Реферат Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего
от 25%

Подписываем
договор
Содержание.
Глава
I
Введение.
2
§1. Актуальность темы. 2
§2. Обзор работ. 6
Глава
II
Определения решения дифференциального уравнения с разрывной правой частью.
8
§1. Обоснование необходимости обобщения понятия
решения. 8
§2. Определения решения. 10
Глава
III
Исследование устойчивости для дифференциальных
уравнений с разрывными правыми частями.
23
§1. Определение устойчивости. Метод функций Ляпунова. 23
§2. Некоторые сведения теории дифференциальных
уравнений с импульсным воздействием. 27
§3. Связь рассматриваемых теорий. 31
Заключение.
34
Литература.
35
Глава I
Введение.
§1. Актуальность темы.
Актуальность данной темы в значительной степени обусловлена многочисленными приложениями теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями.
Ряд процессов в механике, электротехнике и в других областях характеризуются тем, что правые части дифференциальных уравнений, которые описывают их динамику, претерпевают разрывы в зависимости от текущего состояния процесса. Стандартный пример такой динамической системы – механическая система с сухим трением, когда сила сопротивления может принимать одно из двух двух противоположных по знаку значений в зависимости от направления движения. Рассмотрим эту систему подробнее.
Механическая система с сухим трением.
Как показано в [3] можно установить зависимость между работой, затраченной на преодоление сил трения и скоростью движения. Эта зависимость получается совершенно различной для случая движения груза массы m
в жидкости и трения о какую-либо твердую поверхность. В первом случае (случай “жидкого трения”) работа существенно зависит от скорости и при уменьшении скорости уменьшается и может быть сделана как угодно малой. Во втором случае (случай “сухого трения”), наоборот, работа мало зависит от скорости, и как бы медленно ни двигали груз, необходимо затратить на его перемещение некоторую конечную и вполне определенную работу, т.е. сила трения даже при сколь угодно малой скорости имеет конечную величину. Кроме этого, учитывая, что сила трения всегда направлена в сторону, противоположную скорости, и, значит при переходе через нуль сила трения меняет знак на обратный, в случае “жидкого трения” получаем, что сила трения без скачка проходит через нуль и меняет при этом знак:
В случае же “сухого трения” при скорости, стремящейся к нулю, сила трения с двух сторон стремится к разным конечным пределам (в частности противоположным по знаку, но одинаковым по абсолютной величине), т.е. при нуле претерпевает разрыв:
Т.о. математические модели механических систем с кулоновым трением, полученные в рамках механики систем абсолютно твердых тел, представляют собой дифференциальные уравнения, правые части которых являются функциями, разрывными относительно обобщенных скоростей (сила трения изменяется скачкообразно при изменении направления движения).
Ситуация, подобная вышеописанной, особенно часто возникает в системах автоматического управления: стремление повысить быстродействие системы, минимизировать энергетические затраты на управление, ограничить область возможных изменений регулируемых параметров и т.п. приводит к управляющим воздействиям в виде разрывных функций. В частности, такими системами автоматического управления являются системы с переменной стуктурой и со скользящими режимами.
Системы с переменной структурой и со скользящим режимом.
Исследование этих систем в большинстве случаев осуществляется на основе развитого в работе [3] метода фазового пространства. Согласно этому методу, состояние динамической системы
Определение систем с переменной структурой дано в работе [13]. Под системами с переменной структурой авторы понимают системы, в которых связи между функциональными элементами меняются тем или иным образом, в отличие от систем с фиксированной структурой, в которых совокупность функциональных элементов и характер связей между ними остаются неизменными.
Одним из режимов работы таких систем является скользящий режим, характеризуемый бесконечной частотой переключения функции управления. Скользящий режим возникает, если в окрестности поверхности, на которой функция управления претерпевает разрывы, фазовые траектории направлены навстречу друг другу
После попадания на поверхность разрыва изображающая точка не может в течение любого даже сколь угодно малого, но конечного интервала времени двигаться по любой из траекторий, примыкающих к этой поверхности (при любом смещении всегда возникает движение, возвращающее изображающую точку на поверхность разрыва).
В [7] рассматривается еще случай, когда решение наоборот не может попасть на соответствующий участок поверхности разрыва (при возрастании времени):
Скользящие режимы обладают рядом привлекательных свойств с т.з. построения систем автоматического управления (часто скользящие режимы специально вводят в системы). Одна из особенностей, связанная с независимостью их от характеристик управляемого объекта и возможностью наделить их желаемыми свойствами, и обуславливает широкое применение скользящих движений.
Т.о., существование теории релейных систем, систем переменной структуры, реализация законов оптимального управления, механики, электротехники приводят к необходимости изучения общей теории диф. уравн. с разрывными правыми частями, для которых в общем случае неприемлемы методы классической теории дифференциальных уравнений.
§2. Обзор работ по теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями.
Различным вопросам этой теории посвящены отдельные параграфы и главы в книгах [3,4,7,9], а также большое число журнальных статей.
Систематическое изложение этой теории имеется в статьях А.Ф. Филиппова. В [16] Филиппов рассмотрел диф. уравн. с однозначными разрывными правыми частями, ввел понятие решения и доказал основные теоремы качественной теории.
Различные направления исследования релейных диф. уравн.
