Теорема Безу

  Этьен   Безу–
 французский математик, член Парижской Академии Наук( с 1758 года ), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.

    С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

    Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре,  они  посвящены  созданию  теории  решения  алгебраических  уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей , развивал теорию исключения  неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал  теорему  (впервые  сформулированную       К. Маклореном ) о том , что две кривые порядка  m  и  n   пересекаются не более чем в   mn   точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе . Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.

Теорема    Безу.

       Остаток  от  деления  полинома P
n(
x
)

      на двучлен  (
x
-
a
)  равен  значению 

      этого полинома  при  
x
=
a
.

Пусть :

            P
n(
x
) – данный многочлен степени   n ,

            двучлен  (x
-
a
)  -   его делитель,

            Q
n-1
(
x
) – частное от деления  Pn
(
x
)  на  x
-
a   (многочлен  степени  n-1 ) ,

            R – остаток от деления ( R  не  содержит  переменной x  как делитель первой степени  относительно x ).
Доказательство :
    Согласно правилу деления многочленов с остатком  можно записать :

                        P
n
(x)  = (x-a)Q
n-1
(x) + R .

Отсюда  при    x
=
a
  :

                       Pn

(a)  = (a-a)Q
n-1
(a) + R  =0*Q
n-1
(a)+R=

                                 =0+
R
=
R
.

           

Значит ,  R
=  P
n 
(
a
) ,  т.е.  остаток  от  деления  полинома      на     (x
-
a
)    равен       значению     этого

полинома   при   x
=
a ,    что   и    требовалось  доказать .


Следствия  из  теоремы .
Следствие 1 :


         Остаток  от деления  полинома P
n
(
x
) 

        на   двучлен  
ax
+
b
  равен    значению  

        этого    полинома    при       
x
= -
b
/
a
,

       т
. е.     R=Pn

(-b/a) .




Доказательство :
   Согласно  правилу  деления  многочленов : 

             P
n 
(x)= (ax + b)
*
Q
n-1 
(x) + R .  

При  x= -b/a :  

             Pn  (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R.   Значит ,    R = Pn (-b/a) , что  и  требовалось доказать.

Следствие 2
:


          Если   число   a
   является  корнем

        многочлена    
P

(
x
) ,     то 
   
этот 

        многочлен  делится  на    (
x
-
a
)   без 

       остатка .


Доказательство :
    По  теореме  Безу  остаток  от  деления   многочлена  P
(
x
)  на      x
-
a    равен   P

(
a
) ,  а  по  условию  a
 является  корнем P
(
x
) ,  а  это  значит ,  что  P
(
a
) = 0 ,   что  и  требовалось  доказать . 

 

   Из  данного  следствия  теоремы   Безу  видно ,  что  задача   решения  уравнения  P
(
x
) = 0  равносильна   задаче выделения  делителей  многочлена    P ,     имеющих        первую       степень  ( линейных  делителей ) .
Следствие 3
:


           Если      многочлен    P
(
x
)     имеет 

          попарно       различные        корни

         
a
1
,
a
2
, … ,
a
n

,   то он делится  на 

          произведение          (
x
-
a
1
) … (
x
-
a
n
)

          без     остатка .


Доказательство :


    Проведём  доказательство  с  помощью  математической  индукции  по  числу  корней .  При   n
=1  утверждение  доказано  в  следствии 2  .    Пусть  оно  уже  доказано  для  случая , когда  число  корней  равно  k ,  это  значит ,  что  P(x)     делится   без    остатка     на    (x
-
a
1
)(
x
-
a
2
) … (
x
-a
k) , где

 a1
, a
2
, … , ak

 -  его корни .

     Пусть  P
(
x
)  имеет     k
+1    попарно  различных  корней .По  предположению  индукции  a
1
, 
a
2
,  a
k , … , a
k+1     являются  корнями многочлена,  а , значит, многочлен  делится  на произедение   (x
-
a
1
) … (
x
-a
k) ,  откуда выходит ,      что     

                       P(x) = (x-a
1
) … (x-ak)Q(x).

При  этом  a
k+1 – корень  многочлена   P
(
x
) ,  т. е.                                                                                                                                                                                                 P
(a
k+1
) = 0 .

Значит ,   подставляя   вместо   x
    a
k+1  ,  получаем  верное  равенство :        

                        P(ak+1
) = (a
k+1
-a
1
) … (a
k+1
-a
k
)Q(a
k+1
) =

                                    =0 .

