Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Пытьев Ю.П.

Московский государственный университет, Москва, Россия

1. Введение

            Хорошо известно, что изображения одной и той же сцены, полученные при различных условиях освещения и(или) измененных[1] оптических свойствах объектов могут отличаться радикально. Это обстоятельство порождает значительные трудности в прикладных задачах анализа и интерпретации изображений реальных сцен, в которых решение должно не зависеть от условий регистрации изображений. Речь идет, например, о задачах выделения неизвестного объекта на фоне известной местности, известного объекта на произвольном фоне при неконтролируемых условиях освещения, о задаче совмещения изображенний одной и той же сцены, полученных в различных спектральных диапазонах и т.д.

            Методы морфологического анализа, разработанные более десяти лет тому назад, [1-5], для решения перечисленных задач, были в основном ориентированы для применения к черно-белым изображениям[2] и оказались достаточно эффективными, [5-11].

            Между тем, по меньшей мере два обстоятельства указывают на целесообразность разработки морфологических методов анализа цветных изображений. Во-первых, в задаче обнаружения и выделения объекта последний, как правило, прежде всего цветом отличается от фона. Во-вторых, описание формы изображения в терминах цвета позволит практически устранить эффект теней и влияние неопределенности в пространственном распределении интенсивности спектрально однородного освещения.

2. Цвет и яркость спектозонального изображения.

   Рассмотрим некоторые аспекты теории цвета так называемых многоспектральных (спектрозональных, [13]) изображений, аналогичной классической колориметрии [12]. Будем считать заданными n детекторов излучения со спектральными чувствительностями  j=1,2,...,n, где l(0,¥) - длина волны излучения. Их выходные сигналы, отвечающие потоку излучения со спектральной плотностью e(l)0, lÎ(0,¥), далее называемой излучением, образуют вектор , w(×)=. Определим суммарную спектральную чувствительность детекторов , lÎ(0,¥), и соответствующий суммарный сигнал  назовем яркостью излучения e(×). Вектор  назовем цветом излучения e(×). Если  цвет e(×) и само излучение назовем черным. Поскольку равенства  и  эквивалентны, равенство  имеет смысл и для черного цвета, причем в этом случае  - произвольный вектор, яркость оторого равна единице. Излучение e(×) назовем белым и его цвет обозначим  если отвечающие ему выходные сигналы всех детекторов одинаковы:

.

Векторы  , и   , , удобно считать элементами n-мерного линейного пространства . Векторы f_e, соответствующие различным излучениям e(×), содержатся в  конусе .  Концы векторов  содержатся в множестве , где П - гиперплоскость .

            Далее предполагается, что всякое излучение  , где E - выпуклый конус излучений, содержащий вместе с любыми излучениями  все их выпуклые комбинации (смеси)  Поэтому векторы  в  образуют выпуклый конус , а векторы .

            Если то и их аддитивная смесь . Для нее

                  .                                             (1)

Отсюда следует

            Лемма 1. Яркость f_e и цвет  j_e любой аддитивной смеси e(×) излучений e₁(×),...,e_m(
×), m=1,2,... определяются яркостями и цветами слагаемых.

            Подчеркнем, что равенство , означающее факт совпадения яркости и цвета излучений e(×) и , как правило, содержит сравнительно небольшую информацию об их относительном спектральном составе. Однако замена e(×) на  в любой аддитивной смеси излучений не изменит ни цвета, ни яркости последней.

            Далее предполагается, что вектор w(×) таков, что в E можно указать базовые излучения , для которых векторы , j=1,...,n, линейно независимы. Поскольку цвет таких излучений непременно отличен от черного, их яркости будем считать единичными, , j=1,...,n. В таком случае излучение  характеризуется лишь цветом , j=1,...,n.

            Для всякого излучения e(×) можно записать разложение

,                                                                      (1*)

в котором  - координаты  в базисе ,

или, в виде выходных сигналов детекторов излучения, - , где , , - выходной сигнал i-го детектора, отвечающий j-ому излучению e_j(×), i, j=1,...,n. Матрица  - стохастическая, поскольку ее матричные элементы как яркости базовых излучений  неотрицательны и , j=1,...,n. При этом яркость  и вектор цвета , , j=1,...,n, (конец которого лежит в П) определяются координатами a_j и цветами излучений , j=1,...,n, и не зависят непосредственно от спектрального состава излучения e(×).

