Реферат Иррациональные уравнения и неравенства

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 17.2.2025

МОУ СОШ «УК №20»

Иррациональные

уравнения и неравенства

                                          реферат    по    алгебре

                                                           ученика 11 «В» класса

                                                           Торосяна   Левона


                                                  Руководитель:

                                                      Олейникова Р. М.
                               Сочи 2002г.


                                   Содержание.
I.                 Введение
II.             Основные правила
III.         Иррациональные уравнения:

·       Решение иррациональных уравнений стандартного вида.

·       Решение иррациональных уравнений смешанного вида.

·       Решение сложных иррациональных уравнений.



IV.         Иррациональные неравенства:

·       Решение иррациональных неравенств стандартного вида.

·       Решение нестандартных иррациональных неравенств.

·       Решение иррациональных неравенств смешанного вида.



V.             Вывод
VI.         Список литературы
I
. Введение
Я, Торосян Левон, ученик 11 «В» класса, выполнил реферат по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства».

Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают.

Я самостоятельно изучил правила решения иррациональных уравнений и неравенств.

В реферате показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому реферат можно использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также рефератом можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.

II
. Иррациональные уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.

Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим правилом:

Решение иррациональных уравнений стандартного вида:

а) Решить уравнение

= x – 2,

Решение.

= x – 2,

2x – 1 = x² – 4x + 4, Проверка:

x² – 6x + 5 = 0, х = 5,

= 5 – 2,

x₁ = 5, 3 = 3

x₂ = 1 – постор. корень х = 1,

1 – 2 ,

Ответ: 5 пост. к. 1

-1.
б) Решить уравнение

= х + 4,

Решение.

= х + 4,

Ответ: -1
в) Решить уравнение х – 1 =

Решение.

х – 1 =

х³ – 3х² + 3х – 1 = х² – х – 1,

х³ – 4х² + 4х = 0,

х(х² – 4х + 4) = 0,

х = 0                или          х² – 4х + 4 = 0,

                                         (х – 2)² = 0,

                                          х = 2

Ответ: 0; 2.
г) Решить уравнение х –

+ 4 = 0,

Решение.

х –

+ 4 = 0,

х + 4 =

, Проверка:

х² + 8х + 16 = 25х – 50, х = 11, 11 –

+ 4 = 0,

х² – 17х + 66 = 0, 0 = 0

х₁ = 11, х = 6, 6 –

+ 4 = 0,

х₂ = 6.                                                                                                          0 = 0.

Ответ: 6; 11.
            Решение иррациональных уравнений смешанного вида:
·       Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:

а) Решить уравнение

Решение.

_{– +}

x
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

или

Ответ:

б) Решить уравнение

Решение.

_{– +}

^x

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

или

Ответ:

.
· Иррациональные показательные уравнения:
а) Решить уравнение

Решение.

ОДЗ:

Пусть

= t, t > 0

Сделаем обратную замену:

= 1/49, или

= 7,

– (ур-ние не имеет решений) x = 3.

Ответ: 3
б) Решить уравнение

Решение.
Приведем все степени к одному основанию 2:

данное уравнение равносильно уравнению:

Ответ: 0,7
· Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:

Решить уравнение

Решение.

возведем обе части уравнения в квадрат

3x – 5 – 2

2x – 2 = 2

x –1 =

Проверка:

x

x = 3,

1 = 1.

x = 1,75

Ответ: 3.
· Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени:

Решить уравнение

Решение.

возведем обе части уравнения в куб

но

, значит:

возведем обе части уравнения в куб

(25 + x)(3 – x) = 27,

Ответ: –24; 2.
· Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:
а) Решить уравнение

Решение.

Пусть

= t, тогда

, где t > 0

t –

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части в квадрат

Проверка: x = 2,5

Ответ: 2,5.
б) Решить уравнение

Решение.

Пусть

= t, значит

, где t > 0

t

+ t – 6 = 0,

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень

x

+ 8 = 16, Проверка:

x

= 8, x = 2,

x = 2. 6 = 6

Ответ: 2.
в) Решить уравнение

Решение.