Но  a
k+1  отлично  от  чисел   a
1
, … , a
k ,  и  потому   ни  одно  из  чисел    a
k+1
-
a
1
, … ,  a
k+1
-a
k   не  равно  0 .  Следовательно ,  нулю  равно   Q
(a
k+1
) ,  т. е.  a
k+1 – корень  многочлена   Q
(
x
) . А  из  следствия 2   выходит ,   что    Q
(
x
)   делится  на     x
-a
k+1   без остатка .    

             Q
(
x
) = (
x
-a
k+1
)
Q
1
(
x
) ,     и  потому    

             P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =

                    =(
x
-
a
1
) … (
x
-a
k)(
x
-a
k+1
)
Q
1
(
x
) .

    Это    и    означает ,    что    P
(
x
)     делится     на   (x
-
a
1
) … (
x
-a
k+1
)    без  остатка . 

   Итак,   доказано ,  что  теорема  верна  при     k
=1 ,   а  из  её   справедливости   при    n
=
k   вытекает ,  что   она  верна  и  при  n
=
k
+1.  Таким  образом,  теорема  верна  при   любом  числе   корней ,  что  и   требовалось  доказать .
    
Следствие 4
:


           Многочлен  степени   n
   имеет   не  более

          
n
   различных корней .
Доказательство :
   Воспользуемся методом от противного: если  бы  многочлен    P
n(
x
)   степени   n   имел  бы   более  n  корней   -  n
+
k  (a
1
,
a
2
 , … ,
a
n
+
k

   -  его   корни ) ,  тогда  бы по  ранее  доказанному      следствию 3    он  

бы   делился  на произведение      (x
-
a
1
) … (
x
-
a
n
+
k
) ,    имеющее   степень  n
+
k
, что  невозможно .

  Мы  пришли  к  противоречию ,  значит  наше  предположение  неверно  и   многочлен  степени  n  не  может  иметь  более ,  чем    n  корней ,  что   и  требовалось  доказать .
Следствие 5
:


         Для      любого    многочлена     P
(
x
) 

        и      числа     
a
       разность 

        (
P
(
x
)-
P
(
a
))        делится       без  

        остатка    на   двучлен    (
x
-
a
) .

Доказательство :
   Пусть   P
(
x
) – данный  многочлен  степени  n  ,   a  -  любое число .

    Многочлен   P
n(
x
)   можно   представить   в   виде :                                                                                                                                                          P
n(
x
)=(
x
-
a
)Q
n-1
(
x
)+
R ,   

       где    Q
n-1
(
x
) – многочлен ,  частное  при   делении  P
n(
x
)  на  (x
-
a
) ,  

                      R – остаток   от   деления   P
n(
x
)   на   (x
-
a
) .

    Причём  по  теореме  Безу :  

                      R = Pn(a) ,  т.е.

                  P
n(x)=(x-a)Qn-1
(x)+Pn(a) .  

Отсюда 

      Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,

а это и означает делимость без остатка ( P
n(
x
) – P
n(
a
) )

на  (x
-
a
) ,   что   и   требовалось   доказать .
Следствие 6
:


         
Число    
a
      является    корнем 

           многочлена      
P
(
x
)       степени

           не    ниже    первой    тогда     и 

           только       тогда ,         когда 

          
P
(
x
)       делится       на       (
x
-
a
)  

           без      остатка .

Доказательство :
  Чтобы  доказать  данную  теорему  требуется  рассмотреть необходимость и достаточность   сформулированного   условия .



 1.Необходимость .
     Пусть  a – корень  многочлена    P
(
x
) ,    тогда  по  следствию  2     P
(
x
)     делится   на      (x
-
a
)      без    остатка .

      Таким   образом   делимость     P
(
x
)    на     (x
-
a
)    является   необходимым   условием   для   того ,  чтобы   a  являлось  корнем  P
(
x
) ,   т.к.   является   следствием  из  этого .


2.Достаточность .
    Пусть   многочлен   P
(
x
)    делится   без   остатка  на  (x
-
a
),

тогда      R
= 0 ,   где  R – остаток   от   деления     P
(
x
)    на  (x
-
a
) ,   но  по  теореме  Безу   R
=
P
(
a
) ,  откуда  выходит ,  что    P
(
a
) = 0 ,   а  это  означает ,              что    a    является   корнем P
(
x
) .

