достаточно малой окрестности точки x₀ .
  Так, на рисунке 3 показаны два минимума: f (x₁) и f (x₃) .
  По определению наибольшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x₀), для которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x₀)³f (x), а наименьшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x₀), для которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x₀)£f (x).
  Из этих определений следует, что функция может достигать своего наибольшего или наименьшего значения как внутри интервала [ a, b ] , так и на его концах a и b. Здесь же максимум и минимум функции f (x) были определены соответственно как наибольшее и наименьшее значения в некоторой окрестности точки x₀ .
  Если в точке x₀ функция f (x) достигает максимума или минимума, то говорят, что функция f (x) в точке x₀ достигает экстремума (или экстремального значения).
  Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала [ a, b ], причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала.
  Аналогично наименьшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из значений функции на концах интервала.

Например функция, изображенная на рисунке 3, достигает наибольшего значения f (x) в точке x₂ , наименьшего - в точке x₁ интервала [ x₀, x₃ ]. На рисунке 5 изображена функция, имеющая бесконечное число минимумов и максимумов.

   Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если функция f (x) имеет в точке x₀ экстремум, то ее производная в данной точке или равна нулю или не существует.
    Но функция f (x) может иметь экстремумы и в тех точках x₀, в которых ее производная не существует. Например функция y = | x | в точке x₀ = 0 не дифференцируема, но достигает минимума. Точки такого типа называют угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.

Рис. 6

  На рисунке 6 изображена функция f (x), не имеющая в точке x₀ производной [f' (x₀) = ¥] и достигающая в этой точке максимума. При x ® x₀ и x < x₀     f' (x) ® +¥, при x ® x₀ и x > x₀     f' (x) ® -¥. Значит касательная кривой y = f (x) при x = x₀ перпендикулярна к оси Ox. Такие точки называются точками возврата кривой y=f(x).
  Таким образом, необходимым признаком существования в точке x₀ экстремума функции f (x) является выполнение следующего условия: в точке x₀ производная f' (x) или равна нулю, или не существует.
  Этот признак не является достаточным условием существования экстремума функции f (x) в точке x₀ : можно привести много примеров функций, удовлетворяющих этому условию при x = x₀ , но, однако, не достигающих экстремума при x = x₀.
  Например, производная функции y = x³ при x₀ = 0 равна нулю, однако эта функция при x₀ = 0 не достигает экстремального значения.

6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции. Достаточные условия экстремума функции.

   Теорема 4.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b) неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом интервале.
   Теорема 5. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом интервале.

   Теорема 6. (первый достаточный признак экстремума). Если производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x₀ или не существует и при переходе через x₀ меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак меняется с "-" на "+").
    Теорема 7. (второй достаточный признак существования экстремума функции). Если в точке x₀ первая производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x₀ функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума, если f ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в точке x₀ и ее окрестности.

6.3 .Правило нахождения экстремума

1°. Чтобы найти экстремум функции, надо:


1) найти производную данной функции;


2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства) по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;


3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных стационарными точками ( стационарными точками называют точки в которых производная равна 0);


4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни максимума, ни минимума, функции;


5) заменить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или минимума функции.


Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых определяется знак производной.

  6.4.Точка перегиба графика функции.

   Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x₀ обращена выпуклостью вверх, если существует такая окрестность точки x₀ , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит под касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x₀. (см. Рисунок 1а).

б   а   Рисунок 1

   Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x₀ обращена выпуклостью вниз, если существует такая окрестность точки x₀ , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит над касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x₀. (см. Рисунок 1б).
   Из определения выпуклости вверх (вниз) кривой y = f(x) в точке x₀ следует, что для любой точки x из интервала (x₀ - h, x₀ + h), не совпадающей с точкой x₀, имеет место неравенство f(x) - y < 0   ( f(x) - y > 0) где f(x) - ордината точки M кривой y = f(x), y - ордината точки N касательной                                  y - y₀ = f '(x₀ )(x - x₀ ) к данной кривой в точке A. (смотри рисунок 1, а, б).
   Ясно, что и наоборот, если для любой точки x интервала (x₀ - h, x₀ + h), не совпадающей с x₀, выполняется неравенство  f(x) - y < 0    (f(x) - y > 0),

то кривая y = f(x) в точке x₀ обращена выпуклостью вверх (вниз).
   Будем называть кривую y = f(x) выпуклой вверх (вниз) в интервале (a, b), если она выпукла вверх (вниз) в каждой точке этого интервала.
   Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх в интервале (a, b), то с увеличением аргумента x угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке с абсциссой x будет уменьшаться.

