1.   Введение..................................................................................... 3

2.   Теоретическая часть...................................................................4

3.   Алгоритм работы........................................................................8

4.   Код программы.........................................................................17

·              Модуль K_graph............................................................17

·              Модуль Graphic.............................................................34

·              Модуль K_unit...............................................................38

·              Основная программа....................................................40

5.   Тестовые испытания.................................................................42

6.   Полезные советы по работе с программой.............................42

7.   Окна ввода и вывода программы.............................................

8.   Вывод..........................................................................................43

9.   Список литературы...................................................................44



   

     Математика - одна из самых древних наук. Труды многих ученых вошли в мировой фонд и стали основой современных алгебры и геометрии. В конце XVII в., когда развитие науки шло быстрыми темпами, появились понятия дифференцирование, а вслед за ним и интегрирование. Многие правила нахождения неопределенного интеграла в то время не были известны, поэтому ученые пытались  найти другие, обходные пути поиска значений. Первым методом явился метод Ньютона – поиск интеграла через график функции, т.е. нахождение площади под графиком, методом прямоугольников, в последствии усовершенствованный в метод трапеций. Позже был придуман параболический метод или метод Симпсона. Однако часть ученых терзал вопрос: А можно ли объединить все эти методы в один??

Ответ на него был дан одновременно двумя математиками Ньютоном и Котесом. Они вывели общую формулу, названную в их честь. Однако   их метод был частично забыт. В этой работе будут изложены основные положения теории, рассмотрены различные примеры,  приведены таблицы, полученные при различных погрешностях, и конечно описана работа и код программы, рассчитывающей интеграл методом Ньютона-Котеса.



Пусть некоторая функция f(x) задана в уздах интерполяции:

         (i=1,2,3…,n) на отрезке [а,b] таблицей значений:

X0=a	X1	X2	…	XN=b
Y0=f(x0)	Y1=f(x1)	Y2=f(x2)	…	YN=f(xN)

Требуется найти значение интеграла     .

  Для начала составим интерполяционный многочлен Лагранджа:

Для равноотстоящих узлов интерполяционный многочлен имеет вид:

где q=(x-x0)/h – шаг интерполяции, заменим подынтегральную функцию f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа:

Поменяем знак суммирования и интеграл и вынесем за знак интеграла постоянные элементы:

       Рассмотрим результаты тестовых испытаний для функций sin(x) на интервале [-5;3] и exp(x) на интервале [2;8]

	n=1	n=2	n=3	n=4	n=5	n=7
Sin(x)	4,040017	3,02112	0,087629	1,779012	1,537481	1,246
Exp(x)	8965,041	3581,999	3271,82	3002,908	2990,644	2974,322
N=9	n=12
1,273561	1,27366
2973,593	2973,569

       Видно, что при увеличении числа узлов интерполяции точность растет, однако при больших n (n>15) наблюдался обратный эффект.

Рекомендуемый диапозон n: от 7 до 13.
 
1)          Интерфейс программы составлен на 2 языках: русском и английском. Переход с одного языка на другой осуществляется в вводном окне путем нажатия клавишы F2. Сменить язык можно только в этой части программы.

2)    При вводе значений функции вручную необходимо вводить только цифры и после каждого ввода нажимать  клавишу ENTER.

3)          При испытании программы под разные операционные системы(Dos, Windows 98-2k,NT, из под паскаля) происходил непонятный баг с неверным выводом на экран значений коэффициентов Ньютона-Котеса, хотя интеграл считался верно. Для нормального нахождения их желательно запускать программу через Dos.

4)          При вводе параметров в “Меню задания параметров нахождения интеграла” желательно их вводить постепенно сверху вниз, т.е. сначала ввести количество узлов интерполяции, затем пределы интегрирования, а уж потом вводить саму функцию.

5)          Данная версия программы не способна распознавать все функции. Она может распознать только стандартные функции Турбо Паскаля и еще несколько дотполнительных: sin(x)/x, cos(x)*x ,arcctg(x). Для работы со специфическими функциями необходимо в модуле K-unit в процедуре RASPOSN в конце, перед end else, добавить :

k:=pos(‘Формула f(x)’,f);

if k<>0 then t:= ‘Формула f(x)’;

где ‘Формула f(x)’ – желаемая формула для распознования.

6)      Вся помощь по вводу и работе с пограммой выводится в окне помощи.




    Для нахождения интеграла существует много методов, однако, метод Ньютона-Котеса один из самых быстрых: достаточно знать значения коэффициентов для n=4, чтобы с точностью до сотых мгновенно посчитать интеграл. Быстрота и простота –главные части этого метода.
                        

  
 В.И. Грызлов «Турбо Паскаль 7.0» Москва: ДМК 2000г.

 Данилина «Численные методы» Москва: Высшая школа 1978г.