    Таким  образом  делимость    P
(
x
)    на    (x
-
a
)   является и достаточным  условием  для  того ,   чтобы   a   являлось  корнем    P
(
x
) .
     Делимость   P
(
x
)  на  (x
-
a
)   является  необходимым  и  достаточным   условием   для   того,  чтобы   a   являлось  корнем  P
(
x
) ,   что  и  требовалось  доказать .

Следствие 7(авторское)
:


         Многочлен ,  не   имеющийй    действи-

       тельных       корней ,     в      разложении 

       на  множители линейных  множителей 

       не  содержит .
Доказательство :
   Воспользуемся методом от противного: предполо-жим , что не имеющий корней многочлен P
(
x
) при  разложении   на   множители  содержит   линейный множитель  (x
–
a
):

                          P(x) = (x – a)Q(x),

тогда бы он  делился  на   (x
–
a
) ,  но  по следствию 6    a    являлось  бы   корнем   P
(
x
) ,  а  по  условию  он  корней  не содержит . Мы  пришли  к  противоречию ,  значит  наше  предположение  неверно  и  многочлен ,

не  имеющий   действительных  корней , в разложении  на  множители  линейных  множителей не содержит ,  что  и  требовалось  доказать .
   На     основании     теоремы   Безу  и  следствия 5 можно   доказать  следующие  утверждения:
1. Разность    одинаковых   натуральных  степеней   
на  разность  их  оснований  делится  без  остатка :
 Пусть           P(x) = xⁿ ,     P(a) = aⁿ ,

тогда   xⁿ –
aⁿ
     –   разность  одинаковых  натуральных   степеней .

   По  следствию 5

                         P(x) -  P(a) = xⁿ – aⁿ = (x – a)Q(x) , 


а  это значит ,  что 

                           (xⁿ–aⁿ)/(x–a)=Q(x),                         т.е.  разность  одинаковых  натуральных  степеней на     разность их  оснований  делится  без  остатка ,  что   и   требовалось   доказать .

 Итак   

 (xⁿ – aⁿ)/(x – a) = x^n-1 + ax^n-2 + a²x^n-3 + … +a^n-2x + a^n-1.
2. Разность  одинаковых  чётных  степеней  на  сумму  их  оснований  делится  без  остатка .
   Пусть           P(x) = x^2k ,  тогда
   P(a) = a^2k .

Разность  одинаковых        чётных    степеней x
^2
k
-
a
^2
k равна   P
(
x
) –
P
(
a
) .


P(a) = a^2k = (-a)^2k = P(-a) ,
т
.е. x^2k - a^2k = P(x) – P(-a).

   По  следствию 5

                       P(x) -  P(-a) =  (x –(- a))Q(x)=

                                            = (x + a)Q(x) 

а  это значит ,  что

                            x^2k – a^2k = (x + a)Q(x)  или

                           (x^2k – a^2k)/(x + a) = Q(x) ,

т.е.   разность  одинаковых  чётных  степеней    на  сумму  их  оснований  делится  без  остатка ,  что   и   требовалось   доказать .

 Итак ,   

 (x^2k – a^2k)/(x + a) = x^2k-1 – ax^2k-2 + … +a^2k-2x + a^2k-1.

3. Разность  одинаковых  нечётных натуральных степеней  на  сумму  их  оснований  не  делится .
   Пусть   P
(
x
) =
x
^2
k
+1
-
a
^2
k
+1
–   разность  одинаковых        нечётных    степеней .

   По   теореме  Безу    при    делении     x^2k+1 - a^2k+1  на     x
+
a
=
x
– (-
a
)     остаток  равен

                              R = P(-a) = (-a)^2k+1 – a^2k+1 = -2a^2k+1

Т. к.  остаток  при  делении  не  равен  0 ,   то  разность  одинаковых нечётных натуральных степеней  на  сумму  их  оснований  не  делится ,  что и   требовалось  доказать .
4. Сумма  одинаковых  нечётных натуральных степеней  на  сумму  их  оснований   делится   без  остатка .


Пусть           P
(
x
) =
x
^2л+1
,    
P
(-
a
) = (-
a
)^2л+1 = -а^2л+1 ,

тогда      P
(
x
) –
P
(-
a
) =  x
^2
k
+1
+
a
^2
k
+1       –   сумма  одинаковых  нечётных натуральных   степеней .