Рисунок 2.

   В самом деле, пусть абсцисса x₁ точки A меньше абсциссы x₂ точки B (рис. 2). Проведем касательные t₁ и t₂ соответствено в точках A и B к кривой y = f(x). Пусть a и j - углы наклона касательных t₁ и t₂. Тогда из рис. 2 видим, что j - внешний угол треугольника ECD, а поэтому он больше угла a. Следовательно tgj > tga или f '(x₁ ) > f '(x₂ ).
   Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция y = f '(x) убывает. Поэтому вторая производная f ''(x) функции f(x), как производная убывающей фунции f '(x), будет отрицательна или равна нулю в интервале (a, b):  f ''(x)£0.

Рисунок 3.

   Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.2 непосредственно видно, что tga > tgj т.е. f '(x₂ ) > f '(x₁ ), а поэтому в интервале (a, b) производная f '(x) возрастает. Тогда вторая производная f ''(x) функции f (x), как производная возрастающей в интервале (a, b) функции f '(x), будет положительна или равна нулю: f ''(x)³0.
   Докажем, что и наоборот, если f ''(x)£0 в некотором интервале (a, b), то в этом интервале кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх; если f ''(x)³0 в интервале (a, b), то в этом интервале кривая обращена выпуклостью вниз.
   Запишем уравнение касательной y - y₀ = f '(x₀ )(x - x₀ ) к кривой y = f (x) в точке x₀, где a < x₀ b, в виде y = y₀ + f '(x₀ )(x - x₀ ). Очевидно, y₀ = f(x₀ ), а потому последнее уравнение можно записать в виде                  y = f(x₀ ) + f '(x₀ )(x - x₀ ).      (1)

   Но, согласно формуле Тейлора, при n = 2 имеем:

     (2)

Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая почленно из уравнения (2) уравнение (1), получим:   (3)

   Если f ''[x₀ + Q(x - x₀ )]£0, где 0 < Q < 1, то имеем  f(x) - y £ 0

откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вверх.
   Если f ''[x₀ + Q(x - x₀ )]³0, то имеем  f(x) - y ³ 0 откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вниз.
   Так как была зафиксирована произвольная точка x интервала (a, b), то высказанное выше утверждение доказано.

Рисунок 4.

   Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой перегиба кривой (рис.4).  (В этом определении предполагается, что в точке перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот) имеется единственная касательная).
   Теорема 8. Пусть функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f ''(x) и пусть A[x₀ ; f(x₀ )] - точка перегиба кривой y = f(x). Тогда f ''(x₀ ) = 0 или не существует.
   Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая y = f(x) в точке перегиба A[x₀ ; f(x₀ )] переходит от выпуклости вверх в выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x₀ - h, x₀ ) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале (x₀, x₀ +h) - больше нуля.
   Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных значений к положительным, она при x = x₀ обращается в нуль: f ''(x₀ ) = 0.

Рисунок 5.

   На рис.5 изображен график функции . Хотя при x₀ = 0 имеется касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем

Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой перегиба, так как при x < 0   f ''(x) > 0 и кривая выпукла вниз, а при x > 0   f ''(x) < 0 и кривая выпукла вверх.
   Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x) обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой y = f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако это условие не является достаточным.

   Теорема 9. Если вторая производная f ''(x) непрерывна и меняет знак при x = x₀, то точка A[x₀ ; f(x₀ )] является точкой перегиба кривой y = f(x) при условии, конечно, что в точке A существует касательная.
   Доказательство. Пусть например f ''(x) < 0 при x₀ - h < x < x₀ и f ''(x) > 0 при x₀ < x < x₀ + h. Тогда в интервале (x₀ - h; x₀ ) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, а в интервале (x₀ ; x₀ + h) - выпклостью вниз (смотри рис.4), т.е. точка A[x₀ ; f(x₀ )] есть точка перегиба кривой, что и требовалось доказать.

6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика.

   1. Находим область определения функции f(x)
   2. Находим точки пересечения кривой y = f(x) с осями координат и наносим их на чертеж.
   3. Определяем, симметрична ли кривая y = f(x) относительно осей координат и начала координат.
   4. Исследуем функцию y = f(x) на непрерывность. Если функция имеет в точке x₀ разрыв, то отмечаем ее на чертеже.
   5. Находим асимптоты кривой, если они имеются.
   6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой с максимальной и минимальной ординатами.
   7. Исследуем кривую y = f(x) на выпуклость вверх или вниз, находим точки перегиба кривой и отмечаем их на чертеже.
   8. Вычерчиваем кривую y = f(x).

6.6. Касательная и нормаль к плоской кривой.

   Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x₁ ; y₁) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).
   Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x₁ ; y₁) равен значению f '(x₁) производной y' = f '(x) при x = x₁/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде       y - y₁ = f '(x₁)(x - x₁)

   Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен , а уравнение записывается в виде

7.Экономическое приложение производной.

7.1.Экономическая интерпретация производной

В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем.

Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности оказалось можно обнаружить в области предельных величин.

Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Надо заметить, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а  х - количество продукции, тогда D
x- прирост продукции, а D
y - приращение издержек производства.

В этом  случае производная  выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции ,где MC – предельные издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q - количество.

Геометрическая интерпретация предельных издержек - это тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке (см. рис.).

Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер.

Другой пример - категория предельной выручки (MR— marginal revenue) — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к  (n+1)-ой единице продукта.
Она представляет собой первую производную от выручки: .

При этом R= PQ,         где R–выручка (revenue); P–цена (price).

Таким образом  , Þ MR= P.

Это равенство верно относительно условий совершенной конкуренции, когда экономические агенты каждый по отдельности не могут оказать влияния на цену.

Обратимся к теориям потребления: кардиналистской и ординалистской.

Кардиналистский (количественный) подход к теории цен предполагает равное влияние величин полезности товара и затрат на его производства на формирование цены. В основе рассматриваемого подхода - исследования А. Маршалла.

Ординалистский (Порядковый) подход к теории цен разрабатывался И. Фишером, В. Парето. Суть данного подхода состоит в том, что потребители, имеющие определенный уровень доходов, сравнивают между собой цены и полезность различных наборов экономических благ и отдают предпочтение тем наборам, которые при сравнительно низких ценах имеют максимальную полезность для конкретного потребителя.

 В соответствии с первой, суммарную полезность U для любого субъекта, если в экономике существует n потребительских благ в объемах  х₁,  x₂,… х_n, можно выразить в виде кардиналистской функции полезности:

U= U(х₁, x₂,… x_n).

Предельные полезности MU товаров выступают в качестве ее частных производных: . Они показывают, на сколько изменяется полезность всей массы благ, достающихся субъекту, при бесконечно малом приращении количества блага  i (i=1,2…n)

В ординалистской теории полагается, что потребитель оценивает полезность не отдельных благ, а потребительских наборов; что он способен сопоставить полезности наборов товаров.

Ординалистская функция полезности исследована подробно, значительный вклад в ее изучение внес Дж. Хикс. После его трудов началось прогрессирующее вытеснение понятия "предельная полезность" категорией предельной нормы замещения (MRS – marginal rate of substitution).

Предположим, что происходит замещение товара y товаром х при движении сверху вниз вдоль кривой безразличия. Предельная норма замещения товара y товаром x показывает, какое количество товара x необходимо для того, чтобы компенсировать потребительскую утрату единицы товара  y.

Они определяются так:                  .

Т.к. dy отрицательно, знак  "-" вводится, чтобы MRS была больше нуля.

Итак, предельная норма замещения геометрически есть касательная к кривой безразличия в данной точке. Значение предельной нормы замещения по абсолютной величине равно тангенсу угла наклона касательной к кривой безразличия.

Приведем еще один пример элементарного анализа на микроуровне, который имеет аналог и на макроуровне.

Любой индивид свой доход Y после уплаты налогов использует на потребление  C  и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом, как правило, целиком используют его на потребление, так что размер сбережения равен нулю. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и больше сберегает. Как установлено теорией и подтверждено эмпирическими исследования, потребление и сбережение зависят от размера дохода:

Y= C(Y) + S(Y).

Зависимость потребления индивида от дохода называется функцией склонности к потреблению или функцией потребления.

Использование производной позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume), показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода: .

По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Последовательно определяя сбережения при каждом значении дохода, можно построить функцию склонности к сбережению или функцию сбережения.      Долю прироста сбережений в приросте дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS(marginal propensity to save):     .

С увеличением доходов MPS увеличивается.

Еще одним примером использования производной в экономике является анализ производственной функции. Поскольку ограниченность ресурсов принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию - предельный продукт труда MP_L(marginal product of labor) – это дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений труда (L – labor) при неизменной величине капитала:.

Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то , т.к. dY - результат, dL - затраты, то MP_L – предельная производительность труда.

Аналогично, MP_k - предельный продукт капитала - дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда:.

Если вложения осуществляются малыми порциями, то .

MP_k - характеризует предельную производительность капитала.

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Определение:  Эластичностью функции Е_x(y) называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при Dx®0:

.

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y= f(x), при изменении независимой переменной x на 1%.

