Статика

Статика-это раздел теор.мех., в которой изучаются условия равновесия матер.точек, тв.тел., мех.систем, при условии действия на них со стороны других тел сил и моментов сил.

Сила-это векторная величина, а Þ как для любой векторной вел-ны для силы важным явл-ся точка приложения, направление и величина силы.

[F]=1H=1(кг´м)/с². Р=mg-сила тяжести.

Аксиомы статики:

1.Система 2^х сил, равных по величине, противоположно направленных и лежащих на одной прямой эквивалентна 0. {F₁, F₂}~0 – это означает, что силы уравновешены.

Следствие: Если тело под действием 2^х сил находится в равновесии, то обязательно эти силы = по величине , противоположны по направлению и лежат на одной прямой.

2.Если к системе сил добавить или отнять систему сил эквивалентных нулю, то состояние системы не изменится.

Следствие: сила-вектор скользящий. F₁=F₂=F₂^’=0, {F₁, }~{F₁=F₂^’=F₂}~{F₂^’}, {F1;F2}~0.

3.Связи, наложенные на тело можно отбросить, заменив их действия реакциями.

Основные виды связи и их реакции.

Абсолютно гладкая поверхность.

Реакция абсолютно гладкой поверхности направлена по общей нормали к соприкасающимся поверхностям.

Реакция в подвижном шарнире направлена ^ к направлению его возможного перемещения.

Жесткость заделки не дает двинуть ни по х, ни по у, ни повернуть.

4.Силы складываются по правилу параллелограмма.

Следствие: теорема косинусов.

5.Любое действие вызывает равное и противоположное по направлению противодействие (III Ньютона).

6.Принцып отвердевания. Равновесие тела от наложения на него дополнительных связей.

Некоторые понятия статики.

Равнодействующая систем сил мы будем называть силу, действие которой эквивалентно действию системы сил.

R^*~{F₁;F₂;F₃;…;F_n} тогда мы можем сказать, что система сил вида ~{F₁;F₂;F₃;…;F_n -R^*}эквивалентна нулю. Такая система сил наз-ся уравновешенной или равновесной.

Алгебраический момент силы относительно точки. Алг.моментом силы отн-но точки будем называть произведение силы на плечо, взятое со знаком + или -. Плечо-это кратчайшее растояние от моментной точки до линии действия силы, измеряемое перпендикуляром.

М(F)=±Fh. + берем в том случае, если сила вращает тело против часовой стрелки, - по ходу часовой стрелки.

Алгебраический момент силы относительно точки =0, если линия действия силы проходит через точку. М(F)=±Fh=2S_DOAB

Векторный момент силы относительно точки –наз-ся векторное произведение r на F.

М(F)=[r´F].

Векторн.момент направлен ^ плоскости, в которой лежат вектора r и F в ту сторону, что с конца этого вектора вращение, производимое силой кажется видно против часовой стрелки.

Численно векторный момент равен ½М₀(F)½= ½F½´ ½r½´sin(r; F); ½М₀(F)½= ½F½´ h=2S_DOAB .

Момент-вектор свободный, т.е.его можно переносить параллельно самому себе.


Сходящиеся силы –такие силы, линия действия которых пересекаются в одной точке (их всегда можно сложить и получить равнодействующую силу сходящихся сил). R^*=åF_k.

Для того, чтобы система сход.сил находилась в рановесии необходимо и достаточно, чтобы R^*=0 (геометрическое условие равновесия сход.сил).

åF_kх=0 – аналитическое условие равновесия системы сходящихся сил.

åF_kу=0

åF_kz=0

Проекция силы на ось. По определению проекция силы на ось – это есть скалярная алгебраическая вел-на определяемая по ф-ле: F_x=Fcosa, где a-угол между направлением силы и осью.

Для равновесия системы сход.сил на плоскости необходимо и достаточно 2 ур-я: åF_kх=0 ; åF_kу=0 если все силы с плоскости хоу: F₁, F₂,…, F_n, Îхоу.

Теорема о тех силах. Если тело под действием 3-х сил находится в равновесии, причем линии действия двух из них пересекаются, то линия действия 3-й силы пройдет через точку пересечения первых двух сил и все силы лежат в одной плоскости.

{F₁;F₂;F₃ }~{R, F₃}~0

Теорема об
n силах. Если тело находится в равновесии под действием n сил, причем n-1 из них пересекаются в одной точке, то лииня действия n-ой силы обязательно пройдет через точку пересечения n-1 силы.

