметрами», 2003г.
4.                В.В.Ткачук «Математика – абитуриенту», 1994г.
5.                Г.А.Ястребинецкий «Уравнения и неравенства, содержащие параметры», 1972г.
6.                А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа», 1987г.
7.                В.С.Крамов «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа», 1994г.
8.                «Математика. Решение задач повышенной сложности», 2004г.
9.                М.И. Шабунин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, Р.Г. Газарян «Алгебра и начала анализа», 2000г.
10.           А.П. Карп «Даю уроки математики…», 1992 г.
11.           В.В. Ткачук «Математика – абитуриенту», 1996 г.