Реферат Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональн

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Курсовая работа Дипломная работа Контрольная работа Реферат Отчет по практике Эссе Доклад Решение задач Научно-исследовательская работа Монография Аспирантский реферат Магистерская работа Научная статья Публикация статьи в ВАК Публикация статьи в Scopus Дипломная работа MBA Бизнес-план Тест/экзамен online Чертеж Рецензия

Принимаю Политику конфиденциальности

Продолжить

Скидка 25% при заказе до 22.11.2024

          Потребность в действиях возведения в степень и извлечения корня была вызвана, как и другие четыре арифметические действия, практической жизнью. Так, наряду с задачей вычисления площади квадрата, сторона которого  известна, с давних времен встречалась обратная задача: какую длину должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась

,

       

          Правило, применявшееся вавилонянами, может быть выражено так: чтобы извлечь корень из числа , разлагают его на сумму

(должно быть достаточно малым в сравнении с ) и вычисляют по приближенной формуле:

1. Среднее геометрическое двух положительных чисел меньше их среднего арифметического (Евклид).

          3. Если - наибольший квадрат, содержащийся в числе, а - остаток, то

 при

при

          Дальнейшие обобщения натуральных, целых, рациональных и т.д. чисел привели к понятию алгебраической системы, в частности, к понятию кольца и поля. Так, иррациональные числа с алгебраической точки зрения являются элементами поля , они не содержатся в поле , и поле является расширением поля .

          Мы будем рассматривать положительные, отрицательные действительные числа и число . Изобразим горизонтальную числовую прямую, направленную вправо и числа на ней.

          При движении вдоль прямой слева направо числа будут появляться в порядке их возрастания. Ясно, что . Но , так как точка, изображающая , расположена правее точки, изображающей . Таким образом, мы имеем следующее геометрическое правило для определения неравенства:

          Пусть и- какие-нибудь два действительных числа, изображенных точками горизонтальной числовой прямой, направленной слева направо. Тогда  в том и только том случае, когда точка, изображающая число , лежит правее точки, изображающей число .

          Пусть и - какие-нибудь два действительных числа. Тогда в том и только том случае, когда положительно. В частности всякое положительное число больше нуля, ибо разность положительна. Поэтому неравенство употребляется для символической записи утверждения, что число положительно. Отрицательное число определяется как число, противоположное положительному числу относительно точки на числовой прямой. Всякое отрицательное число меньше нуля, ибо, если отрицательно, то положительно. Запись употребляется для обозначения утверждения, что отрицательное число.

          Число нуль обладает тем свойством, что для любого действительного числа .

          Итак, числа и могут относиться друг к другу следующим образом:

          1).

          2).

          3).

 Если и , то .

как сумма двух отрицательных слагаемых. Дадим геометрическое толкование свойства транзитивности: точка на числовой прямой расположена левее точки , а точка левее точки , при этих условиях точка  расположена левее точки  . 

 Если , то , т.е. при изменении знака обеих частей неравенства смысл знака неравенства меняется на обратный.

          Следовательно, по определению .

Если и , то , т.е. обе части неравенства можно умножить  на положительное число.

Но и . Следовательно, . Итак, , т.е. , что и требовалось доказать.

Если и , то , т.е. при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

.

Но , , следовательно, и , т.е. .

 Если и , то , т.е. при умножении обеих частей неравенства на нуль неравенство переходит в равенство.

Если и  - произвольное число, то , т.е. к обеим частям неравенства можно прибавить произвольное число.

          Действительно, , где . Следовательно, , а так как , имеем: .

 Если , и , то . Предварительно напомним, что есть обратное число, т.е. такое, что . Имеем . Но, с другой стороны,

Следовательно, и , так как, если произведение и один из множителей положительны, то и другой множитель положителен. Значит .

 Теорема 8.  Если , то , т.е. квадрат любого отличного от нуля числа положителен. Это следует из определения умножения положительных и отрицательных чисел.

Если и  , то , т.е. два неравенства одинакового смысла можно сложить.

          Имеем  ,   ,где и . Следовательно,

где , что и требовалось доказать.

Если и , то . Как легко показать, разность  положительна.

Если , и  и  положительны, то , т.е. обе части неравенства с положительными членами можно умножить на неравенство того же смысла, больший член которого положителен.

Если , , , ,  - положительны, то   .

Действительно, здесь , и, на основании теоремы о перемножении неравенств, имеем   , что и требовалось доказать.

Если

, а

, то

,

          Теорема вытекает из положений, что  и .

Если - нечетное число,    и , то , т.е. отрицательное число в нечетной степени отрицательно.

Теорема вытекает из следующих соотношений: и .

Если  - нечетное число, и - положительно, а -  отрицательно, то . Из предыдущего видно, что , а , откуда .

Если числа и положительны и , то , где - целое положительное число.

          Действительно, если предположить, что  , то возведя обе части неравенства в степень . получим , т.е. придем к противоречию.

сли , то , где  - произвольное положительное рациональное число.

          В самом деле, из имеем  и дальше .

          Мы рассмотрели числовые неравенства. Пусть теперь нам даны две функции  и . Если поставить между ними один из знаков неравенства (>,<, ,), получим условное неравенство. В дальнейшем такие условные неравенства мы будем называть просто неравенства.

или областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства

называется множество таких значений , при которых и функция , и функция определены. Иными словами, ОДЗ неравенства - это пересечение ОДЗ функции и ОДЗ функции .

неравенства называется всякое удовлетворяющее ему значение переменной . Решением неравенства называется множество всех его частных решений.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их решения совпадают (в частности, если оба неравенства не имеют решений). Если каждое частное решение неравенства  является в то же время частным решением неравенства , полученного после преобразований неравенства , то неравенство называется следствием неравенства . В следующих теоремах речь идет о преобразованиях, приводящих к равносильным неравенствам.

Если к обеим частям неравенства прибавить одну и туже функцию , которая определена при всех значениях из области определения исходного неравенства, и при этом оставить без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному. Таким образом, неравенства

(1)

(2)

Пусть =- произвольное решение неравенства . Тогда - истинное числовое неравенство. Прибавим к обеим его частям число

(по условию это число существует, ибо неравенства (1) и (2) имеют одну и ту же область определения. На основании свойства 6 числовых неравенств заключаем, что числовое неравенство - истинное. Следовательно, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2).

          Обратно, пусть - произвольное решение неравенства (2), значит

- истинное числовое неравенство. После вычитания из обеих частей этого неравенства числа по свойству 6 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство . Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Теорема доказана.

 

Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию , которая при всех значениях из области определения исходного неравенства принимает только положительные значения, и при этом оставить без изменения знак исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному.

          Таким образом, если , то неравенства

(1)

(2)

(или ) равносильны.

пусть  произвольное решение неравенства (1). Тогда - истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число (по условию это число существует, ибо функция имеет смысл при всех из области определения неравенства (1), причем ). Н основании свойства 3 числовых неравенств заключаем. что числовое неравенство (2) тоже истинное при .

          Обратно, пусть - произвольное решение неравенства (2), значит  - истинное числовое неравенство. После деления обеих частей неравенства на число (по условию) по свойству 12 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство .

Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию , которая при всех значениях из области определения исходного неравенства принимает только отрицательные значения, и при этом изменить на противоположный знак неравенства, то получится неравенство. равносильное исходному.

          Таким образом, если , то неравенства

(1)

(2)

(или ) равносильны.

Пусть произвольное решение неравенства (1). Тогда - истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число (по условию это число существует, ибо функция имеет решение при всех из области определения неравенства (1)). На основании свойства 4 числовых неравенств заключаем, что числовое неравенство  тоже истинное.

          Обратно, пусть  - произвольное решение неравенства (2), значит -истинное числовое неравенство. Умножив обе части этого неравенства на число по свойству 4 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство .

 Пусть дано неравенство  , причем и при всех из области определения неравенства. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же натуральную степень и при этом знак неравенства оставить без изменения, то получится неравенство

 ,

пусть - произвольное решение неравенства . Причем и (по условию). Тогда - истинное числовое неравенство. Но по свойству 17 числовых неравенств получаем, что числовое неравенство тоже истинно. Что и требовалось доказать.

3. Корень - й степени. Иррациональные неравенства.

Корнем - й степени из действительного числа называется действительное число такое, что .

          В частности, если , , то из получаем, что или . Если , , то из получаем, что . Заметим, что если - четное, а , то по свойствам действительных чисел не существует действительных таких, что . Если - четное, а , то существует ровно два действительных различных корня - й степени из . Положительный корень обозначается через - арифметический корень - й степени из , отрицательный . Если , то при любом существует единственный корень - й степени из - число .

          Если, - нечетное, то для любого действительного  числа существует единственный корень - й степени из . Этот корень называется арифметическим корнем - й степени из числа и обозначается .

1. - четное, , - арифметический корень - й степени из неотрицательного числа .

2. - нечетное, - любое действительное число, - арифметический корень - й степени из действительного числа .

          Значит, если показатель корня - число нечетное, то действия с такими корнями не вызывают затруднений ( имеет тот же знак, что и ), Основной случай для исследования - когда - четное.

          Пусть функция - иррациональная, т.е. задается с помощью иррационального алгебраического выражения и не может быть задана с помощью рационального алгебраического выражения. Иррациональным неравенством называется неравенство вида . Для того, чтобы найти множество решений иррационального неравенства, приходится, как правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. Несмотря на внешнюю схожесть процедуры решения иррационального уравнения и иррационального неравенства, между ними существует большое отличие. При решении иррациональных уравнений можно не заботиться о том, чтобы после возведения в степень получилось уравнение, эквивалентное исходному: алгебраическое уравнение имеет конечное число корней, из которых проверкой нетрудно отобрать решения исходного иррационального уравнения.

          Если иррациональное неравенство содержит один радикал, то всегда можно привести его к равносильному неравенству, в котором радикал будет находиться в одной части неравенства, а все другие члены неравенства - в другой его части, то есть неравенству вида  или , где и - рациональные алгебраические выражения относительно переменной . Привидение иррационального неравенства, содержащего один радикал к виду

(1)

(2),

неравенства, содержащие радикал четной степени, т.е. .

- неравенства, содержащие радикал нечетной степени, т.е. .