Момент силы отн-но оси. Моментом силы отн-но оси наз-ся алгебраический момент проекции силы на пл-ть, ^ оси относительно точки пересечения оси с пл-тью.

М_z(F)=±F^’ h=±2S_DOA’B’

Момент силы относительно оси =0, если сила ½½ оси или линия действия силы пересекает ось. Момент силы относительно оси =0, если сила и ось в одной плоскости.

М_z(F)=½М₀ ( F)½cosa

Момент силы отн-но оси – это есть проекция вектора момента силы отн-но любой точки оси на эту ось.

S_DOA’B’ =S_DOAB cosa.

Произведение площади проецир.фигуры на cos угла между фигурой и осью равно площади проекции фигуры.

1/2 М_z(F)=1/2½М₀ ( F)½cosaÞ М_z(F)=½М₀ ( F)½cosa=½М₀₁ ( F)½cosa₁

М₀ ( F)=[r´F]= i    j    k

                         x   y    z

                        F_x  F_y  F_z  = (yF_z – zF_y )i+(zF_x-xF_z)j+(xF_y-yF_x)k

М_x ( F)= yF_z – zF_y; M_y(F)=zF_x-xF_z; M_z=xF_y-yF_x.

М_z(F)=±F^’ h=±2S_DOA’B’

Пара сил.

Парой сил наз-ся 2 силы равные по вел-не, противоположно направленные и не лежащие на одной прямой.

F₁=F₁’=F, d-плечо пары . Пара сил эквивалентна моменту. Момент пары сил ^-ый плоскости пары направлен в ту сторону, что с конца этого вектора вращение, производимое парой кажется видным против часовой стрелки. Численно вектор момент равен произведению сил на плечо. пары .

½М₁ ( F₁, F₁’)½=Fd=S_ðOABC.   М_мо(F₁)=[r₁ F₁]; М_мо(F₁’)=[r₂ F₁’]= М_мо(F₁’)+ М_мо(F₁)=[r₁ F₁]+[r₂ F₁]= [(r₁- r₂)F₁]=[BO F₁];   М₁ ( F₁, F₁’) =[BO F₁].

Пара сил не имеет равнодействующей, но она эквивалентна моменту.

Момент пары сил равен векторному моменту одной силы пары относительно любой точки, лежащей на линии действия другой силы пары.

Отонсительно любой точки сумма момента пары равна моменту пары.

Очевидно, что поскольку момент пары сил определяется вектором моментом, то 2 пары сил мы будем называть эквивалентными если у них одинаковы векторы моменты. Отсюда следует, что пару сил в плоскости действия пары можно поворачивать как угодно, изменять растояние между силами, сохраняя при этом величину вектора момента, оставаясь при этом в плоскости действия пары. Все это эквивалентные преобразования пар сил.

Пару сил можно переносить параллельно самой себе, при этом эквивалентные пары сил будут сохраняться.

Если на тело действует пара сил и тело находится в равновесии, то условие равновесия под действием пары сил имеет вид: åМ ( F_к, F_к’)=0.

Две пары сил можно сложить, при этом векторный момент пары сил эквивалентны двум складываемым парам, равен сумме моментов пары сил. М=М₁+М₂.

åМ_х ( F_к, F_к’)=0

åМ_у ( F_к, F_к’)=0

åМ_z ( F_к, F_к’)=0 –аналитические условия равновесия для пар сил.

Приведение системы сил к заданному центру.

Вспомогательные теоремы:

При переносе силы в заданный центр возникает момент, равный векторному моменту силы относительно заданного центра.

F=F₁=F₁’

(F₁;F₁’)=M_o(F),

{F}~{F;F₁;F₁’}~{L_o;F₁}

Основная теорема статики (теор. Пуансо):

При приведении системы сил к заданому центру возникает главный вектор R равный сумме всех сил и главный момент М_о, равный сумме моментов всех сил относительно центра приведения.

R=åF_k

L_o=åM_o(F_k)

Условия равновесия для произвольной простр.системы сил, а также следствия из этих уравнений.

R=0 и L_o=0 –ур-я равновесия. Им соотв-ют 6 скалярных алгебраических ур-1 равновесия для простр.системы сил:

åF_kх=0  åF_kу=0  åF_kz=0   åМ_х(Fk)=0  åМу(Fk)=0  åМz(F_k)=0 – аналитическое условие равновесия для произвольной системы сил.