            В ряде случаев белое излучение естественно определять исходя из базовых излучений, а не из выходных сигналов детекторов, считая белым всякое излучение, которому в (1*) отвечают равные координаты: .

            Заметим, что слагаемые в (1*), у которых a_j<0,[3] физически интерпретируются как соответствующие излучениям, "помещенным" в левую часть равенства (1*) с коэффициентами -a_j>0: . В такой форме равенство (1*) представляет “баланс излучений”.

            Определим в  скалярное произведение  и векторы , биортогонально сопряженные с : , i,j=1,...,n.

            Лемма 2. В разложении (1*) ,  j=1,...,n, . Яркость , где , причем вектор y ортогонален гиперплоскости
П, так как , i,j=1,...,n.

            Что касается скалярного проиведения , то его естественно определять так, чтобы выходные сигналы детекторов  были координатами  f_eв некотором ортонормированном базисе . В этом базисе конус . Заметим, что для любых векторов  и, тем более, для , [4].

            Пусть Х - поле зрения, например,  ограниченная область на плоскости R₂, или на сетке ,  спектральная чувствительность j-го детектора излучения, расположенного  в точке  ;   - излучение, попадающее в точку . Изображением назовем векторнозначную функцию

                                                                           (2**)

            Точнее, пусть Х - поле зрения, (Х, С, m) - измеримое пространство Х с мерой m, C - s-алгебра подмножеств X. Цветное (спектрозональное) изображениеопределим равенством

   ,                                                                     (2)

в котором почти для всех , , - m-измеримые функции на поле зрения X, такие, что

 .

Цветные изображения образуют подкласс функций  лебеговского класса  функций . Класс цветных изображений обозначим L_E,_n.

            Впрочем, для упрощения терминологии далее любой элемент  называется цветным изображением, а условие

                                                                   (2*)

условием физичности изображений f(×).

            Если f(×) - цветное изображение (2), то , как нетрудно проверить, - черно-белое изображение [2], т.е. , . Изображение  , назовем черно-белым вариантом цветного изображения f(×), а цветное изображение , f(x)0, xÎX - цветом изображения f(×). В точках множества В={xÎX: f(x)=0} черного цвета j(x), xÎВ, - произвольные векторы из , удовлетворяющие условию: яркость j(x)=1. Черно-белым вариантом цветного изображения f(×) будем также называть цветное изображение b(×), имеющее в каждой точке Х ту же яркость, что и f(×), b(x)=f(x), xÎX, и белый цвет, b(x)=b(x)/b(x)=b, x
ÎX.
3. Форма цветного изображения.

            Понятие формы изображения призвано охарактеризовать форму изображенных объектов в терминах характерности изображений, инвариантных относительно определенного класса преобразований изображения, моделирующих меняющиеся условия его регистрации. Например, довольно часто может меняться освещение сцены, в частности, при практически неизменном спектральном составе может радикально изменяться распределение интенсивности освещения сцены. Такие изменения освещения в формуле (2**) выражаются преобразованием , в котором множитель k(x) модулирует яркость изображения  в каждой точке при неизменном распределении цвета. При этом в каждой точке у вектора f(x) может измениться длина, но направление останется неизменным.

            Нередко изменение распределения интенсивности освещения сопровождается значительным изменением и его спектрального состава, но - пространственно однородным, одним и тем же в пределах всей изображаемой сцены. Поскольку между спектром излучения e и цветом j
нет взаимно однозначного соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f(x) в терминах преобразования его цвета j(×). Для этого определим отображение A(×):, ставящее в соответствие каждому вектору цвета подмножество поля зрения в точках которого изображение , имеет постоянный цвет .

            Пусть при рассматриваемом изменении освещения и, соответственно, ; предлагаемая модель преобразования изображения состоит в том, что цвет  преобразованного изображения должен быть также постоянным на каждом множестве

F: R_n-> R_n оператор, определенный условием

                         (33)

Тогда решение задачи (28) можно представить в виде

,                                        (34)

где  - индикаторная функция множества A_i (31), i=1,...,q и F -оператор, действующий в  по формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13).

