МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова
Математический факультет
Кафедра геометрии и высшей алгебры
Нагоева Фатима Хазреталиевна

Дипломная работа
«
О неопределенных бинарных квадратичных формах
»
Научный руководитель:

д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А                                          /У.М.Пачевв /
Рецензент:

к.ф.-м.н.,доцент                                                              /                      /
Допущена к защите

«_______»                    2002г.

Зав. кафедрой

к.ф.м.н., доцент                                                       /А.Х. Журтов/
Нальчик 2002 г.

Оглавление
                                                                                                                стр.

Введение                                                                                                   3

§1. Предварительные сведения о бинарных квадратичных                 4

 формах

§2. О периодах неопределенных бинарных квадратных                     

форм                                                                                                         13

§3. Об оценке сверху числа приведенных неопределимых       

бинарных квадратичных форм                                                               21

§4. О диагональных формах и оценке снизу числа                    

классов в ряде                                                                                          27

Литература                                                                                               35

Введение

          Арифметическая теория квадратичных форм берет свое начало с утверждения Ферма о представимости простых чисел  суммой двух квадратов.

          Теория квадратичных форм впервые была развита французским математиком Лагранжем, которому принадлежат многие идеи в этой теории, в частности, он ввел важное понятие приведенной формы, с помощью которого им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Затем эта теория была значительно расширенна Гауссом, который ввел много новых понятий, на основе которых ему удалось получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел, ускользавших от его предшественников в этой области.

          Перейдем теперь к краткой характеристике содержания нашей работы, посвященной некоторым вопросам теории неопределенных бинарных квадратичных форм.

          Вначале нашей работы приводятся предварительные общие сведения о бинарных квадратичных формах. Во втором параграфе, посвященном периодам неопределенных квадратичных форм поставлены и решены два вопроса о двусторонних формах (теоремы 1,2). В третьем параграфе дается элементарное доказательство известной оценки для числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Наконец, в последнем параграфе устанавливаем, что диагональные формы одного и того же положительного дискриминанта не эквивалентны (теорема 3) и применяем этот результат к оценке снизу для числа классов в каждом роде неопределенных квадратичных форм (теорема 4).

§1. Предварительные сведения о бинарных квадратичных форм.
          В данном параграфе мы дадим те общие понятия и свойства, касающиеся бинарных квадратичных форм, на которые будем опираться в дальнейшем изложении.

Определение 1. Бинарной квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени от двух переменных, т.е. выражение вида

                                      (1)
где - вещественные числа.

Коэффициенты - называются соответственно первым, вторым и третьим коэффициентами (1) и для краткости такую форму будем обозначать, следуя Гауссу [2], через  так, что


В алгебраической теории квадратичных форм (т.е. в теории квадратичных форм над полями) рассматриваются формы, у которых второй коэффициент без множителя , т.е.

.
Но в арифметической теории квадратичных форм (т.е. в теории форм над кольцами и в первую очередь над кольцом  целых чисел) более предпочтительной является запись вида (1).
Определение 2. Бинарная квадратичная форма (1) называется классически целой (или целочисленной по Гауссу), если в ней коэффициенты  являются целыми числами.

          Мы будем в основном рассматривать только классические квадратичные формы и называть их просто численными.

Определение 3. Бинарные целочисленные квадратичные формы  и  называются собственно эквивалентными, если существует линейная подстановка переменных

                                                  (2)
с целыми коэффициентами  и определителем , переводящая форму  в форму , т.е. такая, что выполняется равенство

                              (3)
и несобственно эквивалентными, если целочисленная подстановка (2) с определителем   переводит форму  в форму . Эквивалентность таких форм обозначаем так: ~

          Из (3) и (2) следуют соотношения

                               

                               (4)

                           
связывающие коэффициенты двух эквивалентных форм  и .

Определение 4. Дискриминантом бинарной квадратичной формы  называется число .

Предложение 1. Эквивалентные бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант.

          Доказательство. Пусть форма  эквивалентна (собственно или несобственно) форме. Тогда по определению 3 существуют целые числа  с определителем , при которых выполнены соотношения (4). Из них получаем

,
т.е. предложение 1 доказано.

          Заметим, что обратное утверждение вообще говоря неверно, т.е. из того, что бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант еще не следует, что они эквивалентны. Следующий общий факт приведем без доказательства.

Предложение 2. Отношение собственной эквивалентности бинарных квадратичных форм обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Определение 5. Если для квадратичной формы  и для целого числа  при некоторых целых  и  выполняется равенство , то говорят, что квадратичная форма  представляет число .

Пример. Квадратичная форма  представляет число , т.к. число  является значением квадратичной формы  при , т.е. равенство  выполняется при .

Предложение 3. Эквивалентные бинарные квадратичные формы представляют одно и то же множество целых чисел.

          Доказательство. Пусть формы  и  эквивалентны. Тогда существует унимодулярная целочисленная подстановка переменных:




и, значит,

.
Положив теперь в этом равенстве , получим

,
т.е. форма  тоже представляет число . Поскольку отношение эквивалентности бинарных квадратичных форм обладает свойством симметричности (предложение 2) то и любое число, представимое формой  будет представимое и формой .

Предложение 3 доказано.
Определение 5. Классом  форм называется множество всех бинарных квадратичных форм, собственно эквивалентных форме .

          В силу предложения 2 и определения 5 можно сказать, что множество бинарных квадратичных форм данного дискриминанта распадается на классы форм, собственно эквивалентных относительно унимодулярного целочисленного преобразования переменных (2).

          Далее, в зависимости от знака дискриминанта  бинарные квадратичные формы делятся на определенные и неопределенные формы.

Определение 6. Квадратичная форма  дискриминанта  называется определенной, если  и неопределенной, если . Такое определение подсказано тем, что при  бинарная квадратичная форма принимает значения только одного знака (положительные при  и отрицательные при ), а при  она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм и мы будем рассматривать в данной работе только неопределенные формы.

          Рассмотрим теперь вкратце теорию приведения неопределенных бинарных квадратичных форм. Суть этой теории состоит в выделении в каждом классе так называемых приведенных форм - «стандартных» форм класса. Рассматривая квадратичные формы положительного дискриминанта будем считать ее коэффициенты произвольными вещественными числами. Кроме того будем предполагать, что крайние коэффициенты  и формы  отличны от нуля и корни уравнения  вещественны, различны и иррациональны.

Назовем корень  этого уравнения первым, а - вторым корнем формы  (см. [1]), причем  есть дискриминант формы .

Определение 7. Неопределенная квадратичная форма

 с корнями  называется приведенной, если .

          Покажем, что у приведенной формы  выполняются неравенства , , причем  и  заключаются между  и . В самом деле, из условия  получаем

,
,    ,    .
Далее, , , т.е. выполняется указанное неравенство . Обратимся теперь к условиям

 и . Из них следуют

,                                   (*)
Аналогично имеем

,                                     (**)
Покажем теперь, что . Допустим, что . Тогда из неравенств (*) и (**) следуют

 и .
Но последние два неравенства не могут одновременно выполняться. Значит, наше допущение, что  неверно и мы получаем неравенства . Наконец, покажем, что

 и .

Т.к. , то из неравенств (*) и (**) получаем . С учетом этих неравенств и равенства , мы получим и неравенства для .

          Обратно, система неравенств

 или
характеризует приведенность неопределенной формы . Поэтому определению приведенной формы можно придать следующий вид. Определение 8. Бинарная квадратичная форма  дискриминанта  называется приведенной, если



или


Без доказательства приведем следующее свойство приведенных форм.

Предложение 4. Каждая форма дискриминанта  собственно эквивалентна некоторой приведенной форме.

          Доказательство см. [1,2]. В [1] используется аппарат непрерывной дроби, а в [2] понятие соседней формы.

Определение 9. Целочисленная квадратичная форма  называется собственно примитивной, если наибольший общий делитель ее коэффициентов равен , т.е.