Теория систем автоматического управления, описываемых дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями рассматривается в книгах [13, 14, 15]. В работе С.В. Емельянова [13] излагается один из разделов теории автоматичесеого управления – теория систем с переменной структурой, принадлежащих к классу нелинейных систем автоматического регулирования, в которых широко используются скользящие режимы. Скользящие режимы релейных систем изучались Ю.И Неймарком [10], Ю.И. Алимовым [2] и др. Но появление систем с переменной структурой породило интерес к теории скользящих режимов не только в релейных системах общего вида [14, 15]. Содержание последних книг составляют проблемы, связанные с исследованием систем с разрывными управляющими воздействиями, в [14] приводится математический аппарат для исследования разрывных динамических систем, которые не рассматриваются в классической теории диф. уравнений. Обзор и основные направления теории диф. уравнений с разрвными правыми частями приводятся в книге [17], которая явилась основной при написании дипломной работы.
Во всех вышеперечисленных работах теория разрывных систем основывается на теории дифференциальных включений. Нами было сделано предположение, что эти системы можно свести к системам дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, теория которых изложена в [12]. Для этого потребуется дать определения решения, устойчивости решения разрывной системы в смысле системы с импульсным воздействием, сформулировать теорему об устойчивости нулевого решения.
Глава II
Определения решения дифференциального уравнения с разрывной правой частью.
Здесь из лагаются различные определения решений дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, устанавливается связь таких уравнений с дифференциальными включениями, указываются условия их применимости.
§1. Обоснование необходимости обобщения понятия
решения дифференциального уравнения.
Определение1. Решением дифференциального уравнения
=
с непрерывной правой частью называется функция
, которая всюду на данном интервале имеет производную и удовлетворяет этому уравнению.
Для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями такое определение непригодно, как показывают следующие примеры.
Пример 1.
При
при 

, решение
:
Исходя из требования непрерывности решения при
x(0)=
Пример 2.
При
при
При возрастании
Кроме этого, уравнение с непрерывной правой частью равносильно интегральному уравнению
В случае, когда f
(
t
,
x
) разрывна по t и непрерывна по x (пример 1), решением уравнения можно назвать функции, удовлетворяющие интегральному уравнению. В этом случае, решения с одной стороны от S подходят к S, а с другой стороны сходят с S (траектории “прошивают” поверхность):
S
Решение x
(
t
) попадающее при
– это прямая t
=0).
В другом случае, когда с обеих сторон поверхности разрыва S решения приближаются к S (траектории “стыкуются” – скользящий режим), это определение решения непригодно, т.к. ничего не говорит о том, как продолжится решение, попавшее на S (пример 2).
Необходимо поэтому было дать такое определение решения, которое охватило бы эти два основных случая и формулировалось бы независимо от расположения линий и поверхностей разрыва.
§2. Определения решения.
Рассмотрим уравнение или систему в векторной записи
с кусочно-непрерывной функцией f
в области G;
– множество (меры нуль) точек разрыва функции f.
Большинство известных определений решения уравнения (1) могут быть изложены следующим образом. Для каждой точки
Определение2. Решением уравнения (1) называется решение дифференциального включения
, (2)
т.е. абсолютно непрерывная вектор-функция x(t), определенная на интервале или отрезке I, для которого почти всюду на I
.
Другими словами, решение дифференциального уравнения (1) определяется как функция, у которой производная
Иногда (2) называют диф. уравнением с многозначной правой частью. Функцию
,
x
) множество
Одним из наиболее популярных определений решения разрывной системы является определение А.Ф. Филиппова.
А. Выпуклое доопределение.
Применимо, в частности, к системам с малым запаздыванием того или иного рода, а также к некоторым системам с сухим трением.
Для каждой точки
Все точки
Определение 3.
Вектор-функция
Такое определение дает однозначное продолжение решения по поверхности разрыва.
Рассмотрим случай, когда функция
Тогда множество
aЕсли этот отрезок при
Рис. 1.
aЕсли этот отрезок пересекается с плоскостью
по поверхности
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.
Причем касательный вектор к S
В уравнение (3)
Вместе с тем множество F
(
t
,
x
) можно было определить иначе. В качестве) возьмем произвольное ограниченное выпуклое множество, содержащее отрезок J:
|
Рис. 3.
При этом на касательной плоскости появляются векторы, отличные от
Т.о. определение (А) А.Ф. Филиппова соответствует минимальному возможному определению множества F
(
t
,
x
) среди всех допустимых. Это удобно в том отношении, что для решения в смысле Филиппова чаще, чем в других случаях, имеет место единственность решения.
aЕсли весь отрезок с концами
При
с помощью котрого и доопределяется движение в скользящем режиме (начальные условия для (4) выбираются на поверхности разрыва, т. е. S(x(0))=0).
Пример 3.
Решить систему
Всякое решение этой системы рано или поздно попадает на прямую
Этот отрезок и будет искомым множеством, в котором, согласно определению 3, лежит конец вектора
Т.о., связь теорий уравнений (1) с разрывной правой частью с теорией диф. Включений (2) очевидна. Имея уравнение (1) с разрывной f
(
t
,
x
) необходимо заменить значение
,
x
)
Однако, в некоторых случаях множество
Пример 4.
В механической системе с сухим трением:
Следовательно, множество
Необходимость охватить такие системы приводит к следующему способу построения множества F
(
t
,
x
).
Рассмотрим систему
где
Пусть
,
x постоянны, а
Определение 4.
Решением диф. уравн. (6) называют решение диф. включения (2), где
Частными случаями такого способа построения функции F
(
t
,
x
) является как доопределение А, так и изложенные ниже Б и В.
Б. Доопределение методом эквивалентного уравнения
(управления).
Применяется к уравнениям вида (6), где f – непрерывная вектор-функция,
В точках, принадлежащих одной или одновременно нескольким поверхноостям, например
где эквивалентные управления
=1,…, m. Т.о., функции
Определение 5.
Решением (6) называется абсолютно непрерывная вектор-функция, которая вне поверхностей
).
