ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦИФРОВОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к курсовой работе

по курсу

“Теория автоматического управления”

для студентов специальности 7.091 401
560 IF S = 2 THEN T(3) = .8 * T(3)

570 IF S > 2 THEN T(3) = .7 * T(3)

580 X3 = LOG(1 / T(3))

590 PRINT "T(1)="; T(1); "T(2)="; T(2); "T(3)="; T(3)

600 PRINT "Cкобка в знаменателе (Т(3)*Р+1) должна возводиться в степень (n-m)"

610 PRINT "n-m="; S

620 FOR I = 1 TO M

630 K = 3 + M

640 PRINT "T("; K; ")="; T(K)

650 NEXT I

660 PRINT "Wc="; OC; "LgWc="; XC

670 PRINT "Lg(1/T1)="; X1; "Lg(1/T2)="; X2; "Lg(1/T3)="; X3

680 END
О Г Л А В Л Е Н И Е
1. Введение

2. ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
3. ПОРЯДОК РАСЧЕТА СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ

            3.1. Разработка функциональной схемы.

            3.2. Выбор исполнительного двигателя.

            3.3. Выбор усилителя мощности.

            3.4. Составление передаточных функций элементов следящей системы

            3.5. Расчет последовательного непрерывного корректирующего звена методом ЛАЧХ

            3.6. Моделирование следящей системы с непрерывным  последовательным корректирующим звеном

            3.7. Определение дискретной передаточной функции корректирующего звена

            3.8. Моделирование цифровой следящей системы.

            3.9. Получение рекуррентного уравнения цифрового корректирующего звена. 

            3.10. Разработка принципиальной схемы цифровой следящей системы.

ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Введение

Цель курсовой работы - получить навыки расчета линейных систем автоматического управления с цифровым корректирующим звеном, роль которого может выполнять микропроцессор, управляющая вычислительная машина, или любое специализированное цифровое управляющее устройство.

В соответствии с заданием необходимо разработать следящую систему, удовлетворяющую определенным техническим условиям. Система должна обеспечивать синхронное и синфазное вращение двух осей, механически не связанных между собой. Входом системы является угол поворота сельсина-датчика, а выходом - угол поворота выходного вала редуктора, механически связанного с рабочим механизмом и с ротором сельсина-приемника.

Следящие системы рассматриваемого типа широко применяются для дистанционного управления различными механизмами, а также при построении автоматических систем управления в различных отраслях промышленности.

Для обеспечения заданных показателей качества переходного процесса в систему вводится цифровое управляющее (корректирующее) звено. Расчет корректирующего звена проводится методом логарифмических частотных характеристик, разработанным для расчета непрерывных систем управления. Использование данного метода для расчета цифрового корректирующего звена основано на предположении о том, что при малом периоде квантования по времени цифровая система по своим свойствам приближается к непрерывной, а при достаточно большом числе цифровых разрядов вычислительного устройства нелинейностью, вносимой квантованием сигналов по уровню, можно пренебречь. Современный уровень развития цифровой вычислительной техники позволяет применять в управляющем вычислительном устройстве период квантования непрерывных сигналов по времени порядка 0,01-0,001с. , что обычно является вполне достаточным для обеспечения адекватности по динамическим свойствам цифровой и непрерывной систем.
190 PRINT "Введите величину макс. перерегулирования"

