Вариант № 7

                                                  
Задание:
1.      Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров системы.

2.      Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики в зависимости от параметров системы.

3.      Исследовать поведение предельных циклов. Доказать их существование/несуществование.

4.      Построить фазовые портреты системы при всех возможных параметрах системы.

5.      Дать биологическую интерпретацию полученным результатам.
1.      Вводим новые переменные x à Ax, y à By, t à Tt и переписываем систему:

                        
2.      Нахождение неподвижных точек преобразованной системы
2.1    x=0,y=0      ==>   O(0,0)

2.2       

P

2.3       

Q
3.      Характеристики неподвижных точек

Запишем Якобиан нашей системы


3.1       

3.2       

3.3       
Проведем дополнительное исследование, обозначив на параметрическом портрете возможные области значений .
а) точка О – сток, как было показано выше;

б) точка Р:

     

      Область 1:  

      Область 2:   

                              Точка Р – исток (неуст. узел)

      Область 3:

                                    Точка Р – седло

       в) точка Q:

            Область 1:            

            Область 2:

            Область 3:    

                                      

                                    Точка Q – исток ( неустойчивый узел)

             Кроме того, при поиске собственных значений Якобиана возникает уравнение

                                               

            Решение уравнения D<0 производилось графически , поскольку аналитическое решение в этом случае представляется затруднительным. Для этого использовался математический пакет Maple 6. При фиксированном значении  были рассмотрены точки ()области 3, для которых проверялось неравенство D<0. Таким образом, как видно из рисунка, в 3-ей области появляется подобласть 3’. Неравенство D<0 выполняется в области 3 – 3’ , где вещественные части собственных значений будут положительны. В этой области точка Q превращается в неустойчивый фокус.
           
Запишем результаты исследования характеристик точек в таблицу:

\Область Точка	1	2	3	3 – 3’
O	сток	сток	сток	сток
P	не сущ.	исток	седло	седло
Q	не сущ.	не сущ.	исток	неуст. фокус

4.1  Параметрические области системы


4.2      Область 1:


4.3   Область 2:


4.3      Область 3’ :


4.5   Область 3 – 3’  :


5. Биологическая интерпретация модели.
    
            Данная система представляет собой модель взаимного влияния в природе двух животных видов – хищников и жертв. Как видно из рисунков, в этой системе оба вида вымирают. Предельных циклов в системе нет. X – жертвы, Y – хищники. Динамику взаимодействия двух видов описывают три функции: g(x) – функция динамики численности жертв, p(x) – трофическая функция жертв (характеризует число жертв убитых одним хищником), q(x) – трофическая функция хищников (характеризует влияние числа жертв, убиваемых одним хищником, на изменение численности популяции хищников).