1.

Бэта-функции
  
                                               6                           

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:
=                                          (1.1)         
сходятся при .Полагая =1 – t получим:
= - =
т.e. аргумент  и  входят в  симетрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем

Откуда
=                                       (1.2)
                             7

При целом b = n последовательно применяя(1.2)                                                                    

Получим
                            (1.3)
при целых = m,= n,имеем


но B(1,1) = 1,следовательно:




Положим в (1.1)  .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то

8

и в результате подстановки  ,получаем


полагая в(1.1) ,откуда ,получим                                                        
                                          (1.4)
разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и  от 1 до  и применение ко второму интегралу подстановки ,получим
=
                                           
2.

Гамма-функция
                                                9

Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода
G(a) =                                          (2.1)
сходящийся при  0.Положим =ty,t > 0 ,имеем
G(a) =
и после замены , через  и t  через 1+t ,получим

Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до, имеем:

или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:

10

откуда   

                                                                                                                

                                                                                          (2.2)                                                      
заменяя в (2,1) ,на  и интегрируем по частям

получаем рекурентною формулу
                                                               (2.3)

                                  

так как

но при целом  имеем
                              (2.4)
то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем

  Применим гамма функцию к вычислению интеграла:

 где m > -1,n > -1.Полагая , что ,имеем

и на основании (2.2) имеем
                               (3.1)
В интеграле

   Где k > -1,n > 0,достаточно положить

17

  Интеграл



 

  Где s > 0,разложить в ряд

=
где дзетта функция Римана

   Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)

связанные неравенством




   Разлагая, в ряд имеем


18


                                                                                                                              

    Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности  приближенное значение  n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию
                                        (3.2)
    Непрерывна на интервале (-1,) монотонно возрастает от  до при изменении    от      до и обращаются в 0  при u = 0.Так как

то   при u > 0 и   при u < 0 , далее имеем

   И так производная непрерывна и положительна во всем интервале ,удовлетворяет условию
19


 Из предыдущего следует, что существует обратная функция,  определенная на интервале  непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,   

Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие
                                            (3.3)
  Формулу Стирлинга выведем из равенства
 
полагая ,имеем

   Положим далее введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при ,и  при  .Замечая что(см.3.2)

20

имеем
,                                                                                

полагая на конец ,,получим

или

в пределе при т.е. при (см3.3)

откуда вытекает формула Стирлинга

которую можно взять в виде
21

                                                     (3.4)
где  ,при                                                                                         

для достаточно больших  полагают
                                                     (3.5)
вычисление же производится при помощи логарифмов

если  целое положительное число, то  и (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n

приведем без вывода более точную формулу

где в скобках стоит не сходящийся ряд.
5. Примеры  вычисления интегралов                           22

Для вычисления необходимы формулы:




Г()
Вычислить интегралы


 


                                                                                              23                                 

Міністерство освіти і науки України

Запорізький державний університет

                                                                          ДО      ЗАХИСТУ    ДОПУЩЕНИЙ

                                                                           Зав. каф.   Математичного    аналізу

д. т. н. проф. ____ С.Ф. Шишканова

_________________________ 2002р.

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ

ГАМА ФУНКЦІЇ

Розробив

Ст..гр.. 8221-2

Садигов Р.А.

Керівник

Ст. викладач

Кудря В.І.

Запоріжжя 2002.

Содержание

Задание на курсовую работу............................ ...................................2

Реферат.............................................................. ...................................4

введение............................................................ ...................................5

1.     Бета функции……………………………………………..............6

2.     Гамма функции........................................ ...................................9

3.     Производная гамма  функции ................ ..................................11

4.     Вычисление интегралов формула Стирлинга............................16

5.     Примеры вычеслений.............................. ..................................22

вывод................................................................ ..................................24

Список литературы……………………………………………..............25
Реферат

 Курсовая работа: 24 ст., 5 источников, 1 рис.

Обьект иследований: гамма и ее приложения.

      В работе идет речь о представлении бета и гамма функций с помощью интегралов Эйлера соответствено первого и второго рода. И о их применении для вычисления интегралов.

      Ключевые слова:

ГАММА  И БЕТА ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА, ПРОИЗВОДНАЯ, ПРЕДЕЛ.

Введение

           Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

          Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

            Бета функции представимы интегралом  Эйлера первого рода:



гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

Вывод

       Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Список литературы

1. Специальные функции и их приложения:

Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953

2. Математический анализ часть 2:

Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987

3. Сборник задач по математическому анализу:

Демидович Б.П.,М.,Наука,1966

4. Интегралы и ряды специальные функции:

Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983

5. Специальные функции:

Кузнецов , М.,”Высшая школа”,1965