ВВЕДЕНИЕ

Дипломная работа в целом посвящена методам решения экстремаль­ных задач. Причем более подробно изложены те классы экстремальных за­дач, которые не изучаются ни в школьном курсе, ни в педвузовском курсе математики. Однако основная идея их решения лежит на основе построе­ния математических моделей экономических задач и их решения.

В первой части дипломной работы рассмотрены простейшие задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения, которые решаются элементарным способом - на основе известных неравенств: среднее ариф­метическое не меньше среднего геометрического. В случае равенства сум­ма принимает минимальное значение, а произведение достигает макси­мального. Рассмотрены экстремальные значения квадратного трехчлена, а также решение экстремальных задач с применением производной.

Далее рассматриваются основные понятия о задачах математическо­го программирования: транспортная задача линейного программирования;

задача о рационе; задача об оптимальном использовании сырья; рассмот­рены задачи нелинейного программирования (случай нелинейной целевой функции; случай нелинейной целевой функции и нелинейной системы ограничений).

Во второй части приводятся основные понятия о краевых задачах, примеры аналитического решения краевых задач, приближенный метод решения. Приводится сходящийся алгоритм для линейных краевых задач. На основе этого алгоритма при помощи ЭВМ решены цикл различных краевых задач; численные результаты приведены в приложениях.

Третья часть посвящена'одномерным вариационным задачам и мето­дам их решения.

Преимущество данной работы в методическом плане заключается в том, что вариационная задача, в частном случае, может быть сведена к обычной задаче на отыскание экстремума функции одной переменной, а поэтому позволяет ввести понятие вариационной задачи уже в школьном курсе в классах с углубленным изучением- математики, как новый класс экстремальных задач.

Далее в работе приводится вывод уравнений Эйлера-Лагранжа. На их основе рассмотрены примеры аналитического решения вариационной за­дачи. Получен алгоритм решения линейных вариационных задач на основе метода конечных разностей, которая не решается аналитическими приема­ми. На основе этого алгоритма на ЭВМ решены ряд задач, численные ре­зультаты приведены в приложениях.

Другой метод решения вариационных задач - метод Ритца вводится на простейших примерах, а затем обобщается. Так как оценка точности ме­тода Ритца не является тривиальной задачей, то сравнительный анализ численных результатов весьма актуален.

Решение рассмотренных задач методом Ритца и другими приемами, сравнительный анализ результатов показывает хорошую достоверность этого метода уже в первом приближении.

В заключении приводится одна новая модификация метода Ритца, при помощи которой вариационная задача сводится к достаточно простой задаче отыскания экстремума функции одной переменной. При этом про­цедура нахождения корня нелинейного уравнения выполнима лишь при­ближенными методами. Сравнительный анализ численных результатов по­казывает надежность метода. Основная ценность этой модификации в ре­шении существенно нелинейных задач.

В конце третьей части этой работы приводится идея обобщения рас­смотренных задач на двумерный случай и методом Ритца решается дву­мерная задача.

I.
ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ

1.1. Определение экстремума элементарным способом

Во многих учебных пособиях для 7-х и 8-х классов встречаются не­равенства, связывающие среднее арифметическое и геометрическое:

^ ^

С-г
                                    
I

где среднее арифметическое больше или равно среднего геометриче­ского, что очевидно:

°^-^^Г-=? а^г 2.1/ЙГ»;> ({&')^({Г)^ г^\1аГ^ {fS
-
fT
)\0

Причем равенство возможно только при ft=6. При помощи этого нера­венства решаются задачи на экстремум:

1) Положительное числоД представить в виде суммы положительных слагаемых х и^-^так, чтобы их произведение х-(/^-х) было наибольшим.