   По  следствию 5

                 P(x) -  P(-a) = x^2k+1 + a^2k+1= (x –(- a))Q(x)=                                                                              


                                    = (x + a)Q(x),    

а  это значит ,  что 

                           (x^2k+1 + a^2k+1)/(x + a) = Q(x) ,

т.е.   сумма  одинаковых  нечётных  натуральных  степеней    на  сумму  их  оснований  делится  без  остатка ,  что   и   требовалось   доказать .

 Итак ,   

 (x^2k+1 + a^2k+1)/(x + a) = x^2k - ax^2k-1 + … - a^2k-1x + a^2k.

5. Сумма  одинаковых  чётных натуральных степеней  на  сумму  их  оснований  не  делится .
   Пусть   P
(
x
) =
x
^2
k
+
a
^2
k
–   сумма  одинаковых        чётных    степеней .

   По   теореме  Безу    при    делении     x
^2
k
+
a
^2
k
 на     x
+
a
=
x
– (-
a
)     остаток  равен

                              R = P(-a) = (-a)^2k + a^2k = 2a^2k.

Т. к. остаток  при  делении  не  равен   0 , то сумма  одинаковых  чётных  натуральных степеней  на сумму

их оснований не делится, что и требовалось  доказать.

    Остановимся  на  рассмотрении  некоторых  случаев   применения   теоремы   Безу  к  решению  практических   задач .
Пример 1.

   Найти  остаток  от  деления  многочлена

               x
³
  – 3
x
²
+ 6
x
– 5


на  двучлен   x – 2 .
    По  теореме  Безу 

                        
R = P₃ (2) = 2³ – 3*2² + 6*2 – 5 = 3
.

Ответ:  R = 3 .
Пример 2.

    Найти  остаток  от   деления  многочлена

                32
x
⁴
– 64
x
³
+ 8
x
²
+ 36
x
+ 4

на  двучлен  2
x – 1 .
   Согласно  следствию 1  из  теоремы  Безу

        
R=P₄(1/2)=32*1/2⁴–64*1/2³ + 8*1/2²+36*1/2+4=   

= 2 – 8 + 2 + 18 + 4 =18 .

Ответ:  R
= 18 .

Пример 3.

   При  каком  значении  a  многочлен 

                    x⁴ + ax³ + 3x² – 4x – 4

делится  без  остатка  на  двучлен  x – 2 ?
  По теореме Безу 

                   R
=
P
₄
(2) = 16 + 8
a
+ 12 – 8 – 4 = 8
a
+16.                                         

Но  по  условию     R = 0 ,    значит

            8a + 16 = 0 ,

отсюда

            a = -2 .


Ответ: a = -2 .

Пример 4.

   При  каких  значениях   a   и   b   многочлен

                      ax³ + bx² – 73x + 102

делится  на  трёхчлен 

                      x
²
– 5
x
+ 6       без  остатка ?
Разложим  делитель  на  множители :

                                  x² – 5
x + 6 = (
x – 2)(
x – 3) .

Поскольку  двучлены    x – 2   и   
x – 3    взаимно  просты ,  то  данный   многочлен   делится   на   x – 2     и     на     x – 3 ,   а    это     значит ,    что 

по  теореме  Безу

   

      R₁ = P₃ (2) = 8a + 4b – 146 + 102 =

           = 8a + 4b – 44 = 0

  

      R₂ = P₃ (3) = 27a+9b – 219 + 102 =

           =
27a +9b -117 =0
Решим систему уравнений :
    
8a + 4b – 44 = 0

     27a + 9b – 117 = 0

 

     2a + b = 11

     3a + b = 13     
Отсюда  получаем :

                              
a = 2 ,
b = 7 .
Ответ:  a = 2 ,  b = 7 .

Пример 5.
   При  каких  значениях   a
  и   b   многочлен

                                  x⁴ + ax³ – 9x² + 11x + b

делится  без  остатка  на  трёхчлен 

                                  x² – 2x + 1     ?
  Представим  делитель  так :

                                    x
²
– 2
x
+ 1 = (
x
– 1)²


Данный  многочлен  делится  на    x
– 1  без  остатка ,

если  по  теореме  Безу
   R₁ = P₄ (1) = 1 + a – 9 + 11 + b = a + b + 3 = 0.