. Рассмотрим решение неравенств вида (1). Ясно, что всякое решение этого неравенства является в то же время решением неравенства (при этом условии имеет смысл левая часть неравенства) и решением неравенства (поскольку ). Значит, неравенство

(3)

где и следствия неравенства (3). Так как в области, определяемой первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и принимают только неотрицательные значения, то их возведение в квадрат на указанном множестве есть равносильное преобразование неравенства. В результате получаем, что неравенство (3) равносильно системе неравенств:

Неравенство вида равносильно системе неравенств

Аналогично для неравенств вида  .

Неравенство вида равносильно системе неравенств

(4)

(5)

          Но в отличие от неравенства (3) может здесь принимать как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому, рассмотрев систему (5) в каждом из двух случаев и , получим совокупность систем:

Неравенство вида равносильно совокупности двух систем неравенств

Неравенство вида равносильно совокупности двух систем неравенств

          Неравенства вида , , , являются частными случаями рассмотренных выше неравенств, когда .

             

Так как квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент, то он положителен при всех значениях . Поэтому решения последней системы таковы: .

Ответ:  

                            

                 

Получаем совокупность

Ответ: и .

         

Последнее неравенство системы выполняется всегда. если и .

Итак, решением неравенства является исключая .

Ответ: .

. Рассмотрим теперь неравенства, содержащие радикал нечетной степени, т.е. . Решение также проводится также путем последовательного возведения обеих частей неравенства в соответствующую степень и преобразования его в неравенство, не содержащее радикалов. При возведении неравенства в нечетную степень эквивалентность не нарушается. Имеют место следующие эквивалентные преобразования:

        

        

При при возведении в степень знак не изменится, т.к. , . Значит при .

может быть любое, т.к. под знаком радикала нечетной степени может стоять как отрицательная, так и положительная функция.

 

   

Ответ: .

(1)

                               (2)

                  (3)

 

откуда получаем решение неравенства .

Ответ: .

Предварительно упростим данное неравенство. умножив его на положительное выражение  (т.к. мы рассматриваем всегда ). Проведем затем эквивалентные преобразования:

 

решением последнего неравенства системы является объединение и , а решением всей системы, а в силу равносильности проведенных преобразований и исходного неравенства, будет луч .

Ответ: .

         всегда

                                               

последнее неравенство системы является уже знакомым нам неравенством вида  и решая его возведением в квадрат, получаем .

Ответ: .

Так как , то , а потому . Далее , поэтому . Значит, , и тем более .

Но , следовательно. второе неравенство нашей системы выполняется при любых допустимых значения из ОДЗ исходного неравенства, т.е. система, а вместе с ней и исходное неравенство имеют решение .

Ответ: .

второе неравенство имеет смысл при любом из ОДЗ, т.е. при . если упростить третье неравенство системы, то получим

Последнее неравенство системы имеет положительную левую часть при , значим имеем право возвести неравенство в квадрат и затем легко решаем его, получаем

Ответ: .

                 

Ответ: .

.

(1)

(2)

(3)

          Далее находим область определения данного неравенства (она совпадает с областью определения соответствующего уравнения). Затем наносим корни уравнения (3) на числовую ось, на которой отмечаем также область определения неравенства. Пусть, например, область определения неравенства (1) или (2) состоит из двух числовых промежутков и , , , , - корни уравнения (3).

          Корни уравнения (3) разбивают область определения неравенства на промежутки знакопостоянства. Функция меняет знак при переходе через корень нечетной кратности, а в промежутках между корнями знак функции постоянный. В рассматриваемом на рисунке примере такими числовыми промежутками будут промежутки , , , , .

          Далее определяем в каждом из отмеченных числовых промежутков знак функции . Для определения знака функции достаточно взять любое число из соответствующего промежутка. подставить в функцию вместо переменной и установить знак полученного числового выражения. Те числовые промежутки, в которых функция положительная, будут решением неравенства (1), ибо любое значение переменной, взятое из этих числовых промежутков, обращает его в истинное числовое неравенство. Остальные числовые промежутки образуют множество решений неравенства (2).

Так как по условию выражение должно равняться , то, сделав соответствующую замену, получим:

Возведем уравнение в куб и найдем искомые значения переменной:  и .

- ложно, корень - посторонний.

 - истинно,  - корень уравнения.

 и .

Взяв любое число (например, ) из первого промежутка и подставив в неравенство, получим . Значит

числовой промежуток  не входит в решение неравенства. Значение , взятое из числового промежутка , обращает данное неравенство в истинное числовое неравенство . Значит, числовой промежуток  является решением неравенства.

Ответ: .

 

сделаем подстановку  получим уравнение

и

Областью определения неравенства являются все действительные числа, поэтому рассматриваем  три числовых промежутка: , , . Пусть , тогда - ложное числовое неравенство. Значит числовой промежуток не входит в решение. Пусть , тогда - истинное числовое неравенство и числовой промежуток входит в решение. Аналогично, числовой промежуток тоже входит в решение.

Ответ: , .

ОДЗ неравенства или  .

При значения     всегда, а . Значит последнее неравенство истинно при .

Ответ: .

Возведем обе части неравенства в куб, предварительно перенеся в правую часть:

Решением последней системы является .

