Реферат Интеграл Пуассона
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Интеграл Пуассона.
Пусть ¦(x) , g(x) , xÎR1 –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f
*
g(x) будем обозначать свертку
g(x) =
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p] и
cn ( f*g ) = cn ( f )× cn ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )
где { cn ( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
cn =
Пусть ¦ Î L1 (-p, p ) . Рассмотрим при 0 £ r < 1 функцию
¦r ( x ) =
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦r (х) равны
cn ( fr ) = cn × r| n | , n = 0 , ±1, ±2, ¼ , а это согласно (1) значит, что ¦r ( x ) можно представить в виде свертки :
¦r ( x ) =
где
Функция двух переменных Рr (t) , 0 £ r <1 , t Î [ -p, p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .
Следовательно,
Pr ( t ) =
Если ¦Î L1 ( -p, p ) - действительная функция , то , учитывая , что
c-n ( f ) = `cn( f ) , n = 0, ±1, ±2,¼, из соотношения (2) мы получим :
fr ( x ) =
=
где
F ( z ) = c0 ( f ) + 2
- аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦Î L1( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
u ( z ) = ¦r (eix ) , z = reix , 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
v (z) = Im F (z) =
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге | z | < 1+e ( e>0 ) функция и ¦ (x) = u (eix) , xÎ[ -p, p ] . Тогда
u (z) =
Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
Но тогда
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦r (x) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а)
б)
в) для любого d>0
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦ (х) º 1.
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции
если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то
Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
Для любой функции
Следовательно,
Для данного e > 0 найдем d = d (e) такое, что
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
Пусть функция
где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение 2.
Оператор
Теорема 2 (Фату).
Пусть
Доказательство.
Покажем, что для
где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) [*]. Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку
(К - абсолютная константа).
Пусть
Тогда для
Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора
Согласно (13) при xÎ (-2p,2p)
Учитывая , что по теореме 1
Из последней оценки получим
Теорема 2 доказана.
Замечание.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p, p]
[*] Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок [-2p,2p] (т.е.
f (x) = f (y) , если x,y Î [-2p,2p] и x-y=2p) и f (x) = 0 , если |x| > 2p .