  

Найдём  частное  от  деления  этого  многочлена  на x – 1 :

    


_  x⁴ + ax³–9x² + 11x–a –3  x – 1

    x⁴ – x³                                           x³+(a+1)x²+(a–8)x+(a+3)                                

    _(a + 1)x³ – 9x²

      (a + 1)x³ – (a + 1)x²

                      _(a – 8)x² + 11x

                        (a – 8)x2 – (a –8)x

                                        _(a + 3)x – a – 3

                                          (a + 3)x – a – 3

                                                      0

   Частное     

                 x³+(a+1)x²+(a–8)x+(a+3)    

                                                      делится   на   (x
– 1)  без  остатка ,  откуда

     R₂ = P₃ (1) = 1 + (a + 1)*1 +(a – 8)*1 + a+3 = 

                     =3a – 3 = 0 .

        

        a + b + 3 = 0

        3a – 3 = 0
        a + b =-3

        a = 1

Из  системы :  a
= 1 ,  
b
= -4

Ответ:  a = 1 ,  b = -4 .
Пример 6.

   Разложить на множители многочлен                            P
(
x
) =
x
⁴
+ 4
x
²
– 5 .
  Среди  делителей  свободного  члена число 1   является   корнем  данного  многочлена   P
(
x
) ,  а это  значит ,   что  по   следствию 2  из  теоремы  Безу   P
(
x
)   делится  на  (x
– 1)   без  остатка :
           _x
⁴
+ 4
x
²
– 5 
x
– 1  

            
x
⁴
–
x
³
         
x
³
+
x
²
+ 5x + 5

             _
x
³
+ 4
x
²
– 5

              
x
³
–
x
²


              _5
x
²
– 5

                5
x
²
– 5
x


                _5
x
– 5

                  5
x
– 5

                           0

      P
(
x
)/(
x
– 1) =
x
³
+
x
²
+ 5
x
+ 5 ,  значит

                                     P(x) = (x – 1)(x³ + x² + 5x + 5).
  Среди  делителей  свободного  члена многочлена       x
³
+
x
²
+ 5
x
+ 5      
x
= -1   является  его  корнем ,  а это  значит ,   что  по   следствию 2  из  теоремы  Безу      x
³
+
x
²
+ 5
x
+ 5    делится  на  (x
+ 1)   без  остатка :
      

           _x
³
+
x
²
+5
x
+ 5
x
+ 1

            
x
³
+
x
²
            
x
²
+5

                        
_5x + 5

                           5
x
+ 5

                                  0


     (x
³
+
x
²
+5
x
+ 5)/(
x
+ 1) =
x
²
+5 , 

                           значит

                                     x
³
+
x
²
+5
x
+ 5 = (
x
+1)(
x
²
+5).

Отсюда

            P(x) = (x – 1)(x +1)(x² +5) .
По  следствию 7    (x
²
+ 5)  на  множители  не  раскладывается ,  т.к.  действительных  корней  не  имеет ,  поэтому  P
(
x
) далее  на  множители  не  раскладывается .
Ответ :    x
⁴
+ 4
x
²
– 5 = (
x
– 1)(
x
+1)(
x
²
+5) .
Пример 7.
   Разложить на множители многочлен                                                                                    P
(
x
) =
x
⁴
+ 324 .
   P
(
x
)   корней  не  имеет , т.к.   x
⁴  не может быть равен  -324 , значит ,  по  следствию 7   P
(
x
)  на  множители  не  раскладывается .
Ответ :  многочлен на множители не раскладывается .
Пример 8.
  Какую   кратность   имеет   корень   2      для   многочлена

               P(x) = x⁵  - 5x⁴ + 7x³ – 2x² + 4x – 8 .


Определение:  Если многочлен 
P
(
x
) делится  без  остатка на (
x
–
a
)
^k
,  но  не делится на   (
x
–
a
)
^k
+1
, то  говорят ,  что  число  a
 является  корнем  кратности 
k
  для
P
(
x
).


              _x⁵  - 5x⁴ + 7x³ – 2x² + 4x – 8  x – 2

                x
⁵
 - 2
x
⁴
                               
x
⁴
– 3
x
³
+
x
²
+ 4

                     _-3
x
⁴
+ 7
x
³
– 2
x
²
+ 4
x
– 8

                       -3x⁴ + 6x³

                                  _x³ – 2x² + 4x – 8

                                    x
³
– 2
x
²


                                                 _4x – 8

                                                   4x – 8

                                                          0

               _x⁴ – 3x³ + x² + 4  x – 2

                 x⁴ – 2x³               x³ – x² – x – 2

                       _-x³ + x² + 4

                         -x³ +2x²

                               _-x² + 4

                                 -x² + 2x

                                  _-2x + 4

                                    -2x + 4

                                           0



                  _ x³ – x² – x – 2  x – 2

                     x³ – 2x²           x² + x + 1

                   _x² – x – 2

                     x² – 2x

                           _x – 2

                             x – 2 

                                 0


   x
²
+
x
+ 1  на  x
– 2  не  делится ,  т.к. R
=2² + 2 + 1= 

                                                                                =7.

  Значит ,  P
(
x
)/(
x
– 2)³ =
x
²
+
x
+ 1 ,  т.е.  корень  2  имеет  кратность  3  для  многочлена  P
(
x
) .
Ответ:  корень  2  имеет  кратность  3  для  многочлена  P
(
x
) .
 

Пример 9.

   Составить  кубический  многочлен ,  имеющий  корень  4  кратности  2  и  корень  -2 .
   По  следствию 3 ,  если  многочлен  P
(
x
) имеет  корень  4  кратности  2  и корень –2 ,  то  он  делится  без  остатка  на   (x
– 4)²(
x
+ 2) , значит 

                                           P(x)/(x – 4)²(x + 2) = Q(x) ,

т.е.     P(x) = (x – 4)²(x + 2)Q(x) =

                  = (x² – 8x +16)(x + 2)Q(x) =

                  = (x³ – 8x² + 16x +2x² – 16x + 32)Q(x) =

                  = (x³ – 6x² + 32)Q(x).
(
x
³
– 6
x
²
+ 32)  -  кубический многочлен , но  по условию P
(
x
) – также кубический многочлен,  следовательно ,  Q
(
x
) – некоторое действительное  число .

Пусть   Q
(
x
) = 1 ,   тогда  P
(
x
) =
x
³
– 6
x
²
+ 32 .
Ответ:  x
³
– 6
x
²
+ 32 .
Пример 10.
   Определите  a  и  b  так ,  чтобы  -2  было корнем  многочлена   P(
x) =
x
⁵  +
a
x
² + bx + 1,  имеющим  по  крайней  мере  кратность  два .
   Если  -2  –  корень  многочлена  P
(
x
)  кратности  два ,  то  по  следствию 3  P
(
x
)  делится  на  (x
+ 2)² без  остатка (R
= 0)

          (x
+ 2)² =
x
²
+ 4
x
+ 4
               _x⁵  + a
x²
+ bx + 1
x² + 4x + 4

                  x⁵  + 4x⁴ + 4x³       x³ – 4x² + 12x – (a + 32)

                _-4x⁴–4x³–ax²+bx+1

                  -4x⁴ – 16x³ – 16x²

                     _12x³ + (16 – a)x² + bx + 1

                       12x³ +48x² + 48x

                       _-(a + 32)x² + (b – 48)x + 1

                         -(a + 32)x² – 4(a + 32)x – 4(a + 32)

                                                  

                                     (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129


R = (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129 =

                                           = (4a +b + 80)x + 4a + 129

Но  R = 0 ,  значит

                       (4a +b + 80)x + 4a + 129 = 0   при  любых  x .

      Это  возможно  при  условии ,  что

                                                           4a +b + 80 = 0 ,

                                                           4a + 129 = 0


   Решим  систему  двух  уравнений :
          4a +b + 80 = 0            a = -32,25

          4a + 129 = 0               b = 49


Ответ:    a = -32,25 ,   b = 49 .
   Из  рассмотренных  примеров  видно ,  что  теорема   Безу   находит   применение   при    решении   задач ,  связанных  с делимостью  многочленов   (нахождение  остатка  при  делении  многочленов ,  определение  кратности  многочленов  и  т.д. ) ,   с   разложением   многочленов  на  множители ,   с   определением   кратности  корней  и многих  других .

    Теорема  Безу  находит   применение  при   рассмотрении  одной  из  важнейших  задач  математики – решении   уравнений .

Литература.

1.  Бородин А.И., Бугай А.С.

Биографический  словарь деятелей в области            математики.

                                                      

2.  Математическая энциклопедия.
3.  Яремчук Ф.П., Рудченко П.А.

 Алгебра и элементарные функции.
4.   Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С.,  Шварц-                                                                                                                         бурд С.И.

Алгебра и математический анализ.

                                  

5.   Курош А.Г.

Курс высшей алгебры.