2. Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний

Способы получения уравнений состояния реальных физических объектов ничем не отличаются от способов описания этих объектов с помощью дифференциальных уравнений. Уравнения состояния записываются на основе физических законов, положенных в основу работы объекта.

Рассмотрим электромеханическую систему, состоящую из двигателя постоянного тока с независимым возбуждением, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением. Управляющим воздействием для двигателя считаем напряжение на якоре U(t), выходной координатой, угол поворота вала двигателя y(t)=j(t). Уравнение электрической цепи имеет вид

,

где  - противо ЭДС,  - угловая скорость вала двигателя,  - единый электромагнитный коэффициент.

Уравнение моментов будет иметь следующий вид
,
где , J - момент инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя, f - коэффициент вязкого трения.

Выберем следующие переменные состояния: х₁=i, x₂=w, x₃=j.

Получим

,

.

Запишем эти уравнения относительно переменных , ,

,

,

,

.

Запишем матричные уравнения

,

,

где

,             ,                    .

Рассмотрим структурную схему электромеханической системы с двигателем постоянного тока, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением.

Рис. 2.1. Структурная схема электромеханической системы с двигателем постоянного тока
Запишем уравнение состояния для механической системы, представляющей собой груз массой m, подвешенный на пружине и соединенный с гидравлическим демпфером. К грузу приложена сила P(t), выходная переменная перемещения x(t), управляющие воздействия U(t)=P(t). Уравнение движения груза получаем из уравнения равновесия сил
,
где  - инерционная сила, f - коэффициент вязкого трения,  - сила сопротивления демпфера,  - сила сопротивления пружины.

Выбираем в качестве переменных состояния x(t) и  - перемещение и скорость перемещения соответственно.



Рис. 2.2. Механическая система, включающая в своем составе пружину, массу и вязкий демпфер

Так как дифференциальное уравнение имеет второй порядок, то и количество переменных состояния будет равно двум. Исходное уравнение движения груза можно записать в виде двух уравнений

где U(t)=P(t) - управляющее воздействие.

Добавим к этим уравнениям следующее уравнение выхода
.
Эти уравнения представляют собой уравнения состояния приведенной механической системы. Запишем эти уравнения состояния в матричном виде
,

.
Запишем это уравнение в другом виде

,

,

где , , , , .

С данным уравнением состояния можно сопоставлять следующую структурную схему, где двойными линиями показаны векторные переменные.

Рис. 2.3. Структурная схема
Пример: Рассмотрим электрическую цепь и получим уравнение состояния RLC цепи

Рис. 2.4. RLC цепь
Динамическое поведение этой электрической системы полностью определяется при t³t₀, если известны начальные значения: i(t₀), e_c(t₀) и входное напряжение e(t) при t³t₀, следовательно, эта система полностью определяется переменными состояния i(t) и e_c(t). При указанных переменных состояния i(t) и e_c(t) имеем следующие уравнения


где , .
Введем следующие обозначения

В соответствии с этими обозначениями получаем


причем .

Следовательно, для электрической цепи запишем эту систему в векторно-матричном виде

,

.

Запишем матричные уравнения

,

,

где , , , .