Например, в случае
в точке x с дугой abc , которую пробегает конец вектора f
(
t
,
x
,
u
), когда u изменяется от
Рис. 4.
С геометрической точки зрения, метод эквивалентного управления предполаглет замену разрывного управления на границе разрыва, где оно не определено, ненпрерывным управлением, которое направляет вектор скорости в пространстве состояний системы вдоль пересечения поверхностей разрыва. Например, в системе c одной поверхностью разрыва
,
x
) нужно построить годограф f
(
t
,
x
,
u
), изменяя скалярное управление от
|
Уравнение (6), доопределенное указаным образом, сводится к диф. включению
,
x
),
Правая часть (8) есть вектор с концом в точке пересечения множества
Доопределение А было обосновано лишь для скалярного случая (u
- скалярная функция) и лишь с помощью предельных переходов для частных случаев неидеальностей, доопределение Б применимо и в случае векторной разрывной динамической системы (т.е. управляющее воздействия приложены к различным точкам объекта и управление u является векторной величиной ), описываемой уравнениями
x
,
f
-
n-мерные векторы-столбцы,
i
=1, …, m
,
,
Для доопределения уравнений идеального скольжения используют метод эквивалентного управления [7]: в уравнение модели (9) вместо
где строки матрицы G={
)=0.
Пример 5.
Получить уравнение скольжения для разрывной системы:
В любой точке прямой разрыва S
=0 (т.е. при
Найдем эквивалентное управление из уравнения
Замечание.
Метод Филиппова, примененный к рассматриваемой системе, согласно (4) приводит к уравнению
=0.
В. Общее дополнение.
Оно применяется к уравнениям вида (6), где функция f
непрерывна по t
,
x
,

, а каждая из функций
разрывна только на поверхности
, i=1,…, r
.
Пусть
и
те же, что в Б, а
– наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее множество
.
Определение 6.
Решением уравнения (6) называется решение включения
(10)
Движение по поверхности разрыва S
(
S
(
x
)=0) может происходить только со скоростью
, где K
(
t
,
x
)– пересечение множества с плоскостью, касательной к S в точке x. На рис. 4 множество
- наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее дугу abc. Если эта дуга лежит в одной плоскости, то множество
– сегмент между этой дугой и ее хордой, заштрихованный на рисунке, а K
(
t
,
x
) – отрезок, являющийся пересечением этого сегмента с касательной к S
в точке x.
Если функция f
нелинейна по
, то, вообще говоря, множество K
(
t
,
x
) содержит более одной точки и скорость движения по S
определяется неоднозначно.
Сравнение определений.
Сравним определения А, Б, В.
Уравнение (6) можно записать в виде (1) и применить к нему определение А. Т.к. при этом множнство
содержит множества
и
из (2) и (7), то каждое решение в смысле определения А и каждое решение в смысле определения Б являются так же решением в смысле определения В. Обратно, вообще говоря, неверно: на рис. 4 множество F – хорда ac,
- дуга abc,
- заштрихованный сегмент.
Если же функция f
линейна по
, то
и определения Б и В совпадают. Если, кроме того, все поверхности
различны и в точках их пересечения векторы нормалей линейно независимы, то множества F
,
и
совпадают, тогда совпадают и все три определения А, Б, В.
Глава
III
Исследование устойчивости для дифференциальных
уравнений с разрывными правыми частями.
§1.Определение устойчивости. Метод функций Ляпунова.
Теория устойчивости создана в 90-х годах 19 в. А.М. Ляпуновым (в 1892 г. появилась знаменитая докторская диссертация “Общая задача об устойчивости движения”). Эта теория нашла широкое применение не только в математике, механике, технике, но и в химии, термодинамике, синергетике. Очень бльшую роль играет решение прроблемы устойчивости движения в небесной механике. На теории Ляпунова базируется современная наука о полете искусственных спутников Земли.
Определение устойчивости и асимптотической устойчивости решений диф. уравнений с непрерывной правой частью приводится, например, в [4]. Теория устойчивости движения занимается исследованием влияния возмущающих факторов на движение матариальной системы (под возмущающим фвкторами понимают силы, не учитываемые при написании движения вследствие их малости по сравнению с основными силами); устойчивость по Ляпунову – это близость законов изменения состояния во времени для невозмущенного и возмущенного движений. Сводя вопрос устойчивости невозмущенного движения к вопросу устойчивости положения равновесия, А.М. Ляпунов связывал факт устойчивости или неустойчивости с наличием функции V
(
t
, x) – функции Ляпунова, производная которой по времени, взятая согласно системе диф. уравнений, обладает определенными свойствами. Метод функций Ляпунова является одним из наиболее эффективных методов исследования систем автоматического управления. Значение этого метода далеко не исчкрпывается возможностью установления факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Но в данной работе ограничимся только этим.
Метод функций Ляпунова переносится и на случай разрывной правой части системы
. (1)
Как было показано в первой главе, уравнения (1) сводятся к диф. включениям
(2)
Для диф. включений имеются два типа устойчивости: устойчивость и слабая устойчивость.
Определение 1.
Решение
дифференциального включения (2) называется устойчивым (соответственно слабо устойчивым), если для каждого
существует такое
, что для каждого такого
, что
, каждое решение (соответственно некоторое решение)
с начальным условием
при
существует и удовлетворяет неравенству
(
).
Асимптотическая устойчивость и слабая асимптотическая устойчивость определяются аналогично, но с дополнительным условием
Пример 1.
(
). Решение
асимптотически устойчиво. При
любое другое решение достигает положения равновесия x
=0 за конечное время, а при
за бесконечное время.