Решение: Найти х?о (/Ьх^при   гл-сх-х Е Х (А-У)'3 __    о Пусть о-=Х и &=/4-х. Знаем, что ^^clx (a-5J-w-axV'aS = ^а——

При 0-^0

т.е. ?< = А-У — Х= ^/^

2) Найти прямоугольник, имеющий данный периметр Р и наиболь­шую площадь. Пусть о. и ^ - стороны прямбугольника, тогда .?= 2-(o-t-e) . Площадь ^а-с' принимает максимальное значение как произведение двух положительных чисел при (Х-^о. Тогда J?=<?fci<-a,)^a=^, искомый прямо­угольник будет квадратом со сторонами  а =- -Р/^

3) Положительное число л представить в виде произведения поло­жительных множителей X и С^/у)так, чтобы их сумма была наименьшей.

Речение • /-Ссихт-сх. х ^al<- m-t,n, f х+ ух J . Эше-тб cl
^ X,

g= ^узс •,   ^и-^ (Cl+^)= 2--SS
'.

при <Z=6 ,т.е. при х^ /у. -^ X ^Р ^ ^⁼ ip

Значит      ^             —    р  -     t-7 ^ L Х+ ^--1 - ^^ Г -/Р^- ^ J ^. JP⁷

4) Найти минимальное значение функции ^t/ = Х + /X   , т.е. сум­мы   А-^- /^   ( Х 70^)

m-Lrb ( х -/- ^< ^ 2 / Х-^( = ^ или при   Л = ^ ^ ^ ⁼^ тогда                   .          /

г^п.  (Х^- Ух) =- /^ // -^

5) Найти при УЮ ,
CL70,
o-70 наименьшее значение дроби

77
      i (ol-i-x)c 6+
Х
-}

^        Р                                         
f
)

Решение-
iQ
^
Lli
&
tl
) = ^Q
10
- ⁴" ^y +-
cl
+
o если сумма У '      ^{у        х}

CL 4-6      .-                        '                                    /- /-

•—.-— ^{+ х}      принимает наименьшее значение и дробь будет наименьшей, т.е. при   а,' & ^ у ^ у,² ^
cl-
u ^' Х^УЛ-о

•
(о-^)^) ^х (а^ {лУ ) ( & г /аТ) /_ /^,2 ^     ^—— -- ————^у————— -(/^Ч&;

Итак, мы привели задачи, для решения которых использовали нера­венство Коши для двумерного случая. Переходим к рассмотрению этой за­дачи в общем виде.

1.2. Соотношение между средними величинами. Определение экстремума суммы и произведения из неравенства Коши

Пусть имеется несколько неотрицательных чисел Ct^
CLs.,, .., 0^. . Будем считать, что они пронумерованы в порядке возрастания, т.е. О/ ^О-л. ^ • ^ ^л- • Средней величиной для этих чисел называется всякое число О. , удовлетворяющее неравенствам  и/ ^ й- ^ 0^    • Вообще говоря, средних величин имеется сколько угодно. Мы рассмотрим четыре средних величины, наиболее употребительные в математике:

1. Среднее арифметическое: /
U = -°-^ ^ах- ^ •" ^{+ л>\}-        0)

~
t
-
^L
<
                            П-

3. Среднее гармоническое: ^ = ^ ^^..^ Уси     ⁽³⁾

4. Среднее квадратичное:    /Ц   -: \ О-^-ь О-а- ⁺^•• -^ ^         (4) ^   v          п-

Наша задача состоит из двух частей:

а) доказать, что числа    А/г, Л. ^/ -^ -действительно средние величины для   СЬ, О-а., - •-, 0^-   ,

б) установить неравенства между ними.

В выражении (1) заменить все  йс ( ^{L r /}/ ^ • -, ^п-)   самым наи­меньшим из них   Л< ; получим М^ ^ Д< . В выражении (1) заменим все  СШ  наибольшим из них OLr^ ; получим -/У/ ^l^
Cin. .

Итак:

Аналогично доказываем неравенства:

а/ ^Н^ ^ (^ , а,^ ^ ^ а^ , а< ^ У^ ^ ^ .

Справедливы следующие неравенства:

^ ^ ^-^. ^-л^

^ ^УЧ^ - ^а/-с^-... •а^ '^ q^^^-^
q^ ^ -

п-

и причем неравенство возможно только при (
Xt •= 0-
f. ^... ^
CU^. В случае  ^-^2   - {07~а! ^ ^ ^^g2- .