НОД  и несобственно примитивной, если

НОД . В остальных случаях форма называется не примитивной.

Определение 10. Пусть - наибольший общий делитель чисел  для формы  определителя . Множество бинарных квадратичных форм с одними и теми же  и (при ) с одним и тем же знаком крайних коэффициентов  называется порядком форм.

          Так как  и знаки получающихся коэффициентов  при  не меняются при переходе от данной формы к эквивалентной ей форме, то порядок состоит из нескольких классов.

          При  формы и порядок называются собственно примитивными, а при  и  ()- несобственно примитивными. Собственно и классы форм называются собственно примитивными и несобственно примитивными.

          Возникает вопрос: конечно или бесконечно число целочисленных приведенных неопределенных форм. Ответ дает следующее.

Предложение 5. Число всех целочисленных приведенных неопределенных форм с заданным дискриминантом конечно.

          Доказательство см. [2,п.185].

,
при этом - число различных простых делителей числа .
Теорема 2 (Гаусс). Каждый род собственно примитивного порядка содержит одно и то же число классов, т.е.

                                                ,
где - число всех классов, - число классов в каждом роде и -число родов.

          Перейдем теперь после такого предварительного обсуждения к изложению результатов данного параграфа. Следующая теорема устанавливает существование неэквивалентных диагональных квадратичных форм данного дискриминанта.
Теорема 3.  Диагональная форма  дискриминанта  не эквивалентна никакой другой диагональной форме того же дискриминанта.

          Доказательство. Допустим, что диагональная форма

                                             (1)
дискриминанта  собственно эквивалентна другой диагональной форме

                                          (2)
того же дискриминанта . Тогда найдется целочисленная унимодулярная подстановка , которая переводит форму  в форму .

Имеем

                                                    (3)

где

                                                      (4)
Подставляя (3) в (1), получим



.
Но так как, мы требуем, чтобы форма  была тоже диагональной, то

.                                             (5)
Тогда форма  перепишется в следующем виде

.                (6)
Далее, так как  имеет тот же дискриминант, что и форма , то

,                         (7)
или что то же самое

;
;
                               (8)
откуда с учетом (5), полученное соотношение (8) перепишется в виде

,
что противоречит условию (4).

Значит наше допущение о том, что диагональная форма эквивалентна другой диагональной форме того же дискриминанта неверно.

Теорема 3 доказана.

Полученную теорему 3 можно применить к оценке снизу числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм собственно примитивного порядка.
Теорема 4. Если для каждого квадратного делителя  дискриминанта  выполнены условия:

НОД ,   простого ,

то для числа  классов неопределенных квадратичных форм дискриминанта  в каждом роде собственно примитивного порядка выполняется неравенство

.
Доказательство. Пусть - собственно примитивная форма дискриминанта , т.е.  НОД  и пусть она представляет целое число , т.е.  при некоторых целых  и . Будем считать, что , где - целое число. Тогда символ Лежандра числа  по простому делителю  числа  равен

.
Далее   по условию имеем

.
Полученное означает, что форма  принадлежит главному роду (род называется главным, если характеры его форм равны ). Число таких форма равно числу квадратных делителей  дискриминанта  с условием НОД  и все они эквивалентны по теореме 3. Поэтому для числа классов  в главном роде справедлива оценка снизу

 с условием .
В силу теоремы 2 Гаусса такая же оценка справедлива и для числа классов всех остальных родов.

          Теорема 4 доказана.
ЛИТЕРАТУРА.
1.     Венков Б.А. Элементарная теория чисел. М-Л., 1937, с. 218

2.     Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. Изд-во АН СССР, М., 1959,      с. 978

3.     Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. Изд-во «Мир», М., 1974, с. 187

4.     Виноградов И.М. Основы теории чисел. Изд-во «Наука», М., 1972 с. 267

5.     Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М., «Наука», 1980, с. 144

6.     Бухштаб А.А. Теория чисел. М., 1966, с. 384