            Нетрудно убедиться, что задача на минимум (29) с условием физичности

              (35)

имеет решение

                (36)

            Соответственно решение задачи (28) с условием физичности имеет вид

,                                   (37)

где  - индикаторная функция множества

,                (38)

            В ряде случаев для построения (34) полезно определить оператор F⁺: R_n-> R_n, действующий согласно формуле

                    (39)

где

, так что ,i=1,...q.  (40)

            Подытожим сказанное.

            Теорема 4. Решение задачи (28) наилучшего в приближения изображения  изображениями на искомых множествах A₁,...,A_q разбиения X заданные цветамиj₁,..., j_q соответственно, дается равенством (34), искомое разбиение A₁,...,A_q определено в (31). Требование физичности наилучшего приближения приводит к решению (37) и определяет искомое разбиение формулами (38). Решение (34) инвариантно относительно любого, а (37) - относительно любого, сохраняющего физичность, преобразования, неизменяющего его цвет.

            Формой в широком смысле изображения, имеющего заданный набор цветов  j₁,..., j_q на некоторых множествах положительной меры A₁,...,A_q разбиение поля зрения можно назвать оператор  (34), формой такого изображения является оператор F⁺ (37). Всякое такое изображение g(×), удовлетворяющее условиям физичности (неотрицательности яркостей), удовлетворяет уравнению F⁺g(×)=g(×), те из них, у которых m(A_i)>0, i=1,...,q, изоморфны, остальные имеют более простую форму.                                    n

            В заключение этого раздела вернемся к понятию формы изображения, заданного с точностью до произвольного, удовлетворяющего условиям физичности, преобразования яркости. Речь идет о форме изображения , заданного распределением цвета , при произвольном (физичном) распределении яркости, например, . Для определения формы  рассмотрим задачу наилучшего в  приближения изображения  такими изображениями

,                         (41)

            Теорема 5. Решение  задачи (41) дается равенством

,               (42)

в котором , где  . Невязка приближения

,                      (43)

(   !)                                                       n

            Определение. Формой изображения, заданного распределением цвета , назовем выпуклый, замкнутый конус изображений



или - проектор  на .

            Всякое изображение g(×),  распределение цвета которого есть j(×) и только такое изображение содержится в  и является неподвижной точкой оператора

: g(×) = g(×).                                                                                 (#)

            Поскольку на самом деле детали сцены, передаваемые распределением цвета j(×), не представлены на изображении f(×) = f(×)j(×) в той области поля зрения, в которой яркость f(x)=0, xÎX, будем считать, что  - форма любого изображения f(x) = f(x)j(x),  f(x)>0, xÎX(modm), все такие изображения изоморфны, а форма всякого изображения g(×), удовлетворяющего уравнению (#), не сложнее, чем форма f(×).

            Замечание 5. Пусть j₁,...,
j_N - исходный набор цветов, , A₁,...,A_N - соответствующее оптимальное разбиение X, найденное в теореие 4 и

,                                              (34*)

- наилучшее приближение f(×). Тогда в равенстве (24)

,                                                                     (24*)

если A₁,...,A_N - исходное разбиение X в теореме 3. Наоборот, если A₁,...,A_N - заданное в теореме 3 разбиение X и f₁,...,f_N - собственные векторы операторов Ф₁,...,Ф_N (23) соответственно, отвечающие максимальным собственным значениям, то f₁,...,f_N  и будет выполнено равенство (24), если в (34*) определить j_i как цвет f_i в (24), i=1,...,N.

            Проверка этого замечания не представляет затруднений.

В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого A_i, i=1,...,N.

            Разумеется, условие постоянства цвета на множествах A_i, i=1,...,N, на практике может выполняться лишь с определенной точностью. Последнюю можно повысить как путем перехода к более мелкому разбиению , так и допустив некоторые изменения цвета в пределах каждого A_i, i=1,...,N, например, выбрав вместо (17) класс изображений

                                                        (17*)

в котором  в (3).

