Реферат

Реферат Проекции точки

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 1.4.2025



It`s help you!   By Taras, Stavropol.

На местах попуска должны быть рисунки (плоскостей, эпюров и т.п.)
ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.

Сущность метода ортогонального прое­цирования заключается в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендику­лярные плоскости лучами, ортогональны­ми (перпендикулярными) к этим плоско­стям..

Одну из плоскостей проекций H распо­лагают горизонтально, а вторую Vвертикально. Плоскость H назы­вают горизонтальной плоскостью проек­ций, V — фронтальной. Плоскости H и V бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения плоскостей проекций называ­ется осью координат и обозначается OX
.
Плоскости проекций делят пространст­во на четыре двугранных угла — четверти.
Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Так как эти плоскости непрозрачны, то види­мыми для наблюдателя будут только те точки, линии и фигуры, которые располо­жены в пределах той же первой четверти.

При построении проекций необходимо по­мнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание пер­пендикуляра, опущенного из данной точки
на эту плоскость.


На рисунке показаны точка А и ее орто­гональные проекции а1 и а2.

Точку а1 называют горизонталь­ной проекцией точки А, точку а2 — ее фронтальной проекцией. Каждая из них является основанием перпендику­ляра, опущенного из точки А соответ­ственно на плоскости H и V.

Можно доказать, что проекции точки всегда расположены на прямых, перпенди­
кулярных оси
ОХ
и пересекающих эту ось в одной и той же точке. Действительно, проецирующие лучи Аа1 и Аа2 определя­ют плоскость, перпендикулярную плоско­стям проекций и линии их пересечения — оси ОХ.  Эта плоскость пересекает H и V по прямым а1 а
x
и а1 а
x
,,
которые образуют с осью OX
и друг с другом прямые углы с вершиной в точке аx
.


Справедливо и обратное, т. е. если на плоскостях проекций даны точки a
1
и a
2
,
расположенные на прямых, пересекающих
ось OX
в данной точке под прямым углом,
то они являются проекциями некоторой
точки А.
Эта точка определяется пересече­нием перпендикуляров, восставленных из точек a
1 
и  a
2
 
к плоскостям H и V.

Заметим, что положение плоскостей проекций в пространстве может оказаться иным. Например, обе плоскости, будучи взаимно перпендикулярными, могут быть вертикальными Но и в этом случае дока­занное выше предположение об ориентации разноименных проекций точек относи­тельно оси остается справедливым.

Чтобы получить плоский чертеж, состоя­щий из указанных выше проекций, плос­кость H совмещают вращением вокруг оси OX с плоскостью V, как показано стрелками на рисунке. В результате пе­редняя полуплоскость H будет совмещена с нижней полуплоскостью V, а задняя полуплоскость H — с верхней полупло­скостью V.

Проекционный чертеж, на котором плос­кости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещены определенным об­разом одна с другой, называется эпю­ром (от франц. еpure – чертеж). На рисунке показан эпюр точки А .
При таком способе совмещения плоско­стей H и V проекции a
1
и a
2
окажутся расположенными на одном перпендикуля­ре к оси OX. При этом расстояние a
1
ax
от горизонтальной проекции точки до оси OX равно расстоянию от самой точки А до плоскости V, а расстояние a
2
ax
от фронтальной проекции точки до оси OX
равно расстоянию от самой точки А до плоскости H.

Прямые линии, соединяющие разнои­менные проекции точки на эпюре, усло­вимся называть линиями проекци­онной связи.

Положение проекций точек на эпюре зависит от того, в какой четверти находит­ся данная точка. Так, если точка В распо­ложена во второй четверти, то после совмещения плоскостей обе проек­ции окажутся лежащими над осью OX.
Если точка С находится в третьей чет­верти, то ее горизонтальная проекция по­сле совмещения плоскостей окажется над осью, а фронтальная — под осью OX
.
На­конец, если точка D
расположена в чет­вертой четверти, то обе проекции ее окажутся под осью OX
.
На рисунке пока­заны точки М и N, лежащие на плоскостях проекций. При таком положении точка совпадает с одной из своих проекций, дру­гая же проекция ее оказывается лежа­щей на оси OX
.
Эта особенность отражена и в обозначении: около той проекции, с ко­торой совпадает сама точка, пишется за­главная буква без индекса.

Следует отметить и тот случай, когда обе проекции точки совпадают. Так будет, если точка находится во второй или чет­вертой четверти на одинаковом расстоя­нии от плоскостей проекций. Обе проекции совмещаются с самой точкой, если послед­няя расположена на оси OX
.

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.
Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в про­странстве. Так как каждая фигура или тело представляет собой совокупность то­чек, то можно утверждать, что и две орто­гональные проекции предмета (при нали­чии буквенных обозначений) вполне опре­деляют его форму.

Однако в практике изображения строи­тельных конструкций, машин и различных инженерных сооружений возникает необ­ходимость в создании дополнительных проекций. Поступают так с единственной целью — сделать проекционный чертеж более ясным, удобочитаемым.