Пример 2.
, F
(
x
) – отрезок с концами kx
и mx.
- решение. Для других решений имеем

При
асимптотически устойчиво,
при
устойчиво,
при
слабо асимптотически устойчиво,
при
неустойчиво.
Для диф. уравнений с непрерывной правой частью известны теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости [4]. В работе [17] сформулированы подобные теоремы для разрывных систем (1). Но для таких уравнений функция Ляпунова V
(
t
,
x
) может не принадлежать
.
Для функции
(т.е. имеются непрерывные производныепервого порядка) определяются верхняя и нижняя производные в силу диф. включения (2):

При почти всех t производная
существует и удовлетворяет включению (2). При этих t
существует
(3)
Теорема 1.
Пусть в замкнутой области D
(
) для всех
- непустое, ограниченное, замкнутое, выпуклое множество и функция
-непрерывна по t
,
x;
и существуют функции
, для которых
.
Тогда:
1) Если
в D, то решение
включения (2) устойчиво.
2) Если, кроме того, существуют функции
причем
,
, (
),
, то решение
асимптотически устойчиво.
Известные доказательства этих утверждений для диф. уравнений [4] остаются справедливыми и для диф. включений; при этом для оценки сверху функции V
(
t
,
x
(
t
)) используют соотношение (3).
Теорема 2.
Если выполнены условия теоремы 1, но с заменой
, то решение
слабо устойчиво в случае 1) и слабо асимптотически устойчиво в случае 2).
Доказательство теоремы 2 приведено в [17].
Рассмотрим теперь случай, когда функция Ляпунова
, но удовлетворяет условию Липшица в окрестности каждой точки области D. Тогда для любой абсолютно непрерывной функции x
(
t
), значит и для любого решения, сложная функция V
(
t
,
x
(
t
)) абсолютно непрерывна и почти всюду имеет производную по t. Однако решение может в течение некоторого промежутка времени идти по линии или поверхности, на которой grad
V не существует, и производную dV
/
dt, нельзя, как в случае
, представить в виде

Для
:
. (4)
В случае функции V
(
t
,
x
), удовлетворяющей условию Липшица, верхнюю и нижнюю производные
от функции V в силу включения (2) можно определить как sup
и inf
правой части (4) по всем
. Тогда теоремы 1и 2 сохраняются.
Пример 3.
Если
, то нельзя пренебрегать отысканием dV
/
dt
на линиях поверхностях разрыва функции f
(
t
,
x
) даже в случае доопределения А.


Но этого недостаточно для применения теоремы 1, т.к. производные
разрывны на осях координат, т.е. там же, где разрывны правые части системы. На оси Ox при доопределении А:


, и условия теоремы 1 не выполнены. Тот же результат получается по формуле (4) при h=0:
.
Т.к. на оси Ox имеем
, то решения по оси удаляются от точки (0, 0) со скоростью 1 и решение
неустойчиво
§2. Некоторые сведения теории дифференциальных
уравнений
с
импульсным воздействием.
При математическом описании эволюции процессов с кратковременными возмущениями часто длительностью возмущения пренебрегают и считают, что эти возмущения носят “мгновенный” характер. Такая идеализация приводит к необходимости исследовать динамические системы с разрывными траекториями или, как их еще называют, диф. уравн. С импульсным воздействием.
Определение таких систем приведено [12], они задаются
а) системой диф. уравн.
(5)
б) некоторым множествам Ft, заданным в расширенном фазовом пространстве,
в) оператором At, заданным на множестве Ft и отображающем его на множество
.
Сам процесс происходит следующим образом: изображающая точка
, выйдя из точки (t
0
,
x
0
), движется по кривой {t
,
x
(
t
)}, определяемой решением x
(
t
) =
x
(
t
,
t
0
,
x
0
) системы уравнений (1). Движение по этой кривой осуществляется до момента времени t
=
t
1
>
t
0, в который точка (t
,
x
(
t
)), встречается с множеством Ft (попадает в точку множества Ft). В момент времени t
=
t
1 точка Pt “мгновенно” перебрасывается оператором At из положения
в положение
и движется дальше по кривой {t
,
x
(
t
)}, которая описывается решением
системы уравнений (1). Движение по указанной кривой происходит до момента времени t
2
>
t
1, в которой точка Pt снова встречается с множеством Ft. В этот момент под действием оператора At точка Pt
мгновенно перескакивает из положения
в
и движется дальше по кривой {t
,
x
(
t
)}, описываемой решением
системы уравнений (1), до новой встречи с множеством Ft и т.д.
Совокупность соотношений а) – в) называют системой диф. уравнений с импульсным воздействием.
Кривую {t
,
x
(
t
)} описываемую точкой Pt
называют интегральной кривой, а функцию x
=
x
(
t
), которая задает эту кривую – решением системы (1).
Систему диф. уравнений с импульсным воздействием (совокупность соотношений а)- в)) можно записать в более компактной форме:
(6)
Т.о., решение системы уравнений (2)
- это функция, удовлетворяющая уравнению (5) вне множества Ft и имеющая разрывы первого рода в точках Ft со скачками

- состояние системы до и после скачка в момент времени t
1
.
В зависимости от характера импульсного воздействия выделяют несколько видов таких уравнений. Рассмотрим систему с нефиксированными моментами импульсного воздействия, т.е. системы, подвергающиеся импульсному воздействию в момент попадания изображающей точки Pt на заданные поверхности
расширенного фазового пространства. Тогда система (6) примет вид:
(7)
Устойчивость в системах с нефиксированными моментами
импульсного воздействия.
Определение 2.