Пусть все силы Î пл-ти хоу, тогда: åF_kх=0  åF_kу=0  åМо(Fk)=0 условие равновесия для произвольной плоской системы сил.

Условие равновесия для плоской системы параллельных сил.

Пустьсилы ôô оси оу, тогда åF_kх=0  åМо(Fk)=0

Условие равновесия для пространственной системы параллельных сил.

F₁, F₂, F₃,…,F_n ôô оси оz, тогда: åF_kz=0   åМ_х(Fk)=0  åМу(Fk)=0 

Частный случай дв-я точки

1.Равномерное дв-е

v=const, S=S_o+vt

2.равноускоренное дв-е

W_t =const, V=V_o+ W_t t, S=V_ot+ W_t (t²/2)

V² –V_o²=2 W_tS

dV/dt= W_t,  

òdV=ò W_t dt, V –V_o= W_tt

Кинематика твердого тела

В теор.механике рассм.только тверд.тела

Абс.тв.тела-это такие тела, раст.между двумя любыми точками не меняются за все время движения

Поступательное дв-е твердого тела

Поступательн.дв-ем тв.тела наз-ся такое дв-е

Тела, при кот.любая прямая, проведенная в нем остается параллельной самой себе за все время дв-я (самолет, летящий прямолинейно, дв-е поршня в двигателе автомоб., дв-е колеса обозрения)

Теорема: При поступ.движении тв.тела траектории дв-я всех точек тела конгруэнтны, а скорость и ускорение равны.

r_в= r_А+АВ

Поскольку это вып-ся в люб.момент времени, то получается, что траектория т.В можно определить смещением вектора АВ в каждой точке из траектории т.А возм.произв.по времени (АВ=const)

dr_в/dt= dr_A/dt+d(AB)/dt

V_B=V_A.   W_B=W_A.

Вращат.дв-е твердого тела.

Вращат.наз-ся такое дв-е тв.тела, при кот-м хотя бы 2 точки тела остаются неподвижными за все время вращенияя, через эти 2 точки проходит ось вращения, все остальные точки движутся по окружностям в плоскостях перпендик-х оси вращения.

Фермы

Начинаем искать усилия стержней, рассматривая узлы.

Метод Риттера(проверка)

При нахождении усилий стержней плоской фермы методом выфрезания узлов полезно знать:

1)если в незагруженном узле плоск.фермы сходятся 2 стержня. То усилие в этих стержнях =0

2)если в незагруженном узле плоск.фермы сходятся 3 стержня, из кот-х 2 расоложены на одной прямой, то усилие в 3-м стержне =0, а усилие в первых 2-х равны между собой.

Вращат.дв-е-это такое дв-е, при кот-м ось остается неподвижной, а все др..тела движутся в плоскости перпендикулярной оси вращения.

Введем угол поворота j -как угол между неподв.пл-тью и плоскостью, связанной с телом

[j]=рад

j=2pn

[N]- число оборотов

Угловая скорость w=dj/dt, [wj]=рад/c=c^-1

j=f(t)

Вектор угл.скорости w лежит на оси вращения и направлен в сторону, что с конца этого вектора вращение кажется видимым против часовой стрелки.

Угловое ускорение e опр-ся по ф-ле:

e=dW/dt=d²j/dt², [e]= рад/c²=c^-2.

Вектор углового ускорения e также лежит на оси вращения и направлен по вектору w, если вращение ускорено и противоположен ему, если вращение замедлено.

[n]-число оборотов в мин.=об/мин, тогда w=pn/30/

Частный случай вращат.дв-я:

1)равномерное вращение.. j=wt

2)равнопеременное вращение: e=const. j=w_о t+et²/2;

w=w_о+et

dw/dt=e

dw=e dt

ò dw=òe dt

w-w_о=eò dt

w² -w_о² =2ej

dj/dt=w_о+et

ò dj=òw_оdt+òetdt

j-j_o=w_оòdt+eòtdt

j-j_o=w _оt+e(t²/2)

Определение линейной скорости и лин.ускорения при вращат.движении твердого тела

S=hj

ds/dt=h(dj/dt)

V=hw, dv/dt=h(dw/dt)

W_t=he

W_n=v²/h=(w²h²)/h=w²h

Полное ускорение W=Ö W_n²+ W_t²=hÖw²+e²

tga=ïW_tï/ W_n=ïeï/w²

Вывод: при вращ.дв-ии тв.тела линейная скорость касательная нормальной и полное ускорение пропорциональны растоянию точки от оси вращения.