200 PRINT "Сигма макс.,% ="

210 INPUT SM

220 IF SM = 10 THEN C = 5: L1 = 18

230 IF SM = 15 THEN C = 4.4: L1 = 15

240 IF SM = 20 THEN C = 4: L1 = 13.5

250 IF SM = 25 THEN C = 3.6: L1 = 12

260 IF SM = 30 THEN C = 3.2: L1 = 11

270 IF SM = 35 THEN C = 3: L1 = 10.5

280 IF SM = 40 THEN C = 2.8: L1 = 10

290 PRINT "Порядок астатизма NU="

300 INPUT NU

310 PRINT "Коэффициент усиления желаемой системы Кс="

320 INPUT KC

330 PRINT "Время регулирования TR="

340 INPUT TR

350 M1 = .434

360 OC = C * 3.14 / TR

370 XC = LOG(OC) * M1

380 B = 20 * XC

390 X2 = (B - L1) / 20

400 T(2) = 1 / (10 ^ X2)

410 A = 20 * LOG(KC) * M1

420 X1 = (L1 + 40 * X2 - A) / 20

430 T(1) = 1 / (10 ^ X1)

440 X3 = (L1 + 20 * XC) / 20

450 T(3) = 1 / 10 ^ X3

460 IF NU = 1 THEN GOTO 490

470 X1 = (40 * X2 + L1 - A) / 40

480 T(1) = 1 / (10 ^ X1)

490 M = 0

510 FOR I = 1 TO N

520 IF T3(I) <= T(3) * .75 THEN M = M + 1: T(3 + M) = T3(I)

540 NEXT I

550 S = N - M
2330 PRINT "T2("; I; ")="

2340 INPUT T(I)

2350 NEXT I

2420 GOTO 2120

           

Построение логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) последовательного корректирующего звена проводится в такой последовательности.

            1. Строится ЛАЧХ заданной (нескорректированной)  системы.

            2. Строится желаемая ЛАЧХ по заданным показателям качества переходного процесса.

            3. Строится ЛАЧХ последовательного корректирующего звена путем графического вычитания ЛАЧХ заданной системы из желаемой ЛАЧХ.

            4. По виду ЛАЧХ корректирующего звена определяется его передаточная функция (непрерывная).
3.5.1. Построение ЛАЧХ заданной системы

по виду передаточной функции
Передаточную функцию разомкнутой системы нужно представить в виде произведения передаточных функций типовых динамических звеньев (ограничимся случаем,  когда в системе отсутствуют
колебательные звенья и звенья с запаздыванием). Например, пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Построение удобно проводить в такой последовательности.

            1. Определить сопрягающие частоты  w_i=1/Т_i  и отложить их по оси абсцисс в логарифмическом масштабе (Т_i  -  постоянные времени передаточной функции   К_з(Р) ).

            2. Отложить точку A1  с координатами  w_A1=1c^-1  и  L(w_A1)=20lgК_з      ( см. рис. 3).  Через точку   A1   провести  прямую   с   наклоном  -20 дБ/дек. Построенная таким образом прямая линия совпадает с ЛАЧХ при частотах, меньших первой сопрягающей частоты (по порядку их расположения на оси частот слева направо).

            3. На частоте сопряжения w_i  характеристика меняет свой наклон либо на +20 дБ/дек, если постоянная времени Т_i=1/ w_i   находится в числителе исходной передаточной функции,  либо  на  -20 дБ/дек, если постоянная времени Т_i  находится в знаменателе передаточной функции.

Для исследования системы на устойчивость по амплитудно-фазовому критерию устойчивости с помощью логарифмических частотных характеристик необходимо кроме ЛАЧХ построить еще логарифмическую фазо-частотную характеристику (ЛФЧХ).  По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе (используют ту же ось частот, что и для построения ЛАЧХ), а по оси ординат откладывают аргумент амплитудно-фазовой характеристики j(w)  в градусах или в радианах в линейном масштабе.  Для рассматриваемого примера j(w)  рассчитывается по формуле
j(w)= - 90 - arctgT_у w - arctgT_кзw - arctgT_дw     (гр.) .
            такту k  моменты времени.

Из последнего уравнения выразим U[k]:
            U[k]=(S0X[k-n]+S1X[k-n+1]+...+SmX[k-n+m] -                (7)

             - G0U[k-n]-G1U[k-n+1]-. . .-Gn-1U[k-1])/Gn

Уравнение (7) является рекуррентным уравнением, описывающим алгоритм работы цифрового корректирующего устройства. По нему должна быть составлена программа работы данного устройства.
3.10. Разработка принципиальной схемы цифровой
следящей системы

На принципиальной схеме должны быть изображены сельсин-датчик и сельсин-трансформатор, фазовый детектор, АЦП, цифровой вычислитель, ЦАП, электронный усилитель мощности, ЭМУ, двигатель, редуктор.

Проводить расчет электронных схем и изображать их развернутые принципиальные схемы не требуется.
Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 766 с.