Приведем несколько конкретных иллюстраций такой зависимости. Прямой коэффициент эластичности спроса по цене устанавливает, на сколько процентов увеличивается (уменьшается) спрос Q на товар i при уменьшении (увеличении) его цены P на 1%:         .

Перекрестный коэффициент эластичности спроса по цене  показывает, на сколько процентов изменится спрос на товар i при однопроцентных колебаниях цены  товара j (j = 1,2,…n):        .

Количественную сторону взаимодействия дохода и спроса отражает коэффициент эластичности спроса по доходу, который указывает, на сколько процентов изменится спрос на i-тый товар Q_i если доход, предназначенный на текущее потребление, изменится на 1%:        .

Можно привести и другие примеры использования производной при фокусировке различных категорий и закономерностей. Дальнейшее раскрытие экономического смысла хотелось бы осуществить через рассмотрение экономической интерпретации математических теорем.

7.2. Применение производной в экономической теории.

Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f’(x₀) = 0.

Один из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода".

То есть уровень выпуска Q_o является оптимальным для производителя, если MC(Q_o)=MR(Q_o),  где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.

Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) — C(Q), где R – прибыль, а C – общие издержки производства.

Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Q_o, при котором функция П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0. Но П’(Q)=R’(Q) - C’(Q), поэтому R’(Q_o) = C’(Q_o), откуда следует, что MR(Q_o) = MC(Q_o).

Другое важное понятие теории производства - это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: “оптимальный объем производства определяется равенством средних и предельных издержек”.

Получим это условие как следствие сформулированной выше теоремы.  Средние издержки AC(Q) определяются как , т.е. издержки по производству всего товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии , откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или , т.е. MC(Q)=AC(Q).

Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в экономической теории.

Один из наиболее знаменитых экономических законов - закон убывающей доходности - звучит следующим образом: "с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает".

Иными словами, величина , где Dy - приращение выпуска продукции, а Dx - приращение ресурса, уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция y= f(x), выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.

Другим базисным понятием экономической теории является функция полезности U= U(x), где  х  - товар, а U – полезность (utility). Эта величина очень субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом: с ростом количества товара, дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной точкой для математического исследования теории спроса и предложения.

7.3. Использование производной для решения задач по экономической теории.

Задача 1.

 Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день.

Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х³+98х²+200х. Удельные затраты составят К/х=-х²+98х+200

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции У= -х²+98х+200. На промежутке [20;90].

Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.

f(20)=1760   f(49)=2601      f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача 2.

Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.

Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

Задача 3.

Спрос-это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара, которое потребители готовы купить при каждой возможной цене, за определенный период времени и при прочих равных условиях.

Зависимость спроса от цены описывается функцией ,

Данная функция исследуется с помощью производной:

Производная меньше нуля, если   P>=0.

Определим точку перегиба функции. Такой точкой является точка (0,5;0,6), т.е. при P<1/2 спрос убывает медленнее, а при P>1/2 спрос убывает все быстрее.

Задача 4.

Выручка от реализации товара по цене p составляет:

 (Денежных единиц), где . Исследуем эту функцию с помощью производной.

Производная этой функции:  положительна, если p<1/2 и отрицательна для p>1/2, это означает, что с ростом цены выручка в начале увеличивается ( несмотря на падение спроса) и  p=1/2 достигает максимального значения   , дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т.как оно ведет к сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной.



 темп положительный              темп отрицательный

На промежутке (0,1/2) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом для , а затем темп убывания становится положительным и для P>0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены.

Для наглядной демонстрации выше сказанного составим таблицу и построим график.

Вывод:

На промежутке (0, 1/2) функция возрастает все медленнее.

Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом, а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р > 0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены. На промежутке функция U(p) вогнута. В точке  график перегибается (см. на рисунке):

8. Применение производной в физике

В физике производная применяется  в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.

Задача

1.

Лестница длиной 5м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец находится на высоте 4м. В некоторый момент времени лестница начинает падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с постоянным ускорением      2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте 2м?

Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте y(0)= 4м, а нижний на расстоянии x(t) от стенки.

Высота y(t) описывается формулой:  ,так как движение равноускоренное.

В момент t: y(t) = 2, т.е. 2 = 4 - t², из которого ;

В этот момент        по т. Пифагора, т.е.

Скорость его изменения

Ответ:

Задача 2

Дождевая капля падает под действием силы тяжести; равномерно испаряясь так, что ее масса m изменяется по закону   m(t) = 1 - 2/3t. (m изменяется в граммах, t - в секундах). Через сколько времени после начала падения кинематическая энергия капли будет наибольшей?

Скорость капли     , её кинетическая энергия в момент t равна

Исследуем функцию   на наибольшее с помощью поизводной:

=0 t₁=0  t₂=1 (t>0)

                            

При t =1 функция Ek(t) принимает наибольшее значение, следовательно кинетическая энергия падающей капли будет наибольшей через 1сек.

Задача 3

Источник тока с электродвижущей силой Е=220 В и внутренним сопротивлением r = 50 Ом подключен к прибору с сопротивлением R.Чему должно быть равно сопротивление R потребителя, чтобы потребляемая им мощность была наибольшей?

По закону Ома сила тока в цепи есть    

выделяемая в потребителе мощность P=I²R, то есть

Исследуем функцию P(R) на наибольшее с помощью производной:    P’(R) = 0 :  r - R = 0, R = r = 50; При R = 50 функция P(R) принимает наибольшее значение. Следовательно, потребляемая мощность будет наибольшей при сопротивлении R =50 Ом.

Ответ: 50 Ом

9. Применение производной в алгебре

9.1. Применение производной к доказательству неравенств.

Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств основано на связи между возрастанием и убыванием функции на промежутке и знаком ее производной. С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:

Теорема 1.  Если функция на некотором интервале имеет производную всюду на , то на монотонно возрастает; если же   всюду на , то на монотонно убывает.

Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:

 Теорема 2.  Если на промежутке  выполняется неравенство , функция и непрерывны в точке  и , то на  выполняется неравенство .

Предлагаю несколько задач на доказательство неравенств с использованием этих теорем.

 Задача 1. Пусть .Докажите истинность неравенства . (1)

Решение: Рассмотрим на  функцию . Найдем ее производную: . Видим, что при . Следовательно,  на  убывает так, что при   . Но    Следовательно неравенство (1)    верно.

Задача 2. Пусть  и положительные числа,  Тогда очевидно, что , . Можно ли гарантировать, что неравенство  (2)

верно а) при  ; б)  при ?

Решение: а) Рассмотрим функцию . Имеем:

Отсюда видно, что при функция возрастает. В частности, она возрастает на интервале   Поэтому при  неравенство (2) справедливо.

б) на интервале  , т.е.  убывает. Поэтому при любых  и , для которых , неравенство (2) неверно, а верно неравенство противоположного смысла: 

Задача 3. Доказать неравенство:  при     (3).

Воспользуемся теоремой 2.  и , верно неравенство :   на промежутке и выполнимо условие  где , в данном случае равно 0. Следовательно неравенство (3) верно. 

Задача 4. Доказать неравенство:     (4).

Решение: ,   ; 

Неравенство  при любых  верно. Значит неравенство (4) верно.

Задача 5. Доказать, что если , то    (5).

Решение: Пусть  Тогда

 

Чтобы найти, при каких значениях  функция положительная, исследуем ее производную . Так как при   то

Следовательно, функция возрастает при . Учитывая, что  и  непрерывна, получаем  , при .

Поэтому   возрастает на рассматриваемом интервале. Поскольку  непрерывна и  то  при . Неравенство (5) верно.

Задача 6. Выясним, что больше при :      или  .

Решение: Предстоит сравнить с числом 1 дробь .

Рассмотрим на  вспомогательную функцию .

Выясним, будет ли она монотонна на отрезке . Для этого найдем ее производную (по правилу дифференцирования дроби):



  при .

В силу теоремы 1 функция  вырастает на отрезке . Поэтому,  при      т.е.

  при  .

При решении задачи (6)встретился полезный методический прием, если нежно доказать  неравенство,  в котором участвует несколько букв, то часто целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква ) считать применимой (чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменяли буквой , а значение остальных букв (в данном случае значение буквы ) считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи применить  указанный прием несколько раз.

Задача 7. Проверить, справедливо ли при любых положительных  неравенство:     (6).

Решение: Пусть  Рассмотрим функцию 

.

При  имеем .

Отсюда видно (теорема 1), что  убывает на  Поэтому при имеем  т.е. мы получили неравенство:

  (7).

Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию   . При   имеем:

Следовательно, убывает на , т.е.  при  значит,     (8),

Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для  выяснения истинности неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое непосредственно вытекает из теоремы 1:

Теорема 3: Пусть функция  непрерывна на и пусть имеется такая точка с из , что на  и на . Тогда при любом х  из  справедливо неравенство  причем  равенство имеет место лишь при .

Задача 8. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х  следующее неравенство:

Решение: Выясним, где функция  возрастает, а где убывает. Для этого найдем производную:

.

Видно, что  на  и  на . Следовательно, в силу теоремы 3  т.е. неравенство (9) справедливо, причем равенство имеет место лишь при .