Ответ: .

Значения параметров , для которых функции и  определены, называются множеством допустимых значений параметров.

(1)

Найдем ОДЗ неравенства (1) . Неравенство (1) заменим эквивалентной совокупностью неравенств

Ясно, что второе неравенство будет истинно при любом из ОДЗ, т.к. , . Первое неравенство совокупности имеет и правую и левую положительные части. Возведем в квадрат обе его части.

Все значения будут принадлежать ОДЗ, так как , значит .

Ответ: 1. ; 2. .

Легко видеть, что при данное неравенство не имеет решений, т.к. получаем положительную левую часть меньше отрицательно правой. что не имеет смысла. Рассмотрим неравенство при . ОДЗ неравенства

Неравенство имеет смысл лишь при . Получаем систему неравенств, эквивалентную исходному неравенству:

                  

Решим последнее неравенство системы. Видим, что оно имеет смысл лишь при . Возведем в квадрат обе части неравенства

при

Сравним и , чтобы определить верхнюю границу значений .

при значит >.

Ответ: если  , то

            если . то .

(1)

 

 

 

        

,

                                               

 

В первом случае решением системы будет x < b, а во втором x < a.

Иррациональные неравенства, как и иррациональные уравнения можно решать способом введения новой переменной. Рассмотрим использование этого метода на примерах.
Пример 1. Решить неравенство:
 
Решение. Положив , находим что х² + 5х + 4 = у² – 24, тогда неравенство (1) преобразуется к виду:
  у² – 5y – 24 < 0
и далее решим уравнение:
  у² – 5y – 24 = 0

  D = 25 + 96 = 121

  y₁ = -3,    y₂ = 8
получаем (у – 8)(у + 3) < 0.

Решением этого неравенства является промежуток  -3 < y < 8.

Мы пришли к следующей системе неравенств:
 

Так как   при всех допустимых значениях х, то тем более    при всех х их ОДЗ неравенства (1), а поэтому достаточно решить неравенство:
 
Это неравенство равносильно системе
 
Так как неравенство х² + 5х + 38 ³ 0 выполняется  при   любых значениях х  (D = 25 – 4 × 28 < 0 и а = 1 > 0), то последняя система равносильна неравенству:
  х² + 5х + 38 < 0
или
  (х + 9)(х – 4) < 0
откуда методом интервалов находим решение неравенства (1)




  Ответ:  х Î ]-9; 4[

Неравенство (1) – неравенство вида
     .
Здесь применима подстановка          и неравенство  заменяется равносильным ему неравенством:
  у² – ky + d – c < 0, которое легко разрешимо.
Рассмотрим неравенство вида:
    , где можно применить подстановку  .
Пример 2. Решить неравенство:
 
Решение. Найдем ОДЗ неравенства: х £ 5. Положим , тогда у > x – 3, y ³ 0. Выразим х через у: у² = 5 – х Þ х = 5 – у².

Получаем систему:
 
Откуда:
 
 
Значения x < 4 принадлежат ОДЗ.

Ответ: x < 4.
Пример 3. Решить неравенство
 
Решение. Найдем ОДЗ неравенства
 
при х ³ 2 второе и третье неравенства системы истинны. ОДЗ х ³ 2.

Пусть  , тогда исходное неравенство примет вид:
                           (1)
Так как под радикалами в левой части неравенства (1) стоят полные квадраты, то оно может быть представлено в следующем эквивалентном виде:

  |t + 1| - |t – 1| > 1
Разобьем решение на три промежутка:
1)     t £ -1

-t – 1 + t – 1 > 1 Æ

2)     –1 < t £ 1

t + 1 + t – 1 > 1

2t > 1

t > ½

3)     t > 1

t + 1 – t + 1 > 1  2 > 1 – истинно

Решением неравенства на всех трех промежутках будет  t > ½

Подставляем 

 

 

, тогда   и мы получаем неравенство:

 

                       (1)

 

                                      (1)

 

 

Полагая , получим   у² – 2у - 8

 

                               (1)

 

 

   

 

 

 

Домножим обе части неравенства на  :

 

 

промежуток 

            Ответ:

Пример 1. Решить неравенство

Попробуем отметить какие – либо особенности заданного неравенства, которые могли бы указать путь к решению. Такие особенности есть, а именно:

Решение. Найдем ОДЗ исходного неравенства
                                 
На промежутке [-1;4] третье и четвертое неравенства системы истинны.

Значит, ОДЗ  х Î [-1;4].

Перепишем заданное неравенство так:
 
откуда 

Но      и      , поэтому получаем:
 
или:
 
В ОДЗ правая часть неравенства всегда положительна, поэтому возведем в квадрат обе части неравенства
 
решение этого неравенства х Î [0; 3]. Этот промежуток принадлежит ОДЗ.

