Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С.П. Королева

Кафедра прикладной математики

Расчетно-графическая работ по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Тема работы: «
Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез»

Вариант № 15

Выполнил студент группы № 625
Евгений В. Репекто

Самара - 2002

Решение

1.     
Построить вариационные ряды для случайных величин  и .

Вариационный ряд величины

-6	12	22	33
-5	12	23	34
-4	12	23	34
-3	12	24	34
0	13	24	35
1	14	25	36
1	14	25	36
1	15	25	36
1	16	25	37
2	16	25	38
2	16	25	38
3	16	25	38
3	16	26	39
4	16	26	39
4	17	26	40
4	17	27	40
6	17	27	40
7	18	28	40
7	18	29	41
9	19	29	44
9	19	29	45
9	19	30	46
9	19	30	48
10	19	30	48
10	19	30	49
10	20	31	49
10	20	31	51
11	20	32	52
11	20	32	55
11	21	32	58

Вариационный ряд величины

1	21
2	22
2	23
3	23
4	24
4	25
6	25
9	25
9	25
10	26
10	26
11	26
11	27
12	27
12	30
13	30
14	31
15	32
16	37
16	38
16	38
17	39
17	40
18	44
19	45
19	48
19	49
19	51
20	52
20	58

2.     
Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин  и .

Найдем количество элементов выборок после группировки элементов

Величина :

Величина :

Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины

№ пр-ка	Границы промежутка	Середина промежутка	Количество элементов выборки в промежутке	Частота для промежутка
1	-8 ; 0	-4	4	0.0333
2	-0 ; 8	4	15	0.1250
3	8 ; 16	12	19	0.1583
4	16 ; 24	20	25	0.2083
5	24 ; 32	28	24	0.2000
6	32 ; 40	36	17	0.1417
7	40 ; 48	44	8	0.0667
8	48 ; 56	52	8	0.0667

Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины

№ пр-ка	Границы промежутка	Середина промежутка	Количество элементов выборки в промежутке	Частота для промежутка
1	0; 9	4,5	7	0.1167
2	9 ; 18	13,5	16	0.2667
3	18 ; 27	22,5	19	0.3167
4	27 ; 36	31,5	6	0.1000
5	36 ; 45	40,5	6	0.1000
6	45 ; 54	49,5	5	0.0833
7	54 ; 63	58,5	1	0.0167

      
3.     
Построить гистограммы распределения случайных величин  и .

Гистограммы распределения приведены на графиках с теоретическими функциями распределения.
4.     
Найти выборочное среднее ,  и исправленные выборочные среднеквадратические отклонения: ,  случайных величин  и .

Выборочное среднее  случайной величины  равно



Выборочное среднее случайно величины  равно



Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение  случайной величины :

=14.3632
Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение  случайной величины :

=13.5727

   

5.     
Проверить, используя метод  гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин  и  при уровне значимости .

Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины .

Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле

, где   - объем выборки,  - шаг (разность между двумя соседними вариантами, ,
Построим вспомогательную таблицу:



В итоге получим = 7,2035

По таблице критических точек распределения  ([1], стр. 465), по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы 8-3=5 находим


Т.к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины .
Для случайной величины :
Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле

, где   - объем выборки,  - шаг (разность между двумя соседними вариантами, ,



В итоге получим = 8.1783

По таблице критических точек распределения  ([1], стр. 465), по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы  7 - 3=4 находим



Т.к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины .
6.     
Построить график функции плотности распределения  случайной величины  в одной системе координат с гистограммой.( взяв в качестве математического ожидания
и дисперсии их статистические оценки  и ) и вычислив значение функции  в точках: , , а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.


7.     
Выполнить задание 6 для случайной величины .








8.     
Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин  и , соответствующие доверительной вероятности .

Найдем доверительный интервал для математического ожидания :

Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с  степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством . И доверительный интервал для  выглядит следующим образом:



Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =120 находим: =1,980. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:



То есть: (20,93721;26,12946).
Найдем доверительный интервал для математического ожидания :

Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с  степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством . И доверительный интервал для  выглядит следующим образом:



Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =60 находим: =2,001. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:



То есть: (20,043;27,056).
Известно, что если математическое ожидание неизвестно, то доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности  имеет вид



Для случайной величины  найдем:

.





Таким образом, имеем доверительный интервал:  (162,8696; 273,8515).

Для случайной величины  найдем







Таким образом, имеем доверительный интервал: (134,82; 277,8554).

(Квантили распределения  найдены по таблице [3], стр. 413).
9.     
Проверить статистическую гипотезу  при альтернативной гипотезе  на уровне значимости .

Рассмотрим статистику

,

где

,

которая имеет распределение Стъюдента ,

Тогда область принятия гипотезы .

Найдем s:



Найдем значение статистики :



По таблице квантилей распределения Стъюдента ([2], стр. 391)



Т. к. , то гипотеза  принимается. Предположение о равенстве математических ожиданий   не противоречит результатам наблюдений.

10. 
Проверить статистическую гипотезу  при альтернативной гипотезе  на уровне значимости.

Рассмотрим статистику  , где , т.к. . Эта статистика имеет распределение Фишера . Область принятия гипотезы  



Найдем значение статистики :



По таблицам найдем . Т.к. , то гипотеза  принимается. Предположение  не противоречит результатам наблюдений.

Библиографический список

1.              Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов / Под. ред. А.В. Ефимова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. , 1990. – 428 с.

2.              Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-е, стер. М.: Высш. Шк., 1997. – 400 с.: ил.

3.              Гмурман  В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1977.

4.              Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: 1969, 576 с.