2. Батоврин А.А., Дашевский П.Г. и др. Цифровые следящие системы судовой автоматики. Л. : Судостроение, 1972. 445 с.
Если в результате моделирования дискретной системы качество переходного процесса окажется хуже заданного, то нужно ввести в корректирующее звено изменения. Изменения нужно вносить в непрерывную передаточную функцию, пересчитывая ее затем в дискретную. При высокой колебательности процесса можно попробовать изменить в ту или иную сторону наименьшие постоянные времени знаменателя. В некоторых случаях дает хороший результат отбрасывание наименьших постоянных времени в числителе и знаменателе.
3.9. Получение рекуррентного уравнения

цифрового корректирующего звена

Пусть дискретная передаточная функция имеет вид (3). Уравнение (3) запишем следующим образом:
                         ,                   (5)
где     U(Z)  -  Z-изображение выходной величины цифрового корректирующего устройства;

          X(Z)  -  Z-изображение входной величины корректирующего устройства.

Перепишем уравнение (5), избавившись от знаменателя в левой и правой частях:
     U(Z)(G0+G1Z+...+GnZⁿ)=X(Z)(S0+S1Z+...+SmZ^m) .                      (6)
Раскрыв скобки, поделив левую и правую части уравнения на Zⁿ   и перейдя от изображений к оригиналам, получим:
              G0U[k-n]+G1U[k-n+1]+...+GnU[k]=

              =S0X[k-n]+S1X[k-n+1]+...+SmX[k-n+m]

здесь  X[k] ,  U[k]   -  значения входной и выходной величин в  произвольный такт времени  k ,  X[k-1], X[k-2] . . .,  U[k-1], U[k-2] . . . - значения входной и выходной величин в предшествующие



3.5.2. Построение желаемой ЛАЧХ
При построении желаемой ЛАЧХ выделяют три области: область низких частот, область средних частот и область высоких частот. Вид ЛАЧХ в каждой из областей по разному влияет на качество системы. В области низких частот вид ЛАЧХ определяет точность работы системы в установившихся режимах. Область средних частот определяет динамические свойства системы (быстродействие, колебательность). Вид ЛАЧХ в области высоких частот практически мало влияет на качество системы.

Построение желаемой ЛАЧХ удобно начинать с области средних частот в такой последовательности.

По заданным величинам  s_max   и  t_р  определяем с помощью табл. 1 частоту среза  w_с .

Например, пусть задано, что  s_max=30 %  ,  t_р=1,5 с.  Из табл.1 для  s_max =30%   определяем    t_рw_с/p=3,2,   откуда следует:

                                       w_с= 3,2p/1,5=6,7 c^-1 .

                                                                                                  Таблица 1

smax  , %	10	15	20	25	30	35	40
tрwс/p	5	4,4	4	3,6	3,2	3	2,8
L1,  дБ	18	15	13,5	12	11	10,5	10
q,  гр	85	80	65	55	45	40	35

Наносим на ось абсцисс частоту среза w_с   и проводим через нее прямую линию с наклоном  -20 дБ/дек  (рис.3).

Частота w₂ ,  ограничивающая область средних частот желаемой ЛАЧХ слева определяется величиной отрезка  L₁,  которая может быть найдена в зависимости от заданной величины s_max   из табл.1. Частота w₃,  ограничивающая область средних частот справа, определяется величиной отрезка  L₂,  при этом .

В области высоких частот желаемую ЛАЧХ нужно строить в виде прямолинейных  отрезков  с наклоном, кратным  -20 дБ/дек.  (т.е.   -40,  - 60,  -80  и т.д.) ,  таким образом, чтобы разность характеристик желаемой и заданной  в  пределе при w ® ¥   составляла  прямую линию, параллельную оси частот.

           

В области низких частот желаемая ЛАЧХ строится следующим образом. По заданной величине коэффициента усиления системы К_с=w_оmax/x_max

определяем величину  L_A2=20LgK_c  и отмечаем на чертеже точку A₂  c координатами   w_A2=1 c^-1  и  L_A2 (cм. рис.3). Через точку  A₂  проводим прямую линию с наклоном  -20 дБ/дек.

От точки  М, ограничивающей область средних частот слева, проводим прямую линию с наклоном  -40дБ/дек  до пересечения с низкочастотной частью желаемой ЛАЧХ.