Ответ: х Î [0; 3].
Пример 2. Решить неравенство:
 
Решение. Найдем ОДЗ неравенства:
 
откуда получаем x £ 1, х ³ 5, х = 2
Перепишем наше неравенство следующим образом:

Поскольку обе части неравенства положительны и имеют смысл на ОДЗ, возведем в квадрат обе части этого неравенства, получим:
 
Правая часть полученного неравенства на ОДЗ всегда положительна, поэтому имеем право возвести обе части его в квадрат и получим равносильное неравенство:
  (х – 2)²(х – 5)(х – 1) £ 9(х – 2)²(х – 1)²
или:
  (х – 2)²(х – 1) (х – 5 – 9х + 9)£ 0

  (х – 2)²(х – 1) (4 – 8х)£ 0
откуда методом интервалов получаем:  х £ ½,  х ≥ 1

Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ: х £ ½,  х = 1, х ≥ 5, х = 2
11. Решение иррациональных неравенств путем проб, выводов.



Пример 1. Решить неравенство:
                   (1)
Решение. Область определения неравенства  (1):       2 £ х £ 3.

Прежде, чем возводить в квадрат обе части неравенства (1), необходимо убедиться в том, что обе его части  неотрицательны.

Однако, оказывается, что это не так.

Действительно, так как 2 £ х £ 3, то 1 £ х – 1 £ 2    и    3 £ 6 – х £ 4. А это значит, что  или  .  Но .  Таким образом, при всех значениях  х  из отрезка  2 £ х £ 3   неравенство (1) выполняется. Итак, 2 £ х £ 3  - решение неравенства.
Пример 2.  Решим неравенство:
 
Решение. Найдем ОДЗ неравенства:
 
откуда получаем, что  ОДЗ неравенства  х = 2 – единственная точка. Подстановкой легко проверить, что х = 2 является решением исходного неравенства.

Ответ:  х = 2.
12. Решение более сложных примеров.



Пример 1. Решить неравенство
 
Решение. Используем метод интервалов. Решим соответствующее уравнение.
 
Решением уравнения являются значения переменной  х = 0  и  при любом действительном значении параметра   а.

Корни соответствующего уравнения разбивают числовую ось на промежутки знакопостоянтства, в каждом из которых неравенство или тождественно истинное, или тождественно ложное.
а) если a > 0, то   и числовая ось разбивается на следующие промежутки знакопостоянства:  x < 0,




Рассмотрим промежуток  .  Возьмем значение  х = а  из этого промежутка и подставим в данное неравенство. Получим:   - истинное числовое неравенство. Следовательно, промежуток  принадлежит решению.  Любое значение переменной  х, взятое из промежутка знакопостоянства            , обращает данное неравенство в ложное числовое неравенство. Например,  при   имеем ложное числовое неравенство  .

Следовательно, промежуток  не принадлежит решению.

Подставив, например, х = -а, взятое из промежутка знакопостоянства  x < 0, в данное неравенство, получим истинное числовое неравенство  . Значит, числовой промежуток  x < 0 принадлежит решению. Итак, при  a > 0 решением неравенства является объединение двух числовых промежутков  x < 0 и  .

б) если a < 0, то   и числовая ось разбивается на промежутки знакопостоянства .  Как и в первом случае, устанавливаем, что данное неравенство тождественно истинное в промежутках   и  x > 0  и тождественно ложное в промежутке  .  Следовательно, при a < 0 решением неравенства будет объединение двух числовых  промежутков   и   x > 0.

в) при а = 0  . Получим два промежутка знакопостоянства:  x < 0 и x > 0, каждый из которых, как легко установить принадлежит решению.

Ответ:  1) при

             2) при .

Пример 2. Решить неравенство
 
ОДЗ:   5^х – 7 ≥ 0

            log₅7 ≤ x < +∞

 


Возводим обе части в квадрат:
         
решением последнего неравенства является промежуток  х ≤ 2. Учитывая ОДЗ получаем решение исходного неравенства log₅7 ≤ x ≤ 2.

Ответ: log₅7 ≤ x ≤ 2.
13. Подборка задач по теме «решение иррациональных неравенств».






14. Классические неравенства.



Рассмотрим некоторые наиболее важные для математического анализа неравенства. Эти неравенства служат аппаратом, который повседневно используют специалисты, работающие в этой области математики.
Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом.


Теорема 1. Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел а и b не меньше их среднего геометрического, т. е.:
                                       (1)
Равенство имеет место в том и только том случае, когда  a = b.
Доказательство. Поскольку квадратный корень может доставить немало хлопот, мы постараемся от него избавиться, положив  a = c², b = d², что допустимо, ибо в теореме 1 предполагается, что числа а и b неотрицательны. При этом соотношение (1), в справедливости которого для произвольных неотрицательных чисел а и b мы хотим убедиться, примет следующий вид:
          ,                          (2)
где с и d – произвольные действительные числа.

Неравенство  (2) имеет место в том и только том случае, когда
          ,

что в силу основных правил, относящихся к неравенствам, равносильно тому, что
          с² + d² – 2cd ≥ 0                      (3)
Но с² + d² – 2cd = (с – d)² , значит неравенство  (3) равносильно
          (с – d)²  ≥ 0                              (4)
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то ясно, что соотношение (4) всегда имеет место. Значит справедливы и неравенства (3), (2), (1). Равенство в формуле (4), а значит и в формуле (1) достигается в том и только в том случае, когда  c – d = 0, т.е. c = d, или, иначе говоря, когда a = b.

Покажем теперь, что теорему 1 можно вывести геометрическим путем простого сравнения некоторых площадей.

Рассмотрим график функции  у = х, изображенный на рисунке.




Пусть  S и Т точки прямой у = х  с координатами  (с, с) и (d, d). Рассмотрим также точки  Р(с, 0), Q(0, d), R(c, d). Так как длина отрезка ОР равна с, то длина отрезка PS также равна с. Поэтому площадь  ∆OPS, полупроизведение длин его основания и высоты равна .

Рассмотрим теперь прямоугольник OPRQ. Он полностью покрывается ∆OPS и ∆OQT, так что
 S_OPS + S_OQT ≥ S_OPRQ                          (5)
Так как площадь прямоугольника OPRQ – произведение длин его основания и высоты – равна сd, то при помощи алгебраических символов соотношение (5) можно записать так:
         
Кроме того, легко видеть, что равенство достигается только тогда, когда площадь ∆TRS равна нулю, что возможно только при условии совпадания точек S и Т, т. е. когда с = d.
Теорема 2. Среднее арифметическое любых трех неотрицательных чисел a, b и с не меньше их среднего геометрического, т.е.

                               (1)

Равенство достигается в том случае и только том случае, когда а = b = с.

Доказательство: пусть а = х³, b = у³, с = z³.

Подставим эти значения в неравенство (1):

          ,                  (2)

что равносильно неравенству

          x³ + y³ + z³ – 3xyz ³ 0              (3)

Мы докажем теорему 2, если установим, что неравенство (3) имеет место для произвольных неотрицательных чисел x, y, z.

x³ + y² + z² – 3xyz = (x + y + z + )(x² + y² + z² – xy – xz – yz) (4)

x + y + z – неотрицательное число, покажем, что

x² + y² + z² – xy – xz – yz ³ 0            (5)

Выпишем три неравенства x² + y² ³ 2xy, x² + z² ³ 2xz, y² + z² ³ 2yz (эти неравенства истинны по теореме 1) и сложим их почленно:

          2(x² + y² + z²) ³ 2(xy + xz + yz)

это неравенство равносильно неравенству (5). Равенство достигается тогда и только тогда, когда x = y = z.

Мы получили, что в (4) левая часть ³ 0, т.е. неравенство (3) имеет место. Но неравенство (3) равносильно (1). Теорема доказана. Условие x = y = z равносильно условию a = b = c.

Теорема будет верна и для n чисел, примем ее без доказательства.
Теорема 3.
Среднее  арифметическое   любых n  неотрицательных   чисел   а₁, а₂,…а_n не меньше их среднего геометрического, т.е.

         

Равенство достигается в том и только том случае, когда а1 = а2 = аn.

Неравенство Коши.

                         (1)

         

         

         

         

         (1)

         

                                            (3)

                  

                  

                  

          ,

           ,

Одно из наиболее полезных неравенств математического анализа – неравенство Гёльдера. Оно утверждает, что для любой системы неотрицательных чисел a_i и b_i (i – 1, 2, … , n)

         (1)

где числа р и q удовлетворяют условию

                     и р > 1
Фактически мы докажем неравенство (1) только для рациональных р и q. Однако окончательный результат сохраняет силу и для иррациональных р и q.

Начнем с неравенства

                                  (2)

Оно выводится как частный случай теоремы о среднем арифметическом среднем геометрическом. Положим, что первые m чисел x_i в неравенстве

         

равны некоторому неотрицательному числу х, тогда остается N-m чисел и пусть они равны неотрицательному числу у, т.е.

          x₁ = x₂ = … = x_m = x

          x_m+1 = x_m+2 = … = x_n = y

В этом случае теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел  x₁, x₂, … , x_n примет вид

         

или

         

Здесь n – любое целое число, а m – целое число значения которого заключены в пределах 1 £ m £ n – 1. Отсюда  следует, что число m/n может быть любой рациональной дробью r, принадлежащей интервалу 0 < r < 1. Теперь последнее неравенство можно переписать так:

          rx + (1 – r)y ³ x ^r y^1-r                                    (3)

Это неравенство имеет место для любых неотрицательных чисел х и у и для любой дроби r, значения которой заключены между 0 и 1. Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда х = у.

Обозначим число r через 1/р; поскольку 0 < r < 1, то p > 1. Отсюда
 . Пусть , тогда   и 

В этих обозначениях неравенство (3) принимает вид

                                       (4)

С целью исключить из рассмотрения дробные показатели степени положим

х = а^р, у = b^р.

При этом неравенство (4) принимает вид

          , где a и b – неотрицательные числа, а р и q – такие рациональные числа, что . Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда а^р  = b^р. Итак, мы вывели неравенство (2).

Положим

                

затем

                        

и т. д. (как в доказательстве неравенство Коши) и сложим неравенства, получающиеся после последовательных подстановок этих значений в (2). При этом получим

                         (5)

Используя равенство , получаем неравенство, равносильное (1). Равенство в (5) достигается тогда и только тогда, когда все отношения b_i/a_i равны между собой.

Неравенство треугольника.



Из геометрии мы знаем, что сумма длин двух сторон треугольника не меньше длины его третьей стороны. Посмотрим, как можно выразить эту теорему алгебраически.

Рассмотрим треугольник ORP, расположенный так, как показано на рисунке.




Геометрическое неравенство ОР + PR ³ OR равносильно алгебраическому неравенству треугольника

                     (1)

Для доказательства возведем обе части неравенства (1) в квадрат, при этом мы придем к неравенству, равносильному (1):



Легко видеть, что последнее неравенство в свою очередь равносильно неравенству:



Но это неравенство является простым следствием неравенства Коши

          ,

что и доказывает неравенство треугольника.

Равенство в неравенстве треугольника, как и в неравенстве Коши достигается тогда и только тогда, когда х₁ = кх₂ и у₁ = ку₂, где к – неотрицательный коэффициент пропорциональности.

Доказательство неравенства треугольника можно обобщить, следуя по тому же пути, что и при выводе неравенства Гёльдера, а именно доказать, что неравенство



имеет место для любых действительных значений x_i, y_i. Равенство достигается в том и только том случае, когда числа x_i и y_i пропорциональны и коэффициент пропорциональности положителен.

Рассмотрим еще одно доказательство неравенства треугольника, которое можно использовать также и для получения более общих результатов. Имеет место тождество

(х₁ + х₂)² + (у₁ + у₂)² = х₁(х₁ + х₂) + у₁(у₁ + у₂) + х₂(х₁ + х₂) + у₂(у₁ + у₂)

Неравенство Коши в форме, использующей квадратные корни, применим по очереди к двум выражениям:

          х₁(х₁ + х₂) + у₁(у₁ + у₂)   и

х₂(х₁ + х₂) + у₂(у₁ + у₂).

Мы получим

(х₁² + у₁²)^1/2 [(х₁ + х₂)² + (у₁ + у₂)²]^1/2 ³  х₁(х₁ + х₂) + у₁(у₁ + у₂)         и

(х₂² + у₂²)^1/2 [(х₁ + х₂)² + (у₁ + у₂)²]^1/2 ³  х₂(х₁ + х₂) + у₂(у₁ + у₂)

Сложим эти два неравенства

[(х₁² + у₁²)^1/2 + (х₂² + у₂²)^1/2]*[(х₁ + х₂)² + (y₁ + у₂)²]^1/2³ (х₁ + х₂)² + (у₁ + у₂)²

разделив обе части на общий множитель

[(х₁ + х₂)² + (у₁ + у₂)²]^1/2 ,

будем иметь

(х₁² + у₁²)^1/2 + (х₂² + у₂²)^1/2 ³ [(х₁ + х₂)² + (у₁ + у₂)²]^1/2

таким образом, мы еще раз доказали неравенство треугольника. Равенство опять будет иметь место тогда и только тогда, когда х₁ = кх₂ и у₁ = ку₂, где к – неотрицательный коэффициент пропорциональности, другими словами, тогда и только тогда, когда три точки О, Р и Q лежат на одной прямой, причем точки Р и Q расположены по одну сторону от точки О.
Неравенство Минковского.



Неравенство Минковского утверждает, что для любых неотрицательных чисел х₁, у₁, х₂, у₂ при любом р > 1

          (х₁^р + у₁^р)^1/р + (х₂^р + у₂^р)^1/р ³ [(х₁ + х₂)^р + (у₁ + у₂)^р]^1/р             (1)

Неравенство треугольника составляет частный случай неравенства Минковского для р = 2 и их доказательства подобны.

Запишем тождество

(х₁ + х₂)^р + (у₁ + у₂)^р = [х₁(х₁ + х₂)^р-1 + у₁(у₁ + у₂)^р-1] ×

× [х₂(х₁ + х₂)^р-1 + у₂(у₁ + у₂)^р-1]

и применим неравенство Гёльдера к каждому члену правой части этого тождества. В результате получим:

(х₁^р + у₁^р)^1/р= [ (х₁ + х₂)^(р-1)q + (у₁ + у₂)^(р-1)q]^1/q ³  х₁(х₁ + х₂)^р-1 + у₁(у₁ + у₂)<sup>р-1

и</sup>

(х₂^р + у₂^р)^1/р= [ (х₁ + х₂)^(р-1)q + (у₁ + у₂)^(р-1)q]^1/q ³  х₂(х₁ + х₂)^р-1 + у₂(у₁ + у₂)^р-1

Так как   , то (p – 1)q = p. Складывая последние два неравенства, имеем

[(х₁ + х₂)^р + (у₁ + у₂)^р]^1/q[(х₁^р + у₁^р)^1/р + (х₂^р + у₂^р)^1/р] ³ (х₁ + х₂)^р + (у₁ + у₂)^р

Разделив затем на [(х₁ + х₂)^р + (у₁ + у₂)^р]^1/q

получим

(х₂^р + у₂^р)^1/р + (х₁^р + у₁^р)^1/р ³ [(х₁ + х₂)^р + (у₁ + у₂)^р]^1-1/q

Так как , то последнее неравенство полностью совпадает с требуемым неравенством Минковского (1).

Знак равенства в неравенстве (1) имеет место тогда и только тогда, когда точки (х₁ у₁) и (х₂ у₂) лежат на одной прямой с точкой (0, 0).

