Реферат Конспект по дискретной математики

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 11.11.2024

Дискретная математика

Введение
Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации…

Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок.

В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела:

1.      Язык дискретной математики;

2.      Логические функции и автоматы;

3.      Теория алгоритмов;

4.      Графы и дискретные экстремальные задачи.
Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования.
Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений.
Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.
Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.
Множества и операции над ними
Одно из основных понятий математики – множество.
Определение:

Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов.
Множество обозначают: M,N …..

m₁, m₂, m_n – элементы множества.
Символика

A
Î
M – принадлежность элемента к множеству;

А
Ï М – непринадлежность элемента к множеству.
Примеры числовых множеств:

            1,2,3,… множество натуральных чисел N;

            …,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.

множество рациональных чисел а.

            I – множество иррациональных чисел.

            R – множество действительных чисел.

            K – множество комплексных чисел.
Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В.

А
Í В – А подмножество В (нестрогое включение)
Множества А и В равны, если их элементы совпадают.
A =
B
Если А Í В и А ¹ В то А
Ì В (строгое включение).
Множества бывают конечные и бесконечные.
|М| - мощность множества (число его элементов).
Конечное множество имеет конечное количество элементов.
Пустое множество не содержит элементов: M =
Æ.
Пример: пустое множество:
1) множество действительных корней уравнения x²+1=0 пустое: M =
Æ.

2) множество D, сумма углов которого ¹ 180⁰пустое: M =
Æ.
Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным.
Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики …
Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2ⁿ.
Если

, состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным.
Множество можно задать:

1)      Списком элементов {a,b,c,d,e};

2)      Интервалом 1<x<5;

3)      Порождающей процедурой: x_k=pk sinx=0;

Операции над множествами

1) Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В называется объединенным.

А È В

Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.
Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества.

Объединение двух множеств

В

Объединение системы множеств можно записать

- объединение системы n множеств.
Пример: объединение множеств, когда они

заданы списком.
A = {a,b,d} B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h}

AUB AUB

Объединение трех множеств:

2) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из элементов принадлежащих одновременно множествам А и В.

A ÇB

Пересечение прямой и плоскости

если прямые || пл., то множество пересечений – единственная точка;

2) если прямые II пл., то M ¹Æ;

3) если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой.
Пересечение системы множеств:

4) Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В.
С = А \ В

A \ B

A
\
B

А \ В

A

A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A \ B={a}.
В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна;

2) не коммутативна, т.е. A\B ¹ B\A.
4) дополнение

E – универсальное множество.

-- дополнение
Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми.
Основные законы операций над множествами.
Некоторые свойства È, Ç похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются.

Основные свойства

1)      AUB
=
BUA
;
A
Ç
B
=
B
Ç
A
– переместительный закон объединения и пересечения.

2)
(
А
UB)UC = AU(BUC); (A
Ç
B)
Ç
C=A
Ç
(B
Ç
C) – сочетательный закон.

3)
А
U
Æ
=A, AÇÆ
=
Æ
, A \
Æ
=A, A \ A=
Æ

1,2,3 – есть аналог в алгебре.

3.а)
Æ
\
A
=
Æ
- нет аналога.

4)      Æ; E \ A =

; A \ E=Æ; AUA=A; AÇA=A; AUE=E; AÇE=A;

5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.

5)
A
Ç
(
BUC
)=(
A
Ç
B
)(
A
Ç
C
) – есть аналогичный распределительный закон Ç относительно U.

Прямые произведения и функции

Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что аÎА, bÎB.
С=AхВ, если А=В то С=А².
Прямыми «х» n множеств A₁x,…,xA_n называется множество векторов (a₁,…a_n) таких, что a₁ÎA₁,…, A_nÎA_n.
Через теорию множеств введем понятие функции.
Подмножество FÎM_x x M_y называется функцией, если для каждого элемента хÎM_x найдется yÎМ_у не более одного.

(x;y)ÎF, y=F(x).
Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна:

Определение: Между множествами M_X и M_Y установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хÎM_X соответствует 1 элемент yÎM_Yи обратное справедливо.