Векторные ф-лы для опр-я скорости и ускорения при вращат.движении.

v=[w´r]-ф-ла Эйлера

v=w´r´sin(w,r)

v=w´h

W_t=[e´r], W_t=e´r´sin[e´r]=he,

W_n=[w[w´ r]]=[ w´v]

W_n=w´v´ sin(w´v)= w´v=w²h

Производ.от вектора пост.по модулю под скалярным аргументом

ïвï=const=в

dв/dt, (вв)=в²,  2[в(dв/dt)]=0 Þ dв/dt ^в.

ïdв/dtï=ïdвï/dt=в(dj/dt)=w в.

dв/dt=[w в]

Производная от времени, причем ïвï=const, равна векторному произведению угловой скорости вращения этого вектора на сам этот вектор.

dτ/dt= (dτ ds)/(ds dt)= (dτ/dφ)( dφ/dt)

ïdτ/dφï=1

dτ/dt=w n

dτ/dt=[wτ]

Теорема о проекциях скоростей

При любом движении твердого тела проекция скоростей 2-х точек этого тела на прямую их соединяющих равны.

V_Acosα= V_Bcosβ

Поскольку точки выбираем произвольно, то проекции скоростей любой точки прямой на эту прямую равны.

r_в=r_A+AB

r_в-r_A=AB

(r_в-r_A)²=(AB)²=R²=const (l=│AB│)

2(r_в-r_A)[(d r_в/dt)- (d r_A/dt)]=0

(V_B-V_A)AB=0, AB= V_A AB

V_Bcosβ AB= V_Acosα AB

V_Bcosβ = V_Acosα –смысл этой теоремы заключ.в том, что рассм.дв-е абсол.тв.тела, мы не можем допустить, чтобы т.А доганяла т.В или чтобы т.А отставала от т.В.

Мгновенный центр ускорений

Α=arctg(ε/ω²)

W_Q=0

W_A^τ= εAQ, W_Aⁿ= ω² AQ,

W_A=√( W_A^τ)²+( W_Aⁿ)²= AQ√ε²+ ω²

tgα= W_A^τ/ W_Aⁿ= ε/ ω²

Частный случай:

1)ε=0, тогда α=0

2)ω=0, тогда α=π/2 (дв-е мгновенно поступательное)

Сложное дв-е точки.

Сложным наз-ся токое дв-е точки, при котором сущ-ет относительное дв-е точки(это дв-е отн-но подвижной сист.координат) и переносное движение (это дв-е точки в момент в подвижной сист.коор-т отн-но неподвижной). Причем в принципе подв.сист.коор-т м.б.одно, а переносных много.

Определение скорости точки в сложном движении.

ρ_м=ρ_о+r

Ф-ла Бура Производная от вектора относит.неподвижной сист.координат

r=xi+yj+zk

dr/dt=(dx/dt)/i+(dy/dt)j+(dz/dt)k+ x(di/dt)+y(dj/dt)+z(dk/dt)

di/dt=[ωi], dj/dt=[ωj], dk/dt=[ωk],

dr/dt=´dr/dt+[ωr], где ´dr/dt=(dx/dt)/i+(dy/dt)j+(dz/dt)k

причем dr/dt это частная локальная производная или производная от вектора r отн-но подвиж.системы координат.

Ф-ла Бура: производная от вектора отн-но неподв.системы коор-т, которая изменяется отн-но подвижной системы коор-т складывается из частной (локальной) производной плюс векторное произведение угловой скорости вращения подвижной сист.коор-т на этот вектор.

Частный случай ф-лы Бура: 1)Если ε=0 (подв.сист.коор-т движ-ся поступательно), то полная производная = частной, т.е. dr/dt=´dr/dt,

2)Если вектор r не изменяется относительно подвижной сист.коорд., т.е. ´dr/dt=0, то тогда dr/dt=[ωr] (производ.от вектора пост.по Н)

3)Пусть полная произв.от r по времени =0, т.е. dr/dt=0, тогда ‘dr/dt+ [ωr]=0,

´dr/dt+ [ωr]=0,  ´dr/dt= - [ωr]

Пусть r=ω, тогда получим dω/dt=´dω/dt= ε

Производная от вектора ω по времени не зависит от того, относительно какой сист.ккор-т мы берем.