Аналогично обобщением неравенства Гёльдера и неравенства треугольника можно получить и неравенство Минковского для двух систем их n неотрицательных чисел х₁, х₂, … , х_n и у₁, у₂, … , у_n. Оно имеет вид:

[х₁^р + х₂^р +… х_n^р ]^1/р + [у₁^р + у₂^р+… + у_n^р] ^1/р ³

³ [(х₁ + у₁)^р + (х₂ + у₂)^р + … +(х_n + у_n)^р]^1/р , где р ³ 1

При p < 1 знак неравенства следует изменить на обратный.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В дипломной работе изучен и дан анализ самостоятельной работе учащихся наряду с другими формами организации познавательной деятельности. На основе изученной психолого-педагогической  литературы дается характеристика этих форм, разработана методика применения самостоятельной работы вместе с иными формами организации познавательной деятельности на факультативных занятиях в выпускных классах средней школы, изучены учебные возможности учащихся в экспериментальной группе, проведена опытно- экспериментальная работа по включению самостоятельной работы школьников в процесс обучения.

Разработано и проведено 8 занятий по теме «Иррациональные неравенства». На основе изученной литературы дается анализ иррациональных неравенств и способов их решения.

Проведение опытно- экспериментальной работы подтверждает выдвинутую гипотезу. Применение самостоятельной работы учащихся способствует лучшему усвоению знаний, о чем свидетельствуют результаты контрольной работы, способствует повышению активности познавательной деятельности учащихся. Конечно, если бы эксперимент длился дольше, то результаты были бы более ощутимы.
ЛИТЕРАТУРА.
1.         Андреева И.Н. Индивидуальные творческие работы учащихся в обучении // Автореферат, МГПИ- М; 1967

2.       Аношнин А.П. Оптимизация форм организации учебной деятельности школьников на уроке. // Автореферат, ЧГУ- Челябинск: 1986

3.       Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения // Советская педагогика- М.: Просвещение

4.       Верцинская Н.Н. Индивидуальная работа с учащимися- Минск: 1983

5.       Дьяченко В.К. Организационные формы обучения и их развитие. //Советская педагогика- М: Просвещение, 1985, № 9

6.       Дьяченко В.К. Организационная структура учебного процесса и ее развитие- М: Педагогика, 1989

7.       Зотов Ю.Б. Организация современного урока.- М: Просвещение, 1984

8.       Лийметс Х.И. Групповая работа на уроке. – М: Просвещение, 1975

9.       Махмутов М.И. Вопросы организации процесса проблемного обучения. – Казань: Издательство Казанского университета, 1972

10.  Николаева Т.М. Сочетание общеклассной, групповой и индивидуальной работы учащихся на уроке как одно из средств повышения эффективности учебного процесса. //Автореферат, М: 1972

11.  Семенов Н.А. О способах организации обучения. //Советская педагогика, 1966, № 11

12.  Стрезикозин В.П. Организация процесса обучения в школе. //М: Просвещение, 1968

13.  Уфимцева М.А. Формы организации обучения в современной общеобразовательной школе. //М: Просвещение, 1986

14.  Хабиб О.А. Организация учебно-познавательной деятельности учащихся. –М: Педагогика, 1979

15.  Чередов И.М. Методика планирования школьных форм организации обучения. –Омск: Педагогика, 1983

16.  Чередов И.М. Пути реализации принципа оптимального сочетания форм организации учебной деятельности в 5-9 классах. //Автореферат, КГУ, Красноярск, 1970

17.  Чередов И.М. Система форм организации в советской общеобразовательной школе. –М: Педагогика, 1987

18.  Чередов И.М. Формы учебной работы в средней школе. – М: Просвещение, 1988

19.  Ю.В. Нестеренко и др. Задачи вступительных экзаменов по математике //М: Наука, 1980

20.  Белоносов В.С. Задачи вступительных экзаменов по математике в НГУ //Новосибирск, НГУ, 1992

21.  Литвиненко В.Н., Морднович А.Г. Практикум по элементарной математике. //М: Просвещение, 1991

22.  Литвиненко В.Н. Морднович А.Г. Практикум по решению математических задач. //М: Просвещение, 1984

23.  Вересова Е.Е. и др. Практикум по решению математических задач. //М: Просвещение, 1979

24.  Блох А.Ш., Трухан Т.Л. Неравенства //Минск: Народная Асвета, 1972

25.  Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа //М: Просвещение, 1990

26.  Коровкин П.П. Неравенства //М: Наука, 1974

27.  Башмаков М.И. Уравнения и неравенства //М: Наука, 1976

28.  Беккенбах Э., Беллман Р.  Введение в неравенства //М: Мир, 1965

29.   Невежский Г.Л. Неравенства //М: Учпедгиз, 1947

30.  Алгебра, 8 класс //М: Просвещение, 1980

ПРИЛОЖЕНИЕ.

1.    Введение

решить неравенство 

решить неравенство      

решить неравенство   

 решить неравенство

  решить неравенство

 решить неравенство   

 решить неравенство  

 решить неравенство  

Занятие№1

                                             

                                      

                                        

                                                  

                                            

Решение неравенств вида

Решение неравенств вида       

Занятие №2

  

  

  

  

                                      Ответ:

                                      1)

                                      2)

                                      3)

Занятие №3