            Поскольку в задаче наилучшего приближения f(×) изображениями этого класса предстоит найти  , векторы  при любом i=1,...,N, можно считать ортогональными, определив

,                   (*)

из условия минимума невязки по . После этого для каждого i=1,...,N  векторы  должны быть определены из условия

                        (**)

при дополнительном условии ортогональности

. Решение этой задачи дается в следующей лемме

            Лемма 5. Пусть  ортогональные собственные векторы оператора Ф_i  (23), упорядоченные по убыванию собственных значений:

.

Тогда решение задачи (**) дается равенствами .

            Доказательство. Заметим, что, поскольку Ф_i - самосопряженный неотрицательно определенный оператор, его собственные значения неотрицательны, а его собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они образовали ортогональный базис в R_n. Пусть P_i - ортогонально проецирует в R_n на линейную оболочку  собственных векторов  и

[P_i Ф_i P_i] - сужение оператора P_i Ф_i P_i на . Тогда левая часть (*) равна следу оператора [P_i Ф_i P_i]

, где  - j-ое собственное значение оператора  (см., например, [10]). Пусть . Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10], , откуда следует утверждаемое в лемме.    ■

            Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в рассматриваемом  случае  имеет  место утверждение, аналогичное теореме 3.

            Теорема 3*. Наилучшее приближение любого изображения f(×) изображениями (17*) имеет вид

,

            Где : ортогональный проектор на линейную оболочку , собственных векторов задачи

.

            Невязка наилучшего приближения равна

.                    n

            Рассмотрим теперь задачу наилучшего приближения изображения f(×) изображениями (17), в которых заданы и фиксированы векторы , и надлежит определить измеримое разбиение  и функции , как решение задачи

                                    (30)

            При любом разбиении минимум в (30) по  достигается при , определяемых равенством (20). В свою очередь, очевидно, что

                (31)

где точки , в которых выполняется равенство  могут быть произвольно включены в одно из множеств : либо в , либо в . Это соглашение отмечено звездочкой в (31).

            Таким образом доказана

            Теорема 6. Пусть  заданные векторы R_n. Решением задачи (30) является изображение  

 ,

где ортогональный проектор  определен равенством (25), а  - индикаторная функция множества (31), i=1,...,N.  Невязка наилучшего приближения равна

.                             n
            Замечание 5.  Так как при 

,

то условия (31), определяющие разбиение , можно записать в виде

,                                            (32)

показывающем, что множество  в (32) инвариантно относительно любого преобразования изображения , не изменяющего его цвет.

                                                                                                            Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(×) изображениями (17), при котором должны быть найдены  и c_i⁰ , i=1,...,N, такие, что

.

            Теорема 7. Для заданного изображения f(
×)
определим множества  равенствами (32), оператор П - равенством (24),   - равенствами (25). Тогда ,

определено равенством (32), в котором  - собственный вектор оператора Ф_i (23), отвечающий наибольшему собственному значению, причем в (23) , наконец,  будет дано равенством (20), в котором , где  - собственный вектор оператора , отвечающий наибольшему собственному значению ; наконец,

.            n

            Замечание 6. Следующая итерационная процедура полезна при отыскании : Для изображения f(
×) зададим  и по теореме 5 найдем  и , затем по теореме 3, используя  найдем  и . После этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по  найдем  и  и т.д. Построенная таким образом последовательность изображений  очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность , k=1,2,.….. монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности .

            Формы  (10) и  (9) удобно задавать операторами П_f  и П_*f соответственно.

            Теорема 7. Форма  в широком смысле изображения определяется ортогональным проектором П_*
f :

 ,

при этом  и .

            Доказательство. Так как для  , то получаем первое утверждение. Для доказательства второго утверждения рассмотрим выпуклую задачу на минимум , решение которой определяется условиями (см., например, [11]) . Отсюда следует, что  и тем самым доказано и второе утверждение      n

            Замечание. Так как , где f
_i(x) - выходной сигнал i-го детектора в точке , причем f
_i(x)
³0 ,i=1,...,n, и, следовательно цвет  реальных изображений непременно имеет неотрицательные , то для реальных изображений , условия  и , эквивалентны. Если же для некоторого , то условие  не влечет . Заметим также, что для изображений g(×), удовлетворяющих условию , всегда .