Пусть

= t, где t > 0

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части уравнения в квадрат

Проверка:

Ответ: –5; 2.
             Решение сложных

иррациональных уравнений:
·       Иррациональное   уравнение, содержащее   двойную иррациональность:

Решить уравнение

Решение.

возведем обе части уравнения в куб

возведем обе части уравнения в квадрат

Пусть

= t

t ²
–
11t
+
10 = 0,

Сделаем обратную замену: Проверка:

= 10, или

= 1, x =

x =

-пост. корень

Ответ: 1. x = 1,

                                                                                                                                1 = 1

·       Иррациональные логарифмические уравнения:

а) Решить уравнение lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg

Решение.

lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg

,

lg(3

= lg

,

Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

Ответ: 32,75
б) Решить уравнение

Решение.

Ответ:

; – 2; 3.

IV
. Иррациональные неравенства

Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит под знак корня (радикала).

Иррациональное неравенство вида

равносильно системе неравенств:

Иррациональное неравенство вида

равносильно совокуп-ности двух систем неравенств:

Решение иррациональных неравенств стандартного вида:
а) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

_{+ – +}

Ответ: [1; 2).

1 3 x

б) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:

Ответ:

в) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ: нет решений

Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:
а) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

б) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

· Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при умножении и делении:
а) Решить неравенство

Решение.

Учитывая то, что

и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

б) Решить неравенство (2x – 5)

Решение.

(2x – 5)

Учитывая то, что

и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

· Решение иррациональных неравенств способом группировки:

Решить неравенство

Решение.

сгруппируем по два слагаемых

вынесем общий множитель за скобку

учитывая, что

> 0 и правило знаков при умножении данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

( 0; 1 )
· Иррациональное неравенство, содержащее два знака иррациональности:
Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

· Решение иррациональных неравенств заменой:

Решить неравенство

Решение.

Пусть

= t, тогда

, t > 0

Сделаем обратную замену:

возведем в квадрат обе части неравенства

Ответ:

Решение иррациональных неравенств смешанного вида:
· Иррациональные показательные неравенства:

а) Решить неравенство

Решение.

т.к. y = 0,8^t

, то

0,5x(x – 3) < 2,

0,5x² – 1,5x – 2 < 0,

x² – 3x – 4 < 0,

f(x) = x² – 3x – 4,

ОДЗ

, _{+ – +}

Нули функции: x₁ = 4; x₂ = – 1. _{–1 4} x
Ответ: х

б) Решить неравенство 4

– 2

< 2

– 32

Решение.

4

– 2

< 2

– 32, ОДЗ: x
> 0

2

– 2

2 < 2

2⁴ – 2⁵, выполним группировку слагаемых

2

– 2) – 2⁴(2

–2) < 0,

(2

– 2)

– 2⁴) < 0, учитывая правило знаков и ОДЗ данное неравенство равносильно 2-м системам:

или

т.к. y = 2^t

, то

т.к. y = 2^t

, то

Ответ: х
· Решение иррациональных логарифмических неравенств:

Решить неравенство

Решение.

уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств

Ответ:

V
.

Вывод
Реферат помог мне научиться решать иррациональные уравнения и неравенства следующих типов: стандартные, показательные, содержащие знак модуля, логарифмические, повышенного уровня.

Примеры взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника задач по математике под редакцией М.И. Сканави.

Этот материал может быть интересен и полезен выпуск – никам школ и абитуриентам технических вузов.

VI.
Список литературы
1)   Алгебра и начала   анализа.   Под редакцией                        А.Н. Колмогорова

2)   3000 конкурсных задач по математике. Авторы:             Е.Д. Куланин, В.П. Норин

3)   Справочные материалы по математике. Авторы:                   В.А. Гусев, А.Г. Мордкович

4)   Сборник задач по математике. Под редакцией              М.И. Сканави

5)   Справочный материал

Bukvasha