Задача 1.  Капитал величиной 4000 денежных единиц (д.е.) вложен в банк на 80 дней под 5% годовых. Какова будет его конечная величина.

Решение.

Способ 1.

,

K’ = K + I = 4000+44=4044,

 где K – капитал или заем, за использование которого заемщик выплачивает определенный процент;

I – процентный платеж или доход, получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой;

p – процентная ставка, показывающая сколько д.е. должен заплатить заемщик за пользование 100 ед. капитала в определенном периоде времени (за год);

d – время, выраженное в днях.

360 – число дней в году.

Способ 2.

Время t = 80/360 = 2/9.

K’ = K + K×i×t = 4000(1 + 0.05×2/9) = 4044,

где i – процентная ставка, выраженная в долях единицы,

t – время, выраженное в годах.

Задача 2. На сколько лет нужно вложить капитал под 9% годовых, чтобы процентный платеж был равен его двойной сумме.

Решение

2×K = I.

2×K = K×9×g/100,

g = 2×100/9 = 22.22

Задача 3. Величина предоставленного потребительского кредита – 6000 д.е., процентная ставка – 10% годовых, срок погашения – 6 месяцев. Найти величину ежемесячной выплаты (кредит выплачивается равными долями).

Решение

Таблица 1

План погашения кредита (амортизационный план)

Объяснение к таблице

Месячная выплата основного долга составит:

K / m = 6000/6 = 1000.

Месячный взнос представляет собой сумму выплаты основного долга и процентного платежа для данного месяца.

Процентные платежи вычисляются по формуле:

,

где I₁ – величина процентного платежа в первом месяце;

p – годовая процентная ставка, %.

Общая величина выплат за пользование предоставленным кредитом:

=175.

Общая величина ежемесячных взносов:

=1029.

Задача 4. Вексель номинальной стоимостью 20000 д.е. со сроком погашения 03.11.95. учтен 03.08.95 при 8% годовых. Найти дисконт и дисконтировать величину векселя.

Решение

Так как нам известна номинальная величина векселя, дисконт, находим по формуле:

=409,

где K_n – номинальная величина векселя;

d – число дней от момента дисконтирования до даты погашения векселя;

D – процентный ключ или дивизор (D = 3600/p = 36000/8 = 4500).

Дисконтированная величина векселя равна разности номинальной стоимости векселя и дисконта (процентного платежа):

20000 – 409 = 19591.

Задача 5. Пусть в банк вложено 20000 д.е. под 10% (d) годовых. Найти конечную сумму капитала, если расчетный период составляет:
а) 3 месяца;
б) 1 месяц.

Решение

При декурсивном (d)расчете сложных процентов:

K_mn = K×I_p/m^mn,             I_p/m = 1 + p/(100×m),

где K_mn – конечная стоимость капитала через n лет при p% годовых и капитализации, проводимой m раз в год.

а) K = 20000×I_2.5⁴ = 20000×(1 + 10/(100×4))⁴ = 20000×1.104 = 22076 д.е.

б) K = 20000×I_10/12¹² = 20000×(1 + 10/(100×12))¹² = 20000×1.105 = 22094 д.е.

При антисипативном (a) способе расчета сложных процентов:

K_mn = K×I_q/m^mn,             I_q/m = 100m/(100m - q),

где q – годовой прцент.

а) K = 20000×(100×4/(100×4 – 10))⁴ = 20000×1.107 = 22132 д.е.

б) K = 20000×(100×12/(100×12 – 10))¹² = 20000×1.106 = 22132 д.е.

Задача 6. Номинальная годовая ставка – 30%. Найти уравнивающую процентную ставку при начислении сложных процентов каждые 3 месяца.

Решение

= 6.779%.

Задача 7. По одному из вкладов в банке в течение 20 лет накоплено 200 000 д.е. Найти сумму, положенную на счет первоначально, если годовая процентная ставка (d) составляет 8%.

Решение

K₀ = K_n×r^-n = K_n×II_8%²⁰ = K_n×(1 + p/100)^-n = 200000×(1 + 8/100)^-20 =
= 200000×0.21454 = 42909 д.е.,

где r = (1 + p/100) – сложный декурсивный коэффициент.

Задача 8. Каждые три месяца в банк вкладывается по 500 д.е. Какова будет совокупная сумма этих вкладов в конце 10-го года при процентной ставке 8% и годовой капитализации.

Решение

Сначала для годовой процентной ставки 8% определим процентную уравнивающую ставку:

=1.9427%

Затем полученную уравнивающую ставку поместим в следующую формулу:

S_vmn = u×, где r_k = 1 + p_k/100,

где       v – число вкладов в расчетном периоде,

             n - число лет,

             m – число капитализаций в год.

тогда

r_k = 1 + 1.9427/100 = 1.0194

S_4×10 = 500× = 500×60.8157 = 30407.84 д.е.

Задача 9. Насколько увеличатся годовые вклады по 2 000 д.е. в течение 4 лет при 8% годовых, если капитализация производится раз в три месяца и первый вклад вносится в конце первого года.

Решение

,

u₁ = u×I_2%⁴ / III_2% = 2000×1.0824 / 4.204 = 514.93 д.е.

S_nm = 514.93×III_2%^3×4 + 2000 = 514.93×13.6803 + 2000 =
= 9044.41 д.е.

Задача 10. Пусть первый вклад в банк составляет 2000 д.е., а каждый последующий уменьшается на 100 д.е. по отношению к предыдущему. Найти величину вкладов в конце 10-го года, если они производятся ежегодно, постнумерандо, процентная ставка – 4% годовых, капитализация ежегодная.

Решение

Задача 11. Найти текущую стоимость суммы 10 вкладов постнумерандо по 5000 д.е. при 8% годовых, если капитализация осуществляется каждые полгода.

Решение

При ежегодной капитализации:

C₀ = a×IV_pⁿ = 5000×IV_8%¹⁰ = 5000×6.71=33550

Задача 12. Пусть величина займа равна 20000 д.е. Амортизация осуществляется одинаковыми аннуитетами в течение 10 лет при 2% годовых. Найти величину выплаты задолженности за второй и третий годы, если капитализация процентов производится ежегодно.

Решение

Таблица 2

План погашения займа (амортизационный план)

Пояснения к таблице

Аннуитет вычисляем по формуле:

a = K×V_pⁿ = 20000×V_2%¹⁰ = 20000×0.1113 = 2226.53 д.е.

Чтобы определить выплату задолженности b₁, вычисляем величину процентного платежа I:

I₁ = K₁×p/100 = 20000×2/100 = 400 д.е.

Выплата задолженности представляет собой разницу между аннуитетом и процентным платежом:

b₁ = a – I₁ = 2226.53 – 400 = 1826.53 д.е.

Таким образом, после первого года долг сократится на 1826.53 д.е. Остаток долга равен:

K₂ = 20000 - 1826.53 = 18173.47 д.е.

Вычислим процентный платеж на остаток долга:

I₂ = 18173.47×2/100 = 363.47 д.е.

Вторая выплата составит:

b₂ = a – I₂ = 2226.53 – 363.47 = 1863.06 д.е.

Долг уменьшится на величину 1863.06, остаток долга составит:

K₃ = 18173.47 – 1863.06 = 16310.41 д.е.

Далее

I₃ = 16310.41×2/100 = 326.21 д.е.

Третья выплата задолженности составит:

b₃ = a – I₃ = 2226.53 – 326.21 = 1900.32 д.е.


Список использованной литературы
1. Кочович Е. Финансовая математика: Теория и практика финансово-банковских расчетов. – М.: Финансы и статистика, 1994.