            Для спектрозональных изображений характерна ситуация, при которой k детекторов регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в диапазоне видимого света, а остальные n-k регистрируют собственное тепловое излучение объектов ( в инфракрасном диапазоне). В таком случае любое изображение можно представить разложением

                                                               (40)

В котором

. Если ИК составляющей солнечного излучения можно пренебречь по сравнению с собственным излучением объектов, то представляет интерес задача приближения изображениями f(×) , в которых f₁(×) - любая неотрицательная функция из , j₁(×) - фиксированное векторное поле цвета, f₂(×) - термояркость, j₂(×) - термоцвет в точке . Форма П_*f видимой компоненты f(×) (40) определяется как оператор наилучшего приближения в задаче

, в данном случае

, причем П_*f действует фактически только на  "видимую компоненту" g(×), обращая "невидимую, ИК, компоненту" g(×) в ноль.

            Форма ИК компоненты f(×) может быть определена лишь тогда, когда известно множество возможных преобразований j₂(×) f₂(×).

            Некоторые применения.

            Задачи идентификации сцен.

            Рассмотрим вначале задачи идентификации сцен по их изображения, неискаженным геометрическими преобразованиями, поворотами, изменениями масштаба и т.д. Ограничимся задачами, в которых предъявляемые для анализа изображения получены при изменяющихся и неконтролируемых условиях освещения и неизвестных и, вообще говоря, различных оптических характеристиках сцены.

            1). Задачи идентификации при произвольно меняющейся интенсивности освещения.

            Можно ли считать f(×) и g(×) изображениями одной и той же сцены, возможно, отличающимя лишь распределениями яркости, например, наличием теней?

            В простейшем случае для идентификации достаточно воспользоваться теоремой 5, а именно, f(×) и g(×) можно считать изображениями одной и той же сцены, если существует распределение цвета , для которого v(j(×)) содержит f(×) и g(×). Если , и , то, очевидно, существует , при котором f(x)Îv(j(×)), g(x)Îv(j(×)), а именно, , , если , , если , и, наконец,  - произвольно, если .

            На практике удобнее использовать другой подход, позволяющий одновременно решать задачи совмещения изображений и выделения объектов. Можно ли, например, считать g(×) изображением сцены, представленной изображением f(×)? Ответ следует считать утвердительным, если

.

Здесь j(×) - распределение цвета на изображении f(×), символ ~0 означает, что значение d(g(×)) можно объяснить наличием шума, каких-либо других погрешностей, или, наконец, - наличием или, наоборот, отсутствием объектов объясняющим несовпадение g(×) и f(×) с точностью до преобразования распределения яркостей. Такие объекты, изменившие распределение цвета g(×) по сравнению с распределением цвета f(×), представлены в .

            2).Идентификация при произвольном изменении распределения интенсивности и пространственно однородном изменении спектрального состава освещения.

            Можно ли считать изображением сцены, представленной на изображении f(×), изображение, полученное при изменившихся условиях регистрации, например, перемещением или изменением теней и изменением спектрального состава освещения?

            Пусть П - форма в широком смысле изображения f(×), определенная в теореме @, П_* - форма f(×). Тогда ответ на поставленный вопрос можно считать утвердительным, если . Если изменение g(×) обусловлено не только изменившимися условиями регистрации, но также появлением и (или) исчезновением некоторых объектов, то изменения, обусловленные этим последним обстоятельством будут представлены на .

            3). Задачи совмещения изображений и поиска фрагмента.

            Пусть f(×) - заданное изображение, AÌX - подмножество поля зрения, c_A(×) - его индикатор, c_A(×)f(×) -назовем фрагментом изображения f(×) на подмножестве A, представляющем выделенный фрагмент сцены, изображенной на f(×). Пусть g(×) - изображение той же сцены, полученное при других условиях, в частности, например, сдвинутое, повернутое, т.е. геометрически искаженное по сравнению с f(×). Задача состоит в том, чтобы указать на g(×) фрагмент изображения, представляющий на f(×) фрагмент сцены и совместить его с c_A(×)f(×).

            Ограничимся случаем, когда упомянутые геометрические искажения можно моделировать группой преобразований R₂->R₂, преобразование изображения  назовем сдвигом g(×) на h. Здесь

Q(h): R_n->R_n, hÎH, - группа операторов. Векторный сдвиг на h¢ÎH даст

.