Мы уже это доказали, с общим доказательством можно ознакомиться по книге.   Там же приводится доказательство

Я^ ^УЧ.2 ,   -Л^ ^-^

1.Если г\ = Ct-
f ^-Ол-^-...+• ftn. , то максимальное значение О^-О.г,--^ достигается при   ol< ^
CLa. ^s.. ^ ^. ⁼ ^ /^ ,

^(a,.cu-..-^)-^-^-...-^A-W.

2. Если   Р= ^< • ds.' •.. ' Л^ , то минимальное значение (^а^ ^<^^-" ^^'-у достигается при   CUf Ол^'-- =" <2и. '= ^УР,

r^^ fo/+C?^+,„^Q^^ /Z-'lfP¹.

Рассмотрим частную, но практически важную задачу. Задача 1

Найти прямоугольный параллелепипед с данным объемом \/~, чтобы сумма его изменений была наименьшей. Дано: а-гО^-й^^ У   _^ .найти  min. (
Qfi-
Qii-
Cts ) При   СИ ⁼ 0^ - 0-5 ⁼ v^

rvuLn, ^С?/-ка,1+-^).=3' v
\Г    , т.е. ребра куба равны v Г .

Более подробное изложение приложений неравенств к элементарно­му определению экстремумов более подробно изложено в книгах .

1.3. Об экстремальных значениях квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен ^-=-а-х. +6-
Jc.-
f-
c , а. ^ о, представим в виде: -У ^ а ( х-
f- &/2а. ) ² -
f- ( с - ё ^г/^^) Возможно 2 случая:

О- -70   и  
ol
^-
o

.

1. О. 70 , ^гъ У^ С -    ао.    ^и. ^^~°/2о. 2  clz
.
o
, л^ах ^=- С- ^y
^
ci
,    г^/усс ж ^ - %cl

Примеры:            /    9                  ,

1) ^^•^г- 6'зс -^/^^ te-з;^^ / ^•^ ^=^ ^с де^.

2) У---^^S
^-У^-2(^--%)^:
LS
/
/^^
CL
)(
У-^/Р п^с ^-Х

Рассмотрим частную задачу, которая играет ключевое значение в теории оптимизации.

Задача 2.

Даны числа   Ci^,
Ci^, ...,
Ctn.       . Найти число У такое, чтобы сумма        /      v2 /     ,0      /      ,2

^п.^ (х-а^)-(-(у-а^)-^,., ч-(^~с^)

имела наименьшее значение. S^ ^•K²-2•(Q^t-CL^-^<^)'X^(Oц
ⁱ
1-Q.^,„^ll^
)^

. ^. ( х- ^^-^) \А, ^ 'А-^^)^^^-^ rv^rv ^^А ^сс эс= ((^+(^
f-,„^
a^)/
h. .

Здесь мы рассматривали лишь простейшие примеры решения задач, с бо­лее сложными задачами можно ознакомиться по литературе.

10

1.4. К решению экстремальных задач с применением производной

Введение изучения производной в школьный курс открыло возмож­ности более глубокого изучения вопросов физики, рассмотрению приклад­ных задач. И задачи на экстремум функции начали рассматриваться с об­щей точки зрения. Например, нахождение экстремума трехчлена = а х²-/- ё х + с =T'fxJ рассматривается при помощи производной:

^= 2.
dsei-
e^0 ^ r&- -
S/2а-критическая точка, при этом если у4. (^+^)^-2
oi£>
o ^ ^ (е-(-^) = 2ае^о, п^>

г^с^ У- У (- ^/2о.)^ иначе г^гъ У=^(~ wq,) .

В пункте 28 [1] хорошо изложены правила нахождения максимальных и минимальных значений функций.

Однако при решении некоторых задач применение элементарных способов более эффективно, чем применение производной. Например, за­дача № 367 решается очень просто элементарным способом:

Данное положительное число разложить на два слагаемых так, чтобы произведение было наибольшим.

