Следовательно:

 




2.4.



Наложить на ограничение, такое чтобы присутствие  не влияло на поведение функции.





Рассматривая полученное выражение можно заметить что



становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части

как только           .                                                  Ограничение №1

В тоже время



Становится бесконечно малым как только       .   Ограничение №2

Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что

должен быть очень малым при то есть

 

так как  ограниченная функция, к 0 должен стремится  .

 



                                                                                  Ограничение №3

Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:

Следовательно,  ограничение на  удовлетворяющее поставленной задаче, при котором присутствие не влияет на поведение функции .


§ 3 Рассмотрим поведение  функции

для случаев:

3.1)  







3.
2)  










3.3)   



Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе:

=

=

 







рассматривая пределы при  видим что на поведение функции оказывает влияние только главный член



Поведение данной функции при  эквивалентно поведению функции

                                      (*)

Вычислим интеграл в знаменателе:

=





                                    (**)

Учитывая (*)и (**) получаем





Следовательно, по формуле (2) получаем
3.4  

 



Отдельно вычислим числитель и знаменатель:

По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл не оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что числитель эквивалентен выражению:

Вычислим знаменатель:



Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:



По пункту 2.4 можем вывести что второй интеграл не влияет на поведение функции при

 Следовательно, знаменатель:








§4. Рассмотрим поведение второй производной

Для облегчения вычислений введем обозначения:

    

    

    

    

При этом формула для примет вид                                (6)

4.1



















Виду того, что d(
x) очень мал то  будет несравним с d(
x) т.е.




4.2













используя равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное равенство, приходим к выражению:



(Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные в пунктах 2.2 и 3.2).

Отсюда следует что
4.3





Используя данные, полученные в п.3.3 получаем что





Возвращаясь к п. 3.3 находим:







Вычисляя по формуле 6, получаем:



и
4.4















и




Заключение

В результате проведенного исследования поведения усредненной функции в случае осциллирующих коэфициентов, получены данные приведенные в следующей таблице: