Реферат О некоторых применениях алгебры матриц

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 26.2.2025

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова
Математический факультет
Кафедра геометрии и высшей алгебры
Лакунова   Залина



Дипломная работа
«О некоторых применениях алгебры матриц»
Научный руководитель:

д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А                                          /В.Н.Шокуев /
Рецензент:

к.ф.-м.н.,доцент                                                             /В.М.Казиев/
Допущена к защите                                                           2002г.
Заведующий кафедрой

к.ф.-м.н.,доцент                                                              /А.Х.Журтов/
Нальчик 2002
Оглавление

                                                                                                          стр.
Введение                                                                                          3

§1. О правиле Крамера                                                                     4
§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел      9
§3. Матричный вывод формулы Кардано                                       17
Литература                                                                                       21


Отзыв
О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».

Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.
В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических уравнений малых степеней.

В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.

В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом основную роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех положительных чисел.

В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он опирается на свойства циркулянта (третьего порядка).

Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут быть допущены к защите.

Предварительная оценка – «хорошо»
д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА                                        /В.Н.Шокуев/
§1. О правиле Крамера
В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит в следующем.

Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система линейных уравнений с неизвестными
                                                  (1)
Определитель которой отличен от нуля:
                                             (2)
Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения
                                                           (3)
где - матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),
                                                                   (4)
- столбец (Матрица-столбец) неизвестных
- столбец свободных членов системы (1)
Так как , то матрица невырожденная и для нее существует обратная матрица . Умножив равенство (3) на (слева), получим (единственное) решение системы в следующей матричной форме (в предположении, что она совместима и - ее решение)

,

где обратная матрица имеет вид:

(-алгебраическое дополнение элемента в определителе )

Другой известный способ можно назвать методом алгебраических дополнений. Его использование предполагает владение понятием алгебраического дополнения как и в матричном способе, теоремой о разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об аннулировании.

         Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об определителе произведения матриц.

         Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай . Очевидно, что при выполняются следующие матричные равенства (если задана система (1)):

Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых частей соответственно через получим формулы Крамера:
     ()

(Правило Крамера)

Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка ничего по существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица с определителем получается из единичной матрицы заменой -го столбца столбцом неизвестных:
                                          (5)
Теперь из равенств
,
где - матрица, получающаяся заменой - го столбца матрицы столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв определители от обеих частей в каждом равенстве:
, откуда ввиду имеем
.

(здесь получается из , как и из ).

Другой, еще более короткий способ отыскания решения системы (1) состоит в следующем (по-прежнему ): пусть система (1) совместна и числа (после переобозначений) образуют ее решение. Тогда при имеем, используя два линейных свойства определителя:

         Можно начать и с определителя , в котором вместо свободных членов в -м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя соответствующие свойства определителя, получим:

(),

откуда и получаются формулы Крамера.
         Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение системы), производится одним из известных способов.
§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел.
Матрица вида:



- называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем некоторые авторы называют также циркулянтом.

Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)

.

Прибавив первые две строки к третьей, получим:
.

Вынесем общий множитель из последней строки:
.

Так как
,

то

.

С другой стороны, по определению детерминанта имеем:

Следовательно, выполняется тождество
(1)

Имеет место следующее предложение.

Предложение 1. Уравнение

                                                 (2)

не имеет решений в натуральных числах

Доказательство: Если - вещественные положительные числа, не все равные между собой, то
                                             (3)

Пусть - не все равные между собой положительные числа. Тогда существуют положительные числа и , не все равные между собой, такие, что . К этим числам применим тождество (1). Так как не все числа между собой равны, то последний сомножитель правой части тождества (1) есть число положительное и, следовательно,

,
.                                    (4)

Так как , то неравенство (4) дает неравенство (3). (Неравенство (3) можно переписать в виде ; получим известный факт о том, что среднее арифметическое трех положительных, не равных между собой чисел больше их среднего геометрического).

         Пусть и - натуральные числа, удовлетворяющие уравнению (2). Представляются две возможности: либо числа все равны между собой, либо не все эти числа равны друг другу.

         В первом случае все они должны быть равны 1, так как она положительные и , и мы имели бы:

- противоречие.

         Значит, не все три числа равны между собой; поэтому в силу неравенства (3) имеем
,

откуда

.