            В задаче выделения и совмещения фрагмента рассмотрим фрагмент сдвинутого на h изображения g(×) в “окне” A:

                                                                                       (100)

причем, поскольку  где  то в (100)  - ограничение на сдвиг “окна” А, которое должно оставаться в пределах поля зрения X.

            Если кроме цвета g(×) может отличаться от f(×), скажем, произвольным преобразованием распределения яркости при неизменном распределении цвета и  - форма фрагмента f(×), то задача выделения и совмещения фрагмента сводится к следующей задаче на минимум

.(101)

При этом считается, что фрагмент изображения g(×), соответствующий фрагменту c_A(×)f(×), будет помещен в “окно”.А путем соответствующего сдвига h=h_*,  совпадает с c_A(×)f(×)  с точностью до некоторого преобразования распределения яркости на нем. Это означает, что

.

т.е. в (101) при h=h_* достигается минимум.
            4). В ряде случаев возникает следующая задача анализа спектрозональных изображений: выделить объекты которые “видны”, скажем, в первом канале и “не видны” в остальных.

            Рассмотрим два изображения  и . Определим форму в широком смысле  как множество всех линейных преобразований :  (A - линейный оператор R₂->R₂, не зависящий от xÎX). Для определения проектора на  рассмотрим задачу на минимум

.        [*]

Пусть , , тогда задача на минимум [*] эквивалентна следующей: tr A^*AS - 2trAB _~ . Ее решение  (знаком ^- обозначено псевдообращение).

=

=




Рис.1.

f_e - вектор выходных сигналов детекторов, отвечающий излучению e(×), j_e - его цвет; j₁,j₂,j₃, - векторы (цвета) базовых излучений, b - белый цвет, конец вектора b находится на пересечении биссектрис.


Литература.

[1] Пытьев Ю.П. Морфологические понятия в задачах анализа изображений, - Докл. АН СССР, 1975, т. 224, №6, сс. 1283-1286.

[2]  Пытьев Ю.П. Морфологический анализ изображений, - Докл. АН СССР, 1983, т. 296, №5, сс. 1061-1064.

[3]  Пытьев Ю.П. Задачи морфологического анализа изображений, - Математические методы исследования природных ресурсов земли из космоса, ред. Золотухин В.Г., Наука, Москва, 1984, сс. хххх-ххххх.

[4]  Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. ЭВМ анализирует форму изображения, - Знание,сер. Математика, Кибернентика, Москва, 1988, 47 стр.

[5] Yu.P.Pyt’ev. Morphological Image Analysis, Patt. Recogn. and Image Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28.

[6]  Антонюк В.А., Пытьев Ю.П. Спецпроцессоры реального времени для морфологического анализа реальных сцен. Обработка изображений и дистанционное исследования, -Новосибирск, 1981, сс. 87-89.

[7]  Антонюк В.А., Пытьев Ю.П., Рау Э.И. Автоматизация визуального контроля изделий микроэлектроники,Радиотехника и электроника, 1985, т. ХХХ,№12, сс. 2456-2458.

[8]  Ермолаев А.Г., Пытьев Ю.П. Априорные оценки полезного сигнала для морфологических решающих алглритмов, - Автоматизация, 1984, №5, сс. 118-120.

[9]  Пытьев Ю.П, Задорожный С.С., Лукьянов А.Е. Об автоматизации сравнительного морфологического анализа электронномикроскопических изображений, - Изв. АН СССР, сер. физическая, 1977, т. 41, №11, сс. хххх-хххх.

[10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V. Visilter. Shape analysis using Pyt'ev morphological paradigm and its using in machine vision. Proc. SPIE - Th. Intern. Soc. For Optical Engineering Videometrics III, 1994, v. 2350, pp. 163-167.

[11] Пытьев Ю.П.. Математические методы интерпретации эксперимента, Высшая школа, 351 стр., 1989.

[12] Майзель С.О. Ратхер Е.С. Цветовые расчеты и измерения. М:Л:Госэнергоиздат 1941, (Труды всесоюзного электротехнического института, вып.56).

[13] P. Kronberg. Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.

---