Модель трех плоскостей проекций пока­зана на рисунке. Третья плоскость, перпендикулярная и H и V, обозначается бук­вой W и называется профильной.
Проекции точек на эту плоскость будут также именоваться профильными, а обоз­начают их заглавными буквами или циф­рами с индексом 3 (aз,
b
з,
c
з, ...
1з, 2з, 33...).


Плоскости проекций, попарно пересека­ясь, определяют три оси: ОX
, О
Y
и ОZ
,
которые можно рассматривать как систе­му прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О. Сис­тема знаков, указанная на рисунке, со­ответствует «правой системе» координат.
Три плоскости проекций делят про­странство на восемь трехгранных углов — это так называемые октанты. Нумера­ция октантов дана на рисунке.

Как и прежде, будем считать, что зри­тель, рассматривающий предмет, находит­ся в первом октанте.

Для получения эпюра плоскости H и W вращают, как показано на рисунке, до совмещения с плоскостью V. В результа­те вращения передняя полуплоскость H оказывается совмещенной с нижней по­луплоскостью V, а задняя полуплоскость H — с верхней полуплоскостью V. При повороте на 90° вокруг оси ОZ
передняя полуплоскость W совместится с правой полуплоскостью V, а задняя полупло­скость W — с левой полуплоскостью V.
Окончательный вид всех совмещенных плоскостей проекций дан на рисунке. На этом чертеже оси ОX
и ОZ
,
лежащие в не подвижной плоскости V, изображены только один раз, а ось ОY
показана дваж­ды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью H, ось ОY
на эпюре совме­щается с осью ОZ
,
а вращаясь вместе с плоскостью W, эта же ось совмещается с осью ОX
.


В дальнейшем при обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (— ОX
,
ОY
,
ОZ
)
указываться не будут.
ТРИ КООРДИНАТЫ И ТРИ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ЕЕ РАДИУСА-ВЕКТОРА.
Координатами называют числа, которые
ставят в соответствие точке для определе­
ния ее положения в пространстве или на
поверхности.


В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоу­гольных декартовых координат х, у и z.

Координату х называют абсциссой, у ординатой и zаппликатой. Абсцисса х определяет расстояние от дан­ной точки до плоскости W, ордината у — до плоскости V и аппликата z
-
до плос­кости H. Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рисунке, составим таблицу знаков координат во всех восьми октантах. Ка­кая-либо точка пространства А, заданная координатами, будет обозначаться так: A
(х, у,
z
).


Если х = 5, y = 4 и z = 6, то запись примет следующий вид А (5, 4, 6). Эта точ­ка А, все    координаты которой положитель­ны, находится в первом октанте

Координаты точки А являются вместе с тем и координатами ее радиуса-вектора

ОА по отношению к началу координат. Если i
,
j
,
k
— единичные векторы, направ­ленные соответственно вдоль координат­ных осей х, у, z
(рисунок), то

ОА =
О
Axi
+ОА
y
j

+
ОА
z
k
                                      ,
где ОАХ, ОАУ, ОАгкоординаты векто­ра ОА

Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели (рисунок) рекомендуется осуществлять с помощью координатного прямоугольного параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки О откладывают отрез­ки, соответственно равные 5, 4 и 6 едини­цам длины. На этих отрезках ( Оax

, О
ay

,
О
az

),
как на ребрах, строят прямоугольный параллелепипед. Вершина его, проти­воположная началу координат, и будет определять заданную точку А. Легко заме­тить, что для определения точки А доста­точно построить только три ребра парал­лелепипеда, например Оax

,
axa
1
 
и a
1
А
или О
ay

,
aya
1
 
и a
1
A
   
и т. д. Эти ребра образу­ют координатную ломаную линию, длина каждого звена которой определяется со­ответствующей координатой точки.
Однако построение параллелепипеда по­зволяет определить не только точку А, но и все три ее ортогональные проекции.

Лучами, проецирующими точку на плос­кости H
,
V
,
W
являются те три ребра параллелепипеда, которые пересекаются в точке А.

Каждая из ортогональных проекций точки А, будучи расположенной на плоско­сти, определяется только двумя координа­тами.

Так, горизонтальная проекция a
1
опре­деляется координатами х и у, фронтальная проекция a
2
— координатами х и z
,
про­фильная проекция a
3
координатами у и z. Но две любые проекции определяются тремя координатами. Вот почему задание точки двумя проекциями равносильно за­данию точки тремя координатами.

На эпюре (рисунок), где все плоскости проекций совмещены, проекции a
1
и a
2
окажутся на одном перпендикуляре к оси О
X
,
а проекции a
2
и a
3
 
на одном пер­пендикуляре к оси OZ
.



Что касается проекций a
1
и a
3
,
то и они связаны прямыми a
1
ay
и a
3
ay

,
перпендикулярными оси ОY
.
Но так как эта ось на эпюре занимает два положения, то отре­зок a
1
ay
не может быть продолжением отрезка  a
3
ay

.