Решение x
(
t
) системы уравнений (7), определенное при всех t
≥
t
0, называется устойчивым по Ляпунову, если для произвольных чисел
и
существует такое число
, что для любого другого решения y
(
t
) уравнений (7) из того
, что следует, что
при всех t
≥
t
0 таких, что
, где
– моменты пересечения интегральной кривой решения x
(
t) поверхностей
.
Определение 3.
Решение x
(
t
) системы уравнений (7) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво в определенном выше смысле и если можно указать такое число
, что для любого другого решения этой системы уравнений, удовлетворяющего неравенству
имеет место предельное равенство:
.
Вопрос исследования устойчивости некоторого решения уравнения (7), как и в случае обыкновенных диф. уравнений, можно свести к вопросу исследования устойчивости тривиального решения некоторой новой системы уравнений с импульсным воздействием. Эта процедура описана в [12], в результате которой получим систему диф. уравн. с импульсным воздействием:
(8)
где
т.е. решение x
=
x
(
t
) системы (7) перешло в положение равновесия системы (8).
Вопрос устойчивости нулевого решения системы (8) можно решить с помощью прямого метода Ляпунова (метод функций Ляпунова).
Теорема 3.
Если существует положительно-определенная функция, удовлетворяющая в некоторой области D
неравенствами
(9)
то тривиальное решение системы уравнений (8) устойчиво.
Если же вместо второго из неравенств (9) потребовать, чтобы выполнялось неравенство

для всех
- непрерывная при
функция,
, то нулевое решение уравнений (8) асимптотически устойчиво.
Пример 4.
Исследовать вопрос устойчивости нижнего положения маятника, подверженного импульсному воздействию, динамика которого описывается уравнениями:
,

В качестве функции Ляпунова возьмем полную механическую энергию невозмущенного маятника
находим
.
Независимо от свойств поверхностей
выполняются условия теоремы (3), следовательно, нулевое решение исходной системы уравнений устойчиво.
§3. Связь рассматриваемых теорий.
Теория систем с разрывной правой частью может быть сведена к теории диф. уравнений с импульсными возмущениями, а именно к системам с нефиксированными моментами импульсного воздействия, определение которых было дано в §2.
Пусть задана система
(10)
где функция f
(
t
,
x
) претерпевает разрыв на поверхности S
:
S
(
t
,
x
)=0. Тогда множества
, фигурирующие в определении импульсной системы, для системы (10) примут вид:

где оператор
действует по закону

Если S
(
t
,
x
)=0 разрешимо относительно t:
, то систему (10) можно записать в виде:
(11)
Второе уравнение системы (11) дает возможность решению уравнения (10) сойти с поверхности разрыва. Т.о., диф. уравнения с разрывной правой частью можно подвергнуть импульсному воздействию в момент прохождения изображающей точки поверхности разрыва.
Решение X
(
t
) системы (10), сведенной к системе (11) будет строиться следующим образом. Пусть задано начальное условие
. Тогда для
функция X
(
t
) совпадает с решением системы (10) при условии
Для
функция X
(
t
) совпадает с решением системы (10) при условии
; для
– с решением системы (10) при условии
и т.д. Каждое решение x
(
t
) будет представлять собой непрерывную функцию.
Но указанный способ построения решения системы (10) не позволяет доопределить f
(
t
,
x
) на поверхности разрыва (как при доопределениях А, Б, В), так как осуществляется перескок
через поверхность
. В этом случае система (10) сводится к диф. включению
(12)
где М – множество точек пересечения интегральной кривой поверхностей разрыва
в моменты
.
Тогда решение x
(
t
) (
) диф. включения (12) устойчиво по Ляпунову, если для произвольных чисел
существует такое число
, что для любого другого решения
включения (12) из того, что
следует, что
при всех
таких, что
, где
– моменты пересечения интегральной кривой решения x
(
t
) поверхностей
.
Теорема 4. Достаточное условие отсутствия биения решений.
Пусть при
функции
2, 3,… непрерывны, а функции
удовлетворяют условию Липшица, т.е.
при всех i=1, 2, …,
,
и неравенству
.
Тогда, если число h достаточно мало, то интегральная кривая любого решения системы уравнений (8) x(t) , определенного при всех
и лежащего в области
,
пересекает каждую поверхность
только один раз.
Доказательство этой теоремы приведено в [12].
Теорема 5.
Если решение x
(
t
) включения (12), определенное при всех
устойчиво по Ляпунову, то оно является устойчивым и для системы (8). Верно и обратное.
Доказательство.
Пусть выполнены условия теоремы 4, т.е. исключим случай биения решения уравнения (8) о поверхности
.
Решение x(t)=0 включения (12) устойчиво. Докажем, что оно будет устойчивым и для системы (8).
Для диф. включения (12) существует определенно-положительная функция V(t, x), удовлетворяющая неравенству
.
При почти всех t производная
существует и удовлетворяет включению (12). При этих t существует и
,
т.е. выполнено первое неравенство теоремы 3.
Т.к.
где M – множество точек пересечения интегральной кривой поверхностей разрыва
в моменты
, то указанная функция V(t, x) , будет удовлетворять и второму неравенству :
.
Т.о., выполнены условия теоремы 3 и решение x(t)=0 системы (8) устойчиво.
Обратно доказывается аналогично.
Заключение.
В связи с теорией релейных систем, систем с переменной стуктурой, реализацией законов оптимального управления и иных разрывных систем управления изучается общая теория разрывных систем. Эта теория восходит к задачам механики, где впервые изучались системы с сухим трением в трудах П. Пенлеве (1895 г. “Лекции о трении”) и Аппеля П.