Пример: 1) (х,у) в круге

2) x = sinx

Rà R

Пусть даны две функции f: AàB и g: BàC, то функция y:AàC называется композицией функций f и g.
Y=f o g        o – композиция.
Способы задания функций:
1)      таблицы, определены для конечных множеств;

2)      формула;

3)      графики;
Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.
Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!
Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.
Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие.
Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2^|^A^|=2ⁿ.

Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел.
Множество N² – счетно.

Доказательство

Разобьем N² на классы

К 1-ому классу отнесем N₁ (1; 1)

1-ый элемент 1-го множества

1-ый элемент

2-го множества

Ко 2-му классу N₂ {(1;2), (2;1)}

К i-му классу N_i {(a;b)| (a+b=i+1}

Каждый класс будет содержать i пар.
Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а.
Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N².
Аналогично доказывается счетность множеств N³,…,N^k.
Теорема Кантора:

Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным.

Доказательство

Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.

}

1-я 0, a₁₁, a₁₂ ….

2-я 0, а₂₁, a₂₂ ….

………………….
Возьмем произвольное число 0,b₁,b₂,b₃

b₁ ¹ a₁₁, b₂ ¹ a₂₂, …

Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1].

Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум.
Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора.

Отношение

Пусть дано RÍMⁿ – n местное отношение на множество М.
Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а R b.
Проведем отношение на множество N:

А) отношение £ выполняется для пар (7,9) (7,7_

Б) (9,7) не выполняется.
Пример отношения на множество R
А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар (3; 4) и (2; Ö21)

Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется.
Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств.

Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств.
Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица отношения С равна

С=		1	2	3	4
	1	1	1	1	1
	2	0	1	1	1
	3	0	0	1	1
	4	0	0	0	1

101

010

001

С=

Отношение Е заданные единичной матрицей называется отношением равенства.
Отношением назовется обратным к отношением R, если a_jR_aiтогда и только тогда, когда a_jR_aiобозначают R^-1.

Свойства отношений

Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали единицу

если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное

главная диагональ содержит нули

Пр. отношнний

                                    £ рефлексивное

                                    < антирефлексивное

2.   Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы

      сумм C_ij=C_ji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное.

      Пр. Если а £ b и b £ a ==> a=b

Если дано " a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным.
Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пр. отношение равенства E
5.   Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно,

      антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка,

      если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

      Пр.      а) отношение £ u ³ для чисел отношение нестрогого

                  б) отношение < u > для чисел отношение строгого
Лекция: Элементы общей алгебры

Р. Операции на множествах
Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций W = {j₁,…, j_m}, т.е. система     А = {М₁;j₁,…, j_m} называется алгеброй. W - сигнатура.
Если M₁ÌM и если значения j( M₁), т.е. замкнуто ==> A₁₌{М₁;j₁,…, j_m} подалгебра A.

Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и

поэтому тип этой алгебры (2;2)

B=(Б;È;Ç) – булева алгебра. тип операций (2;2;1)

Р. Свойства бинарных алгебраических операций

     запись ajb.

1. (ajb)jc=aj(bjc) – ассоциативная операция

     Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно

2. ajb = bja – коммутативная операция

     Пр. +,x – коммутат.

            –; : – некоммут.

            умножение мат A×B ¹ B×A – некоммутативно.

3.   aj(bjc) = (ajb) j(ajc) –дистрибутивность слева

      (ajb)jc) = (ajс) j(bjc) –дистрибутивность справа.

      Пр. (ab)^e=a^eb^e – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа

      но не a^bc ¹ a^ba^c

Р. Гомоморфизм и изоморфизм

Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; j_I) и B=(M; j_I) – одинакового типа.

Пусть отображение Г:KàM при условии Г(j_I₎₌ j_I(Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции j_Ib А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение j_Iв В.

Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.

Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В этом случае существует обратное отображение Г^-1.

Мощности изоморфных алгебр равны.

Пр. Алгебры (Q_N_;+) и (Q_2;+) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b.

Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А автоматически …. на изоморфные алгебры.

В

A

Bukvasha