Вакансионное распухание.

1. Уравнения концентрации точечных дефектов.

Основу теоретических моделей распухания составляют кинетические уравнения концентрации точечных дефектов среды, содержащей стоки. При этом предполагается, что концентрация радиационных точечных дефектов при характерных температурах распухания (0,2-0,6) Тпл превосходит концентрацию термически равновесных дефектов. Вакансии и межузельные атомы, мигрируя по решетке, могут: во-первых, рекомбинировать; во-вторых, образовывать скопления одноименных дефектов и, в-третьих, уходить на стоки, в качестве которых служат сетка дислокаций, дислокационные петли, поры и другие протяженные дефекты. Следовательно, скорость изменения концентрации межузельных атомов и вакансий равна разности скоростей их образования и гибели, что может быть описано кинетическими уравнениями

(1)-(2)


где Сv., С i - усредненные концентрации вакансий и межузельных атомов;

к -скорость образования пар Френкеля;  - атомный объем; N_s -число стоков типа S в единице объема; I_sv и I_si -число вакансий и межузель­ных атомов, приходящих в единицу времени на сток типа S ; _p -коэффици­ент взаимной рекомбинации точечных дефектов. Для нахождения входящих в (1), (2) величин I_sv , I_si решается диффузионная задача миграции точечных дефектов в упругом поле, создаваемом стоком типа S , а для этого необходимо знать энергию взаимодействия точечных дефектов со стоками. Считается, что точечные дефекты в первом приближении с порами не взаимо­действуют. С дислокациями они взаимодействуют по нескольким механиз­мам, наиболее важными из которых являются размерное взаимодействие и модульный эффект.

2. Поток точечных дефектов на дислокацию

Размерное взаимодействие, как известно, дает наибольший вклад в полную энергию взаимодействия между дислокацией и точечным дефектом. Оно имеет упругую природу и фактически является взаимодействием дальнодействующего поля напряжения дислокации с полем атомных смещений вокруг точечного дефекта. Для краевой прямолинейной дислокации, направ­ленной вдоль оси z:


(3)
где r - расстояние дефекта от дислокации; V_ - релаксационный объем, разница между объемом дефекта и атомным объемом;  - коэффициент Пуассона.
Если все дислокации параллельны друг другу и плотность их _ , то область влияния каждой из них ограничена цилиндрической поверхно­стью радиуса



(4)
Концентрация радиационных точечных дефектов в пространстве между дис­локациями (стоками) будет отличаться от таковой на границах стоков. Соот­ветствующий градиент концентрации С_ вызовет поток точечных дефектов


(5)

где D_, C_ коэффициент диффузии и атомная концентрация точечных дефек­тов соответственно. Так как диффундирующие частицы взаимодействуют со своими стоками, в (5) необходимо добавить член, учитывающий действие дополнительной силы (3), Эта сила приводит к направленному потоку то­чечных дефектов (дрейфовому потоку) даже в отсутствие градиента концен­трации. Таким образом, уравнение диффузии примет вид


(6)

где индекс  означает или межузельные атомы i , или вакансии v . В уста­новившемся режиме, характеризуемом стационарными потоками точечных дефектов, дивергенция потока div J_ =0 и уравнение (6) перепишется:

(7)
Здесь учтено, что Е_вз. является гармонической функцией, т.е. справедливо соотношение ^ ^_вз=0.

Для решения (7) зададимся граничными условиями. Считаем дисло­кацию идеальным стоком для точечных дефектов, а потому у ядра дислока­ции (r = r₀) поддерживается концентрация


(8)

где C ^_ -термически равновесная концентрация точечных дефектов.

Другое граничное условие получим, считая, что среднее расстояние между дислокациями достаточно велико, поэтому влиянием поля дислокации на расстояние R_ от ядра дислокации можно пренебречь (E^_вз=0). Тогда



(9)

где С^обл_ — средняя концентрация точечных дефектов, создаваемых облучени­ем. Решение уравнения (7) с граничными условиями (8) и (9) имеет вид


(10)-(11)-(12)
Число точечных дефектов, достигающих единицы длины дислокации за единицу времени



(13)
Величину J_ (r₀ ,) получим из уравнения (6), подставив в него (8) и (3). Интегрирование по  в (13) дает:


(14)

где Z_ - параметр эффективности поглощения дислокацией точечного де­фекта :


(15)

Для плотности дислокаций ~10¹⁴ м^-2 , характерной для облучаемых материалов, расстояние R_d ~ 100 В, L_ ~10b<R_d , но L_ > r₀ . С учетом данных неравенств и разложения функций K₀ и J₀ , при малых и боль­ших аргументах выражение (15) упрощается:


(16)

Видно, что Z_ зависит от типа дефекта через V_.

Расчеты показывают, что и V_i >|V_i | .Тогда L_i > L_v и, следователь­но, Z_i > Z_v . Согласно (14) это приводит к тому, что дислокации погло­щают преимущественно межузельные атомы, по сравнению с вакансиями. В качестве меры такого предпочтения (преференса) вводится величина


(17)

3. Поток точечных дефектов на пору

Поток рассчитывается таким же способом, как и на дислокацию. В простейшем случае, если объем облучаемого образца равномерно заполнен порами среднего радиуса r_h и плотностью _h , на каждую пору приходится часть объема образца:
4/3 R³_h=^-1_h

(18)
Предполагается, что в сферической области радиуса R_h других стоков , кроме поры, нет, и поэтому все точечные радиационные дефекты поглощаются порой.

Уравнение диффузии (7) для случая поры выглядит проще, чем для дислокации, так как не содержит дрейфового члена



(19)

Граничные условия можно записать:



(20)-(21)

где С^th_ -термическая концентрация точечных дефектов на поверхности поры;

С^t_ -термически равновесная концентрация точечных дефектов. Знаки "плюс" и "минус" отвечают вакансиям и межузельным атомам соответст­венно.

Решением уравнения (19) является




(22)
Тогда число точечных дефектов, достигающих поверхности поры S_h в единицу времени, будет:

(23)
По аналогии с (14) получается, что 4 r_h -эффективность погло­щения межузельных атомов и вакансий отдельной сферической порой радиуса r_h . Таким образом, видно, что поры являются нейтральными стоками, т.е. поглощают за единицу времени одинаковое число межузельных атомов и ва­кансий.

Используя (23), можно найти скорость изменения объема поры или ее радиуса:

(24)
Первое слагаемое в правой части (24) характеризует скорость присоединения вакансий, второе - межузельных атомов, третье - скорость термического испарения вакансий из поры;  - коэффициент поверхностного натяжения поры : P – давление газа в поре. При выводе (24) термически равновесную концентрацию межузельных атомов считали равной нулю. Из (24) следует, что рост вакансионной поры может происходить лишь тогда, когда правая часть положительна, т.е. при некотором критическом размере поры.