Таким образом, доказано что уравнение

не имеет решений в натуральных числах .
Предложение 2. Уравнение



разрешимо в натуральных числах .

Доказательство: удовлетворяют нашему уравнению. Если не все три числа между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства Предложения (1), выполняется неравенство

- противоречие. Таким образом, должно быть , и из нашего уравнения следует, что каждое из этих чисел равно 1, так что .

Поэтому получаем
.

Итак, мы доказали, что заданное уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах .
Предложение 3. Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.

Доказательство: Рассмотрим следующее произведение двух циклических матриц (второго порядка)

где - мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство
.              (5)
Предложение 4. Если число представляемое в виде суммы двух квадратов, делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное также является суммой двух квадратов.

Доказательство: Пусть число делится на простое число вида :

.

Требуется доказать, что частное имеет вид .

Предположим, что задача уже решена, т.е.
,                                        (6)

и с помощью анализа попробуем найти искомые числа и . Гипотетическое равенство (6) подсказывает целесообразность рассмотрения матричных равенств.

и

перемножив правые части этих равенств, получим:

отсюда имеем:

                                                 (7)
                                                        (8)
.    (9)
Так как - простое число и делит , то равенство (9) показывает, что или делится на .

         Пусть . Тогда из тождества

,

верного в силу (5) следует, что на делится и число , а поскольку - простое, , так что в силу (7) - целое число. Таким образом, в рассматриваемом случае имеем:

и Предложение 4 доказано.

Если же , т.е. в силу (8) - целое, то, рассуждая как и выше, можем написать:
;

отсюда следует, что , т.е. - целое. В этом случае
.

§3. Матричный вывод формулы Кардано
В этом параграфе предлагается новый подход к выводу формулы Кардано для корней кубического произведения уравнения.

Пусть дано любое кубическое уравнение

. (1)

Если

- его корень, то

, поэтому

, т.е.

есть корень уравнения, получающегося из (1) делением всех коэффициентов т правой части на

, и обратно. Поэтому (1) эквивалентно уравнению.

. (2)

Таким образом, можно сказать, что решение любого кубического уравнения сводится к решению кубического уравнения со старшим коэффициентом, равным 1, т.е. уравнения вида

, (3)

которое получается из (2) после переобозначения коэффициентов; такое уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить подстановку

, (4)

получим:

, т.е.

, (5)

где

определяются по заданным коэффициентам

уравнения (3). Уравнение (5) эквивалентно уравнению (3), поэтому достаточно научиться решать уравнения типа (5). В силу этого, обозначив через

неизвестное, мы видим, что решение любого кубического уравнения вида

, (6)

называется приведенным или (неполным) кубическим уравнением. Покажем теперь, как можно найти все корни уравнения (6). Для этого заметим, что в силу тождества (1) §2, полученного с использованием циркулянта третьего порядка имеет место тождество

, (7)

где

- любые числа,

- один из корней третьей степени из единицы, так что

(проверка тождества опирается на равенство

). Попробуем теперь отождествить наше уравнение (6) с уравнением

, (8)
т.е. положим

где

пока неизвестны. Чтобы вычислить их, имеем систему

которая показывает (в силу теоремы Виета), что

являются корнями квадратного уравнения

т.е.

и поэтому

(9)

Таким образом, уравнение (6) эквивалентно уравнению (8), в котором

определяются по формулам (9). В свою очередь, уравнение (8) в силу (7) равносильно уравнению

и теперь получаем:

(10)

где

определяются по (9). При этом надо иметь ввиду, что кубические корни из (9) имеют по три значения и их необходимо комбинировать с учетом равенства

; если одна пара значений

выбрана указанным образом, то все три корня определяются по формулам (10). Сказанное можно представить и по другому; можно сказать, что значения неизвестного

определяются из равенства

т.е.

                        (11)

причем остается в силе сказанное относительно комбинаций значений этих кубических радикалов.

         Формула (11) и есть знаменитая формула Кардано.
ЛИТЕРАТУРА
1.     Ф. Бахман, Э. Шмидт. n- угольник «Мир», М., 1973 г.

2.     Э. Чезаро. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых ч. 1 М.Л., 1936 г.

3.     В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. М., 1968 г.

4.     Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика ? «Просвещение», М., 1967 г.

5.     А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1976 г.

6.     Эдвардс. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. «Мир», М., 1980 г.

Bukvasha