Построение проекций точки А (5, 4, 6) на эпюре по заданным координатам выполня­ют в такой последовательности: прежде всего на оси абсцисс от начала координат откладывают отрезок Оax

= х
(в нашем случае х = 5), затем через точку ax прово­дят перпендикуляр к оси ОX
,
на котором с учетом знаков откладываем отрезки axa
1
= у
(получаем a
1
)
и axa
2
= z
(получаем a
2
). Остается построить профильную проекцию точки a
3
.
Так как профильная и фронтальная проекции точки должны быть расположены на одном перпендикуляре к оси OZ
,
то через a
3
проводят прямую  a
2
az
^
OZ
.


Наконец, возникает последний вопрос: на каком расстоянии от оси ОZ
должна находиться  a3 ?

Рассматривая координатный параллелепипед (см. рисунок), ребра которого aza
3 
= Oay =  axa
1
= y заключаем, что ис­комое расстояние aza
3
  равно у. Отрезок aza
3
откладывают вправо от оси ОZ, если у>0, и влево, если у<0.

Проследим за тем, какие изменения про­изойдут на эпюре, когда точка начнет менять свое положение в пространстве.

Пусть, например, точка А (5, 4, 6) станет перемещаться по прямой, перпендикуляр­ной плоскости V. При таком движении будет меняться только одна координата у, показывающая расстояние от точки до плоскости V. Постоянными будут оста­ваться координаты х и z

,
а проекция точ­ки, определяемая этими координатами, т. е. a
2
не изменит своего положения.

Что касается проекций a
1
и a
3
, то пер­вая начнет приближаться к оси ОX
,
вто­рая — к оси ОZ
.
На рисунках новому положению точки соответствуют обозначе­ния a
1
(a
1
1 
a
2
1 
a
3
1
). В тот момент, когда точка окажется на плоскости V (y = 0), две из трех проекций      (a
1
2
и a
3
2
) будут лежать на осях.

Переместившись из I октанта во II, точ­ка начнет удаляться от плоскости V, ко­ордината у станет отрицательной, ее абсо­лютная величина будет возрастать. Горизонтальная проекция этой точки, будучи расположенной на задней полуплоскости H, на эпюре окажется выше оси ОX
,
а профильная проекция, находясь на задней полуплоскости W,  на эпюре будет слева от оси ОZ
.
Как всегда, отрезок az
a
3
3
= у.


На последующих эпюрах мы не станем обозначать буквами точки пересечения ко­ординатных осей с линиями проекционной связи. Это в какой-то мере упростит чер­теж.

В дальнейшем встретятся эпюры и без координатных осей. Так поступают на практике при изображении предметов, когда существенно только само изображе­ние предмета, а не его положение относи­
тельно плоскостей проекций.

Плоскости проекций в этом случае определены с точностью лишь до параллельно­го переноса (рисунок). Их обычно переме­щают параллельно самим себе с таким расчетом, чтобы все точки предмета оказа­лись над плоскостью H и перед плоско­стью V. Так как положение оси X12 оказы­вается неопределенным, то образование эпюра в этом случае не нужно связывать с вращением плоскостей вокруг координатной оси. При переходе к эпюру плоскости H и V
совмещают так, чтобы разноименные проекции точек были распо­ложены на вертикальных прямых.
Безосный эпюр точек А и В (рисунок) не определяет их положения в пространстве,
но позволяет судить об их относительной ориентировке.
Так, отрезок x характери­зует смещение точки А по отношению к точке В в направлении, параллельном плоскостям H и V. Иными словами, x указывает, насколько точка А расположе­на левее точки В. Относительное смещение точки в направлении, перпендикулярном плоскости V, определяется отрезком y, т. е. точка А в нашем примере ближе к наблюдателю, чем точка В, на расстоя­ние, равное y.

Наконец, отрезок z показывает превы­шение точки А над точкой В.
Сторонники безосного изучения курса начертательной геометрии справедливо указывают, что при решении многих задач можно обходиться без осей координат. Однако полный отказ от них нельзя при­знать целесообразным. Начертательная геометрия призвана подготовить будущего инженера не только к грамотному выпол­нению чертежей, но и к решению различ­ных технических задач, среди которых не последнее место занимают задачи про­странственной статики и механики. А для этого необходимо воспитывать умение ориентировать тот или иной предмет отно­сительно декартовых осей координат. Ука­занные навыки будут необходимы и при изучении таких разделов начертательной геометрии, как перспектива и аксономет­рия. Поэтому на ряде эпюров этой книги мы сохраняем изображения координатных осей. Такие чертежи определяют не только форму предмета, но и его расположение относительно плоскостей проекций.



1. Реферат История развития Министерства Юстиции
2. Доклад Экзистенциально-инициальная работа с телом
3. Реферат на тему The Prevention Of Breastcancer Essay Research Paper
4. Реферат Анализ финансового состояния ООО Компания леспром
5. Реферат на тему Маникюр
6. Сочинение Чувства добрые я лирой пробуждал Пушкин
7. Сочинение Война и мир на экране
8. Реферат Либерализм как социально-политическое течение
9. Реферат Управління людськими ресурсами
10. Реферат на тему Public Vs Private Essay Research Paper Private