Решение: Пусть U - данное число, а X - одно из слагаемых. Из усло­вия ^а^ L X^-^J только при Y= О-- Х .находим Х= °-/
S .Об­общение этой задачи, решаемое в вузовских курсах при помощи экстрему­ма многих переменных следующее.

Задача 3. Положительно^число OL требуется разбить на П. неотри­цательных слагаемых так, чтобы и произведение было наибольшим. Если <Х данное число, то ft слагаемые будут Я?у, ,„, Д?п-/ ; Ci-( Хг^-,„ч- ^.
i). При этом произведение Лу- S?
s. •,.,' Хц^'
L О. -(х/ ч- ,„ ^ ЗСл.^ ) 3   достигает максимума при     Эрг ^ Хл = ,„ = X^.
f ^ CL ~ {'У-f -+,., -<• Хп - /)     . Отсюда у,-= Ci-
fn-()
Vf ц ^= ^/п ,т.е. все слагаемые равны ^/г. . А решение этой задачи при помощи экстремума функций нескольких переменных весьма затруднительно.

15

1.6. Экстремальные задачи в неполной средней школе

В курсе математики V - VI классов учащимся нередко приходится решать задачи, в которых допускается несколько или даже много решений, причем далеко не всегда равнозначных. В таких случаях можно ставить дополнительный вопрос: найти наиболее выгодное решение, т.е. решать экстремальные задачи. С такими задачами приходится сталкиваться при изучении следующих разделов: "Неравенства", "Площадь и периметр пря­моугольника", "Натуральные числа", "делимость натуральных чисел".

Поскольку ученики V-VI классов встречаются с двойным неравен­ством, то в этих классах методом оценки можно решать задачи на нахо­ждение наибольшего и наименьшего значения линейного выражения a. y-h^ где /ч^эе^/г (лги/?.- целые неотрицательные числа, ^г- /• п- ).

•     -'' '                                                                                                                                                                                                                  ^

Задача: Стоимость телеграммы вычисляется почтовыми работни

ками по следующему правилу: по 5 копеек за каждое слово и еще 20 копеек за отправку. Какая может быть наибольшая и наименьшая цена телеграммы, если количество слов в теле­грамме определяется решением неравенства: /^ х- ^ ^0 ?

Решение: решение сводится к нахождению наибольшего и наимень­шего значения выражения S'
x-^-20 , если //^ а? ^^ ,  л
G /М Сначала можно предложить вычислить значение выражения при несколь­ких значениях переменной, взятых из промежутка ^ ^ ^х ^ ^ . Замеча­ем, что сумма будет наибольшая, если слагаемое -Ух будет наибольшим, т.е. будет равно 5*40и наименьшим, если слагаемое .^ будет наимень­шим, т.е. будет равно 5*17.

Среди экстремальных задач геометрические задачи на вычисление площадей и периметров представляют очень большой интерес. Решение этих задач в V-VI классах методом оценки формирует первое представле­ние о максимальном произведении при постоянной сумме двух перемен­ных и о минимальной сумме при постоянном произведении.

Задача. Начертите прямоугольник, периметр которого 36 см, и вычислите его площадь.

Решение: оформим в виде таблицы:

16

периметр (см)	36	36	36	36	36	36	36	36	36
длина (см)	17	16	15	14	13	12	11	10	9
ширина (см)	1	2	3	4	5	6	7	8	9
площадь (см )	17	32	45	56	65	72	77	80	81

Вывод: SHaH6.=81cM при й.=6=.9см

Построение прямоугольников и запись решения в виде таблицы по­могает лучше видеть, как изменяется площадь прямоугольника с постоян­ной площадью.

Остановимся на решении экстремальных задач в разделе "Натуральные числа". Здесь на первом этапе решаются самые простые за­дачи, где число рассматриваемых элементов невелико. Это во многом упрощает организацию работы, требует меньше времени и создает хоро­шую возможность детям увидеть особенности применения метода перебо­ра к решению задач.

Задача. С помощью цифр 5,2 и 7 напишите все трехзначные числа, в каждом из которых все цифры различны. Среди этих чисел найдите наибольшее и наименьшее число

Решение: