Программа государственного экзамена по математике

 для студентов математического факультета

Московского городского педагогического университета
Алгебра и теория чисел
1.Группы; примеры и простейшие свойства элементов группы.

2.  Кольца и поля; примеры и простейшие свойства элементов.

3. Арифметические функции: t(n), s(n), j(n).

4. Алгоритм Евклида и его применения.

5. Сравнения и их свойства. Теоремы Эйлера и Ферма.

6.Базис и размерность векторного пространства.

7. Основные теоремы о  системах линейных уравнений.

8. Корни многочлена, теорема Безу, схема Горнера.

9.Разложение многочлена над полем в произведение

неприводимых множителей и его единственность.

10. Теорема о строении простого алгебраического расширения.


1. Группы; примеры и простейшие свойства элементов группы
1⁰
. Определение группы.

Всюду в дальнейшем запись (G, *) означает, что на непустом множестве G задана операция “*”.

Определение. Множество (G, *) называется группой, если выполнены следующие условия:

(1) операция “*” ассоциативна, т.е. ("x, y, zÎG) (x*y)*z = x*(y*z);

(2) множество G обладает нейтральным элементом относительно операции *:

 ($eÎG)("xÎG) x*e = e*x = x;

(3) каждый элемент множества G обладает симметричным элементом:

("xÎG) ($yÎG) x*y = y*x = e.

2⁰
. Примеры групп: числовые группы, группы симметрий геометрических фигур, группы подстановок, матричные группы.

Примеры групп весьма разнообразны. Перечислим некоторые из них.

1. Числовые группы (группы, элементы которых являются комплексными числами).

а) Аддитивные группы целых чисел Z, рациональных чисел Q, действительных чисел R, комплексных чисел C.

б) Мультипликативные группы ненулевых рациональных чисел Q*, ненулевых действительных чисел R*, ненулевых комплексных чисел C*, положительных рациональных чисел Q₊, положительных действительных чисел R₊.

2. Группы подстановок S(X) и S_n, действующих на множестве X, в частности, на множестве {1, 2, . . . , n}.

3.  Группы движений геометрических фигур. Пусть Ф - какая-нибудь геометрическая фигура на плоскости, O(Ф) - множество движений плоскости, переводящих фигуру Ф на себя. Множество O(Ф) относительно операции композиции (последовательного выполнения) движений является группой. Элементы множества O(Ф) часто называются симметриями фигуры Ф.

Рассмотрим, например, группу симметрий правильного треугольника.

Группа симметрий правильного треугольника состоит из шести элементов: трех отражений a, b, g относительно высот треугольника a - отражение относительно AO, b
- BO, g
- CO; и трех вращений с центром с точке O на углы 0, ; их удобно обозначить e, r, s. Для описания умножения элементов группы (G, *) можно использовать так называемую таблицу Кэли (таблицу умножения группы).

Для группы симметрий правильного треугольника таблица Кэли имеет вид:

	e	r	s	a	b	g
e	e	r	s
r	r	s	e
s	s	e	r
a		g		e	s	r
b				r	e
g						e

Заметим, что вращения перемножаются по правилу  r² = s, r³ = e. Далее, квадрат любого отражения равен e.

Легко проверить, чтоa
b
 = s, b
a
 = r. Кроме того, a
r
 = g.

Остальные произведения в таблице легко восстановить, используя, например, групповую структуру операции. В частности, имеем:

a
g
 =a(a
r)  = a²r
 = e
r
=
r;

b
g
 =b(a
r)  = (b
a)r
 = r² =
s.

4.  Группы геометрических преобразований
. Группы вращений, подобий, гомотетий с заданным общим центром, параллельных переносов.


5.  Матричные группы. Укажем на две важнейшие матричные группы:

GL_n(R) - полная линейная группа (группа обратимых матриц),

SL_n(R) - специальная линейная группа

(группа матриц с единичным определителем),


3⁰
. Арифметика группы: обратные элементы, степени с целым показателем.

При описании таблицы Кэли группы симметрий правильного треугольника мы использовали так называемые арифметические свойства элементов группы. Отметим важнейшие из них в следующей теореме.


Теорема. Пусть (G,×) - группа. Тогда для ее элементов справедливы равенства:

(а) (xy)(zt) = x(y(zt) = ((xy)z)t;

(б) (xy)^-1 = y^-1x^-1;

(в) (x^p)^q = x^pq; x^px^q = x^p+q для любых целых p, q.

Доказательство. Проверим только пункт (б). Имеем:

(xy)(y^-1x^-1) = x(yy^-1)x^-1 = x(1)x^-1 = 1,

(y^-1x^-1)(xy) = y^-1(x^-1x)y = y^-1(1)y = 1;

откуда и получаем требуемое утверждение. ÿ

4⁰
. Решение в группах линейных уравнений. В качестве применения простейших свойств приведем следующий простой результат.


Теорема. В произвольной мультипликативной группе G однозначно разрешимо каждое из уравнений:


ax = b, ya = b, где a, b - фиксированные элементы группы.

Доказательство. Допустим, что элемент g удовлетворяет равенству ag = b. Тогда умножая обе части равенства слева на элемент обратный к g, получим

a^-1(ag) = a^-1b, откуда находим g = a^-1b. Легко проверить, что элемент a^-1b является решением уравнения ax = b, т.е. справедливо равенство a(a^-1b) = b.

Аналогично доказывается разрешимость второго уравнения. ÿ

Примеры. 1. Решить уравнение (12)x = (13)  в группе подстановок S₃.

Имеем: x = (12)(13) = (123).

2. Решить уравнение r
x = a  в группе симметрий правильного треугольника.

Имеем: x = r
^-1a
= g, поскольку s
a  является отражением и

C(s
a) = (Cs)a = Ba = C.

3. Решить уравнение X = в группе GL₂(R).

Имеем:

X = ==.




2.  Кольца и поля; примеры и простейшие свойства элементов
1⁰
. Определение кольца и поля.

Определение. Непустое множество A, на котором заданы операции сложения и умножения, называется кольцом, если выполнены следующие два условия:

а) (A, +) - абелева группа;

б) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.  для любых элементов x, y, z из A выполнены равенства: (x + y)z = xz + yz; x(y + z) = xy + xz.

Определение. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения в нем коммутативна; кольцо называется ассоциативным, если операция умножения в нем ассоциативна. Кольцо называется кольцом с единицей, если оно обладает нейтральным элементом относительно умножения.

Определение. Пусть A - ассоциативное кольцо с единицей 1. Элемент aÎA называется обратимым, если существует элемент bÎA такой, что ab = ba = 1.

Легко проверить, что элемент b, о котором идет речь находится однозначно, поэтому он обозначается a^-1 и называется элементом обратным к a.

Важнейшим типом колец являются поля.

Определение. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей называется полем, если в нем всякий ненулевой элемент обратим.


2⁰
. Примеры колец: числовые кольца, кольца многочленов, кольца последовательностей и функций, кольца матриц, кольца вычетов.

Если группы появляются, прежде всего, как группы обратимых отображений, то возникновение понятия кольца связано с изучением важнейших числовых систем и многочленов.

1. Числовые кольца (кольца, элементы которых являются комплексными числами):

а) (классические числовые кольца) кольцо целых чисел Z, кольцо рациональных чисел Q, кольцо действительных чисел R, кольцо комплексных чисел C.

б) кольцо Z[i] целых гауссовых чисел вида a + bi, где a, b - целые числа;

г) кольцо Z[]  действительных чисел вида a + b с целыми a, b.

2. Кольца многочленов R[x], Q[x], Z[x], C[x]  от одной переменной x с действительными, рациональными, целыми и комплексными коэффициентами.

3. Кольца последовательностей и функций. Среди этих колец выделим особо:

а) кольцо последовательностей действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения последовательностей;

б) кольцо ограниченных последовательностей действительных чисел;

в) кольцо фундаментальных последовательностей;

г) кольцо непрерывных действительно-значных функций на отрезке [0 , 1].

4. Кольца матриц. Среди разнообразных матричных колец выделим следующие:

а) полное матричное кольцо M_n(A) над кольцом A или кольцо квадратных матриц порядка n с элементами из кольца A, в качестве кольца коэффициентов A можно рассматривать, в частности, любое числовое кольцо;

б) кольцо D_n(A) диагональных матриц, т.е. матриц, у которых вне главной диагонали находятся только нулевые элементы;

в) кольцо

	3	-5	0	-7	0	12
1	3	-2	-2	-9	-9	3
-1	3	-8	8	-15	15	-3
2	3	1	2	-3	-6	0

	1	-1	-6	-1	3
-1	1	-2	-4	3	0

	1	-2	-4	3
-1	1	-3	-1	4

	1	-2	-4	3
3	1	1	-1	0

Пример. Разложить x⁶ - 1 на неприводимые множители над Q.

Решение. x⁶ - 1 = (x³ - 1)(x³ + 1) = (x - 1)( x² + x + 1)(x + 1)( x² - x + 1).

2⁰
. Каноническое разложение числа.

Обозначим через  p(k) - множество неприводимых нормированных многочленов над полем k.

Тогда произвольный многочлен f представим в виде произведения

c, где a_i ³ 0, p_i Î p(k), cÎk.

Указанное разложение однозначно определяется многочленом f и называется его каноническим разложением; число a_i называется показателем p_i  в каноническом разложении.

Канонические разложения удобны для доказательства различных свойств делимости и вычисления НОД и НОК. Приведем важнейшие из них.

1⁰. f := c делит g := d Û a₁ £ b₁, a₂ £ b₂, . . . , a_n £ b_n.

Доказательство. Пусть g = fh, a₁ > b₁, h := e. Тогда b₁ = a₁ + c₁ > b₁, что невозможно. Обратное утверждение очевидно. ð

2⁰. Пусть имеются канонические разложения многочленов f и g:

f = c,  g = d.

Тогда

НОД(f, g) = ,  НОК(f, g) = ,

где c_i = min (a_i, b_i), d_i = max (a_i, b_i).

Доказательство. Пусть j
=  , где c_i = min (a_i, b_i). Тогда по свойству 1⁰  многочлен j
является делителем многочленов f и g и всякий общий делитель f и g делит многочлен j.  Следовательно, j
= НОД(f, g).

Аналогично доказывается и второе утверждение. ð

Из свойства 2⁰  немедленно вытекает свойство

3⁰. (Связь между НОД и НОК).

НОД(f, g) × НОК(f, g) = f × g.




10. Теорема о строении простого алгебраического расширения
1⁰
. Понятие минимального многочлена.

Пусть a - алгебраическое число над полем k, т.е. корень ненулевого многочлена с коэффициентами из поля k.

Определение. Нормированный многочлен m(a, k, x) над полем k называется  минимальным многочленом числа a, если выполнены  условия:

а)
m(x) - неприводим над полем k, т.е. не разлагается в произведение многочленов  положительной  степени  с  коэффициентами из k;

б) m(a) = 0, т.е. a - корень многочлена
m(x).

Примеры.

a	i		- 1	i +
m(a, Q, x)	x2 + 1	x2 - 5	x2 + 2x - 1	x4 - 4x2 + 16

2⁰
. Основные свойства минимальных многочленов.

1. Если  f(x) Î k[x] и f(a) = 0, то f(x) делится на минимальный  многочлен m(х) числа a.

Доказательство. В самом деле, предположив, что f не делится на m, запишем

f  = m
g + r, deg r < deg m

на основании теоремы о делении с остатком. Откуда r(a)=0. Поскольку многочлены r и m  взаимно просты, то у них не может быть общих корней - противоречие.

2. Допустим, что a - алгебраическое число, а g(x) - нормированный многочлен наименьшей положительной степени такой, что g(x) Î k[x] и g(a) = 0. Тогда g(x) - минимальный многочлен числа a.

Доказательство немедленно вытекает из свойства 1.

3. Минимальный  многочлен алгебраического числа a над данным полем определен однозначно.

Для доказательства достаточно применить свойство 2.

Определение. Степень  минимального многочлена числа a называется степенью числа a; обозначение deg
_k a.

4. a Î k Û deg _k a = 1.

Доказательство немедленно получается из определений.

5. Если  a - алгебраическое число степени n, то 1, a, a², ..., a
^n-1 линейно независимы над полем k, т.е. ("c₀, c₁, ..., c_n-1 Îk) c₀ + c₁a + ... + c_n-1a
^n-1 = 0    возможно только в случае  c₀ =  c₁ = . . . = c_n-1 = 0.

Доказательство. Действительно, если указанные степени числа a
линейно зависимы, то это число является корнем некоторого многочлена над k, степени меньшей чем m.

6. Пусть a - алгебраическое число, f(x) Î k[x] и f(a) ¹ 0. Тогда дробь  представима в виде  = g(a)  для некоторого g(x) Î k[x].

Доказательство. В самом деле, многочлены f и m взаимно просты (иначе f делился бы на m), значит, по теореме о линейном представлении НОД: для некоторых многочленов g и h над k верно равнство

fg + m
h = 1.

Откуда f(a) g(a) = 1, что и требовалось.

3⁰
. Строение простых алгебраических расширений.

Определение. Пусть k - подполе в L; a Î L. Наименьшее подполе в L, содержащее число a
и подполе k, обозначаемое k(a), называется простым расширением поля k (говорят также, что k(a) получено присоединением к полю k числа a).

Из приведенных свойств легко вывести теорему.

Теорема (о строении простого алгебраического расширения).

Для любого алгебраического числа
a
над полем k линейное пространство k(a) обладает базисом из элементов вида

1, a, a², . . . , a
^n-1, где n =deg_k a.

Доказательство. Легко понять, что k(a) состоит из дробей f(a)/g(a), где f(x), g(x) - многочлены над полем k и g(a) ¹ 0. Обозначим через k[a] - кольцо значений многочленов в точке a, т.е. k[a] = { f(a)½f(x)Î k[x]}.

Из свойства 6 вытекает равенство k(a) = k[a]. Из теоремы о делении с остатком следует, что значение произвольного многочлена над полем k в точке a
является линейной комбинацией над полем k указанных в теореме степеней элемента a. Наконец, из свойства 5 следует линейная независимочть над полем k этих степеней. ÿ

4⁰
. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

Разберем различные способы решения задачи об освобождении от иррациональности в знаменателе дроби. Принципиальная возможность ее решения вытекает из теоремы о строении простого алгебраического расширения.

Пример 1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:


.

Решение. Обозначим через c число , и воспользуемся известной формулой суммы членов геометрической прогрессии:

1+ c + c²+ c³+ c⁴ = (c⁵ - 1)/(c - 1) = 1/(c - 1),

следовательно,
.

Пример 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:


.

Решение. Обозначим через c число , и запишем сначала дробь




в виде суммы простейших:


.

Теперь, используя схему Горнера, каждую из указанных дробей можно заменить на многочлен относительно c. Сначала разделим c⁵ - 2 на c + 1:

	1	0	0	0	0	-2
-1	1	-1	1	-1	1	-3

следовательно,


 = c⁴ - c³ + c² - c + 1.

Теперь разделим c⁵ - 2 на c + 2:

	1	0	0	0	0	-2
-2	1	-2	4	-8	16	-34

следовательно,

= c⁴ - 2c³ + 4c² - 8c + 16.

Тогда получаем


= 34(c⁴ - c³ + c² - c + 1) - 3(c⁴ - 2c³ + 4c² - 8c + 16) =

 = 31c⁴ - 40c³ + 22c² - 10c - 14,

т.е.
 .

Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:


.

Решение. Обозначим через c число . Найдем линейное представление НОД многочленов f(x) = x³ - 2 и g(x) = 1 + 2x - x²:

f(x) = - g(x)×(x + 2) + r(x), где r(x) = 5x

-5g(x) = r(x)×(x - 2) - 5.

Из этих равенств, получаем линейное представление НОД f(x) и g(x):

f(x)×(x - 2) + g(x)×(x² + 1) = 5.

Подставляя в последнее равенство вместо x число c, получим


= c² + 1,

следовательно,
=
.

Пример 4. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

.

Решение. Обозначим через c число и применим метод неопределенных коэффициентов. По теореме о строении простого алгебраического расширения существуют рациональные числа x, y, z такие, что

 = xc² + yc + z или     89 = (c² + 16c - 11)(xc² + yc + z).

Раскрывая скобки и используя равенство c³ = 2, получаем:

89 = (32x + 2y - 11z) + (2x - 11y + 16z)c + (-11x + 16y + z)c².

Так как числа 1, c, c²  линейно независимы над Q имеем

32x + 2y - 11z = 89,               2x - 11y + 16z = 0,

-11x + 16y + z = 0.

Решением последней системы является набор чисел (3, 2, 1). Значит, получаем ответ: .