В теории систем с разрывной правой частью учитываются как инженерно-физические, так и чисто математические соображения. Эта теория обеспечивает возможность математического исследования указанных систем, т. е. включает стандартные теоремы существования решений, их проджолжимости, теоремы качественной теории. Во второй главе приведено определение решения разрывных систем А.Ф. Филиппова. Как было отмечено, это определение соответствует минимальному возможному построению множества F
(
t
,
x
) среди всех допустимых. Помимо определения Филиппова имеются и другие определения решений разрывных систем и диф. включений: Айзермана и Пятницкого [1] Викторовского [6], Матросова [8].
Теория систем с разрывными правыми частями основывается на теории дифференциальных включений, развитой Маршо и Зарембой (1934 г.), затем дополненной многочисленными авторами, в частности Важевским (1961 г.) и др. Связь этих теорий указана в §2 главы II. В третьей главе эти системы сводятся к системам дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Сформулирована и доказана теорема об устойчивости таких систем.
Литература.
1. Айзерман М. А., Пятницкий Е. С. Основы теории разрывных систем I, II. – Автоматика и телемеханика, 1974, № 7, 33-47, № 8, 39-61.
2. Алимов Ю. И. Об устойчивости в целом равновесного состояния нелинейных систем автоматического регулирования. – Известия вузов, Радиофизика, 1959, 2, № 6.
3. Андронов А. А., Витт А.А., Хайкин Р.Э. Теория колебаний. – М.: Физматгиз, 1959.
4. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. – М.: Наука, 1967.
5. Барбашин Е.А., Алимов Ю.И. Ктеории релейных дифференциальных уравнений. – Известия вузов, сер. матем., 1962, № 1, 3-13.
6. Викторовский Е.Е. Об одном обобщении понятия интегральных кривых для разрывного поля направлений. – Математический сборник, 1954, 34, № 2, 213-248.
7. Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. – М.: Наука, 1978.
8. Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями I, II. – Диф. уравн.,1967, 3, № 3, 395-409; № 5, 869-878.
9. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных коледаний. – М.: Наука, 1972.
10. Неймарк Ю.И. о скользящем режиме релейных систем автоматического регулирования. – Автоматика и телемеханика, 1957, 18, № 1.
11. Рожко В.Ф. Устойчивость по Ляпунову в разрывных динамических системах. – Диф. уравн., 1975, 11, № 6 1005-1012.
12. Самойленко А.М. Пересчук Н.А. Системы диф. уравн. с импульсным возмущением. М.: Наука, 1987.
13. Терия систем с переменной структурой / Под ред. Емельянова С. В. – М.: Наука, 1981.
14. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. – М.: Наука,1981.
15. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой. – М.: Наука, 1974.
16. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – Математический сборник, 1960, 51, № 1, 99-128.
17. Филиппов А.Ф. дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – М.: Наука, 1985.
18. Филиппов А.Ф. Система диф. уравн. с несколькими разрывными функциями. – Математические заметки, 1980, 27, № 2, 255-266.
19. Филиппов А.Ф. Устойчивость для диф. уравн. с разрывными и многозначными правыми частями. – Диф. уравн., 1979, 15, № 6, 1018-1027.
Оно применяется к уравнениям вида (6), где функция f
непрерывна по t
,
x
,
, а каждая из функций
.
Пусть
Определение 6.
Решением уравнения (6) называется решение включения
Движение по поверхности разрыва S
(
S
(
x
)=0) может происходить только со скоростью
(
t
,
x
)– пересечение множества с плоскостью, касательной к S в точке x. На рис. 4 множество
(
t
,
x
) – отрезок, являющийся пересечением этого сегмента с касательной к S
в точке x.
Если функция f
нелинейна по
(
t
,
x
) содержит более одной точки и скорость движения по S
определяется неоднозначно.
Сравнение определений.
Сравним определения А, Б, В.
Уравнение (6) можно записать в виде (1) и применить к нему определение А. Т.к. при этом множнство
Если же функция f
линейна по
,
Глава
III
Исследование устойчивости для дифференциальных
уравнений с разрывными правыми частями.
§1.Определение устойчивости. Метод функций Ляпунова.
Теория устойчивости создана в 90-х годах 19 в. А.М. Ляпуновым (в 1892 г. появилась знаменитая докторская диссертация “Общая задача об устойчивости движения”). Эта теория нашла широкое применение не только в математике, механике, технике, но и в химии, термодинамике, синергетике. Очень бльшую роль играет решение прроблемы устойчивости движения в небесной механике. На теории Ляпунова базируется современная наука о полете искусственных спутников Земли.
Определение устойчивости и асимптотической устойчивости решений диф. уравнений с непрерывной правой частью приводится, например, в [4]. Теория устойчивости движения занимается исследованием влияния возмущающих факторов на движение матариальной системы (под возмущающим фвкторами понимают силы, не учитываемые при написании движения вследствие их малости по сравнению с основными силами); устойчивость по Ляпунову – это близость законов изменения состояния во времени для невозмущенного и возмущенного движений. Сводя вопрос устойчивости невозмущенного движения к вопросу устойчивости положения равновесия, А.М. Ляпунов связывал факт устойчивости или неустойчивости с наличием функции V
(
t
, x) – функции Ляпунова, производная которой по времени, взятая согласно системе диф. уравнений, обладает определенными свойствами. Метод функций Ляпунова является одним из наиболее эффективных методов исследования систем автоматического управления. Значение этого метода далеко не исчкрпывается возможностью установления факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Но в данной работе ограничимся только этим.
Метод функций Ляпунова переносится и на случай разрывной правой части системы
Как было показано в первой главе, уравнения (1) сводятся к диф. включениям
Для диф. включений имеются два типа устойчивости: устойчивость и слабая устойчивость.
Определение 1.
Решение
Асимптотическая устойчивость и слабая асимптотическая устойчивость определяются аналогично, но с дополнительным условием
Пример 1.
=0 за конечное время, а при
Пример 2.
(
x
) – отрезок с концами kx
и mx.
При
при
при
при
Для диф. уравнений с непрерывной правой частью известны теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости [4]. В работе [17] сформулированы подобные теоремы для разрывных систем (1). Но для таких уравнений функция Ляпунова V
(
t
,
x
) может не принадлежать
Для функции
При почти всех t производная
существует
Теорема 1.
Пусть в замкнутой области D
(
,
x;
Тогда:
1) Если
2) Если, кроме того, существуют функции
Известные доказательства этих утверждений для диф. уравнений [4] остаются справедливыми и для диф. включений; при этом для оценки сверху функции V
(
t
,
x
(
t
)) используют соотношение (3).
Теорема 2.
Если выполнены условия теоремы 1, но с заменой
Доказательство теоремы 2 приведено в [17].
Рассмотрим теперь случай, когда функция Ляпунова
(
t
), значит и для любого решения, сложная функция V
(
t
,
x
(
t
)) абсолютно непрерывна и почти всюду имеет производную по t. Однако решение может в течение некоторого промежутка времени идти по линии или поверхности, на которой grad
V не существует, и производную dV
/
dt, нельзя, как в случае
Для
В случае функции V
(
t
,
x
), удовлетворяющей условию Липшица, верхнюю и нижнюю производные
и inf
правой части (4) по всем
Пример 3.
Если
/
dt
на линиях поверхностях разрыва функции f
(
t
,
x
) даже в случае доопределения А.
Но этого недостаточно для применения теоремы 1, т.к. производные
§2. Некоторые сведения теории дифференциальных
уравнений
с
импульсным воздействием.
При математическом описании эволюции процессов с кратковременными возмущениями часто длительностью возмущения пренебрегают и считают, что эти возмущения носят “мгновенный” характер. Такая идеализация приводит к необходимости исследовать динамические системы с разрывными траекториями или, как их еще называют, диф. уравн. С импульсным воздействием.
Определение таких систем приведено [12], они задаются
а) системой диф. уравн.
б) некоторым множествам Ft, заданным в расширенном фазовом пространстве,
в) оператором At, заданным на множестве Ft и отображающем его на множество
Сам процесс происходит следующим образом: изображающая точка
0
,
x
0
), движется по кривой {t
,
x
(
t
)}, определяемой решением x
(
t
) =
x
(
t
,
t
0
,
x
0
) системы уравнений (1). Движение по этой кривой осуществляется до момента времени t
=
t
1
>
t
0, в который точка (t
,
x
(
t
)), встречается с множеством Ft (попадает в точку множества Ft). В момент времени t
=
t
1 точка Pt “мгновенно” перебрасывается оператором At из положения
,
x
(
t
)}, которая описывается решением
2
>
t
1, в которой точка Pt снова встречается с множеством Ft. В этот момент под действием оператора At точка Pt
мгновенно перескакивает из положения
,
x
(
t
)}, описываемой решением
Совокупность соотношений а) – в) называют системой диф. уравнений с импульсным воздействием.
Кривую {t
,
x
(
t
)} описываемую точкой Pt
называют интегральной кривой, а функцию x
=
x
(
t
), которая задает эту кривую – решением системы (1).
Систему диф. уравнений с импульсным воздействием (совокупность соотношений а)- в)) можно записать в более компактной форме:
Т.о., решение системы уравнений (2)
1
.
В зависимости от характера импульсного воздействия выделяют несколько видов таких уравнений. Рассмотрим систему с нефиксированными моментами импульсного воздействия, т.е. системы, подвергающиеся импульсному воздействию в момент попадания изображающей точки Pt на заданные поверхности
Устойчивость в системах с нефиксированными моментами
импульсного воздействия.
Определение 2.
Решение x
(
t
) системы уравнений (7), определенное при всех t
≥
t
0, называется устойчивым по Ляпунову, если для произвольных чисел
(
t
) уравнений (7) из того
≥
t
0 таких, что
(
t) поверхностей
Определение 3.
Решение x
(
t
) системы уравнений (7) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво в определенном выше смысле и если можно указать такое число
Вопрос исследования устойчивости некоторого решения уравнения (7), как и в случае обыкновенных диф. уравнений, можно свести к вопросу исследования устойчивости тривиального решения некоторой новой системы уравнений с импульсным воздействием. Эта процедура описана в [12], в результате которой получим систему диф. уравн. с импульсным воздействием:
где
=
x
(
t
) системы (7) перешло в положение равновесия системы (8).
Вопрос устойчивости нулевого решения системы (8) можно решить с помощью прямого метода Ляпунова (метод функций Ляпунова).
Теорема 3.
Если существует положительно-определенная функция, удовлетворяющая в некоторой области D
неравенствами
то тривиальное решение системы уравнений (8) устойчиво.
Если же вместо второго из неравенств (9) потребовать, чтобы выполнялось неравенство
для всех
Пример 4.
Исследовать вопрос устойчивости нижнего положения маятника, подверженного импульсному воздействию, динамика которого описывается уравнениями:
В качестве функции Ляпунова возьмем полную механическую энергию невозмущенного маятника
Независимо от свойств поверхностей
§3. Связь рассматриваемых теорий.
Теория систем с разрывной правой частью может быть сведена к теории диф. уравнений с импульсными возмущениями, а именно к системам с нефиксированными моментами импульсного воздействия, определение которых было дано в §2.
Пусть задана система
где функция f
(
t
,
x
) претерпевает разрыв на поверхности S
:
S
(
t
,
x
)=0. Тогда множества
где оператор
Если S
(
t
,
x
)=0 разрешимо относительно t:
Второе уравнение системы (11) дает возможность решению уравнения (10) сойти с поверхности разрыва. Т.о., диф. уравнения с разрывной правой частью можно подвергнуть импульсному воздействию в момент прохождения изображающей точки поверхности разрыва.
Решение X
(
t
) системы (10), сведенной к системе (11) будет строиться следующим образом. Пусть задано начальное условие
(
t
) совпадает с решением системы (10) при условии
(
t
) совпадает с решением системы (10) при условии
(
t
) будет представлять собой непрерывную функцию.
Но указанный способ построения решения системы (10) не позволяет доопределить f
(
t
,
x
) на поверхности разрыва (как при доопределениях А, Б, В), так как осуществляется перескок
где М – множество точек пересечения интегральной кривой поверхностей разрыва
Тогда решение x
(
t
) (
(
t
) поверхностей
Теорема 4. Достаточное условие отсутствия биения решений.
Пусть при
и неравенству
Тогда, если число h достаточно мало, то интегральная кривая любого решения системы уравнений (8) x(t) , определенного при всех
пересекает каждую поверхность
Доказательство этой теоремы приведено в [12].
Теорема 5.
Если решение x
(
t
) включения (12), определенное при всех
Доказательство.
Пусть выполнены условия теоремы 4, т.е. исключим случай биения решения уравнения (8) о поверхности
Решение x(t)=0 включения (12) устойчиво. Докажем, что оно будет устойчивым и для системы (8).
Для диф. включения (12) существует определенно-положительная функция V(t, x), удовлетворяющая неравенству
При почти всех t производная
т.е. выполнено первое неравенство теоремы 3.
Т.к.
Т.о., выполнены условия теоремы 3 и решение x(t)=0 системы (8) устойчиво.
Обратно доказывается аналогично.
Заключение.
В связи с теорией релейных систем, систем с переменной стуктурой, реализацией законов оптимального управления и иных разрывных систем управления изучается общая теория разрывных систем. Эта теория восходит к задачам механики, где впервые изучались системы с сухим трением в трудах П. Пенлеве (1895 г. “Лекции о трении”) и Аппеля П.
В теории систем с разрывной правой частью учитываются как инженерно-физические, так и чисто математические соображения. Эта теория обеспечивает возможность математического исследования указанных систем, т. е. включает стандартные теоремы существования решений, их проджолжимости, теоремы качественной теории. Во второй главе приведено определение решения разрывных систем А.Ф. Филиппова. Как было отмечено, это определение соответствует минимальному возможному построению множества F
(
t
,
x
) среди всех допустимых. Помимо определения Филиппова имеются и другие определения решений разрывных систем и диф. включений: Айзермана и Пятницкого [1] Викторовского [6], Матросова [8].
Теория систем с разрывными правыми частями основывается на теории дифференциальных включений, развитой Маршо и Зарембой (1934 г.), затем дополненной многочисленными авторами, в частности Важевским (1961 г.) и др. Связь этих теорий указана в §2 главы II. В третьей главе эти системы сводятся к системам дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Сформулирована и доказана теорема об устойчивости таких систем.
Литература.
1. Айзерман М. А., Пятницкий Е. С. Основы теории разрывных систем I, II. – Автоматика и телемеханика, 1974, № 7, 33-47, № 8, 39-61.
2. Алимов Ю. И. Об устойчивости в целом равновесного состояния нелинейных систем автоматического регулирования. – Известия вузов, Радиофизика, 1959, 2, № 6.
3. Андронов А. А., Витт А.А., Хайкин Р.Э. Теория колебаний. – М.: Физматгиз, 1959.
4. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. – М.: Наука, 1967.
5. Барбашин Е.А., Алимов Ю.И. Ктеории релейных дифференциальных уравнений. – Известия вузов, сер. матем., 1962, № 1, 3-13.
6. Викторовский Е.Е. Об одном обобщении понятия интегральных кривых для разрывного поля направлений. – Математический сборник, 1954, 34, № 2, 213-248.
7. Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. – М.: Наука, 1978.
8. Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями I, II. – Диф. уравн.,1967, 3, № 3, 395-409; № 5, 869-878.
9. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных коледаний. – М.: Наука, 1972.
10. Неймарк Ю.И. о скользящем режиме релейных систем автоматического регулирования. – Автоматика и телемеханика, 1957, 18, № 1.
11. Рожко В.Ф. Устойчивость по Ляпунову в разрывных динамических системах. – Диф. уравн., 1975, 11, № 6 1005-1012.
12. Самойленко А.М. Пересчук Н.А. Системы диф. уравн. с импульсным возмущением. М.: Наука, 1987.
13. Терия систем с переменной структурой / Под ред. Емельянова С. В. – М.: Наука, 1981.
14. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. – М.: Наука,1981.
15. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой. – М.: Наука, 1974.
16. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – Математический сборник, 1960, 51, № 1, 99-128.
17. Филиппов А.Ф. дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – М.: Наука, 1985.
18. Филиппов А.Ф. Система диф. уравн. с несколькими разрывными функциями. – Математические заметки, 1980, 27, № 2, 255-266.
19. Филиппов А.Ф. Устойчивость для диф. уравн. с разрывными и многозначными правыми частями. – Диф. уравн., 1979, 15, № 6, 1018-1027.
[d1]