dρ_м/dt= dρ_o/dt+dr/dt/

V_M=V_O+[ ωr]+ ´dr/dt

V_M=V_L+ V_r

V_L- переносная скорость (скор.точки в морож.в неподв.сист.коор-т отн-но подвижной)

V_r- относительная скорость(скор.точкт отн-но неподв.сист.коор-т)

Абсолютная скорость точки при сложном движении складывается из векторной суммы переносной и относительной скоростей

Опр-е ускорения точки в сложном движении

V_M=V_O+[ ωr]+ V_r

W_M=d V_M/dt=(d V_O/dt)+[ εr]+[ ω(dr/dt)]+d V_r/dt

dr/dt=[ ωr]+ V_r

W_M=W_o+[ εr]+ [ω[ωr]]+[ ω V_r]+ [ ωV_r]+W_r

d V_r/dt=[ ω V_r]+ W_r

W_k=2[ω V_r]

W_M=W_L+W_r+W_K – кинематическая теорема Кариолиса

Абсолютное ускорение точки –это есть сумма переносного ускорения, относительного ускорения и ускорения Кариолиса

Переносное ускорение хар-ет измен-е переносной скорости в переносном движении.

Относительное ускорение хар-ет изм-е относительной скоростив в относительном движении. Ускорение Кариолиса хар-ет изм-е относительной скорости в переносном движении

Ускорение Кариолиса.

Согласно правилу векторного произведения, вектор ускорения Кариолиса ┴ пл-ти, в кот-й лежат вектора ω и V_r и направлена в ту сторону,что с конца этого вектора кратчайшее совмещение первого вектора ко второму ω к V_r кажется видным против хода часовой стрелки.

Методы нахождения мгновенных центров скоростей

Суть (классич.метод закл-ся в след.): Мгновенный центр скоростей нах-ся на пересечении перпендикуляров к скоростям в 2-х точках тела.

ω = V_А/АР= V_В/ВР= V_С/СР

Если скорости 2-х точек | |-ны не равны др.другу, а прямая их соединяющая ^-на, то тогда:

ω = V_А/АР= V_В/ВР= V_С/СР

Пусть скорости | |-ны, направлены в разные стороны, а прямая их соединяющая им ^-на.

ω = V_А/АР= V_В/ВР

Пусть скорости 2-х точек тела| |-ны , направлены в одну сторону, а прямая их соединяющая не ^-на, то имеем: (в этом случае мгновенный центр скоростей нах-ся в бесконечности, ω =0, тело совершает мгновенно поступательное движение) V_А = V_В= V_С=…

Примером явл-ся кривошипно-шатунный механизм. ω_АВ =0

Способ нахождения опред-я мгн.скоростей из механич.соображений

Ω_колеса= V_Д/ДР= V_В/ВР= V_А/АР

Поскольку мгн.центр скоростей –это понятие геометрическое, то может оказаться, что он нах-ся вне пределов тела.

Определение ускорения при плоскопараллельном движени.

V_В=V_А+[ ω АВ]

dV_В /dt= dV_А /dt+[ ε АВ]+ [ω (d АВ/dt) ]

W_В= W_А +W_ВА^t+ W_ВАⁿ

W_ВАⁿ=[ω[ωAB]]= [ωV_BА]

W_ВА^t=ε AB; W_ВА^t= ω²AB

При плоско параллельн.движении ускорение любой точки складывается из ускорения полюса плюс касательная к нормальной составляющей при вращении точки относительно полюса.

Сферическое дв-е тв.тела.

Сферическим наз-ся такое дв-е, при коротом это тело имеет только одну неподвижную точку. Все остальные точки тела располагаются на сферах разного радиуса. Н-р!гороскоп.

Сферич.тело имеет 3 степени свободы, n=3N-k, где n-число степеней свободы, N-число точек, к-число связей. n =6-для свободного тв.тела

Для тела, кот-е совершает сферич.дв-е достаточно 3 коор-ты, поскольку оно имеет 3 степени свободы.

х₁, y₁, z₁-неподв.сист.коор-т

х, y, z-подв.сист.коор-т

ок-линия узлов-это прямая, по которой пересекаются плоскости х₁оу₁ и хоу

y-угол прецессии(между х₁ и ок)

q-угол нутации(между z₁ и z)

j-угол собственного вращения(<(ok; ox))

y, q,j-углы Эллера.

j=j(t)

q=q(t)

y=y(t)-будем иметь положение тела в пространстве(ккор-ты)