Рис.3.     а-а-а . . . - ЛАЧХ заданной (неизменяемой части) системы;

               б-б-б . . . - ЛАЧХ желаемая;

               с-с-с . . .  - ЛАЧХ последовательного корректирующего звена
Порядок полинома знаменателя n должен быть не меньше порядка полинома числителя и не больше 5.

В программу нужно ввести также период квантования по времени Т0. Как уже было сказано ранее, чем меньше Т0 , тем более дискретная система приближается по своим свойствам к непрерывной. Однако при слишком малых значениях Т0  процессор в реальной системе может не успевать выполнять все необходимые вычисления. Кроме того, при уменьшении Т0 увеличивается число шагов переходного процесса. Так как вычисления проводятся по рекуррентным формулам, неизбежные ошибки вычислений накапливаются от шага к шагу и при чрезмерно большом числе шагов ошибка вычислений может превысить допустимую величину (система может оказаться неустойчивой, либо с неудовлетворительным качеством переходного процесса). В силу сказанного, Т0 не должно быть слишком мало. Рекомендуется выбирать Т0 в пределах (0,1 - 0,01)/wc , где  wс - частота среза скорректированной системы.

3.8. Моделирование цифровой следящей системы

После того как дискретная передаточная функция определена можно приступить к моделированию цифровой следящей системы. Рекомендуется проводить моделирование, используя специализированные пакеты программ: MATLAB-simulink, либо ДИСПАС.

В пакете MATLAB-simulink дискретное звено, также как и непрерывные звенья, набирается по коэффициентам передаточной функции. Никаких дополнительных элементов, учитывающих преобразование сигналов из непрерывных в дискретные и наоборот, вводить в модель не требуется. Все преобразования в системе производятся автоматически.

В пакете ДИСПАС дискретное звено вводится тремя элементами: преобразователем непрерывный сигнал - код, вычислителем и преобразователем код -  непрерывный сигнал.

Вычислитель задается рекуррентным уравнением, которое нужно определить из дискретной передаточной функции (см. п.3.9).

ДИСПАС позволяет моделировать дискретное звено, порядок которого не более 3.
Если окажется , что показатели качества скорректированной системы хуже заданных, то нужно вносить в коррекцию соответствующие изменения. Так, если перерегулирование оказалось больше заданного, то нужно увеличивать  отрезки L1 и L2. Если время регулирования оказалось больше заданного, то нужно увеличивать частоту среза желаемой ЛАЧХ.
3.7. Определение дискретной передаточной функции

корректирующего звена

Для получения дискретной передаточной функции звена по его непрерывной передаточной функции рекомендуется воспользоваться билинейным преобразованием. Для этого нужно в непрерывную передаточную функцию корректирующего звена сделать подстановку

Для проведения подобных расчетов можно воспользоваться программой (см. приложение 4), написанной на языке BASIC.

Искомая передаточная функция в общем случае имеет вид:
                                           (3)
C помощью программы определяются коэффициенты  S_i    и  G_i   передаточной функции (3).

Непрерывная передаточная функция может быть задана либо в форме (2) постоянными времени числителя и знаменателя и коэффициентом усиления звена, либо в форме дробно-рациональной функции коэффициентами полиномов числителя и знаменателя:
                                         (4)

Если в задании на разработку следящей системы указана максимально допустимая ошибка слежения Хmax  при условии, что  входной сигнал  может изменяться с максимальной угловой скоростью womax и с максимальным угловым ускорением eomax , то  для выполнения этих требований необходимо, чтобы желаемая ЛАЧХ не попадала бы в запретную область.

Запретная область строится следующим образом. Отмечаем на чертеже точку В с координатами:
                      .
От точки В вправо проводим прямую линию с наклоном
-40 дБ/дек, а влево - прямую линию с наклоном -20 дБ/дек.

Если ЛАЧХ, построенная по заданному коэффициенту Кс , попадает в запретную область, то это означает, что при данном коэффициенте Кс  заданная точность слежения не может быть обеспечена и нужно его увеличить, т.е. поднять желаемую ЛАЧХ так, чтобы она не попадала в запретную область.

По виду ЛАЧХ желаемой можно записать передаточную функцию непрерывной скорректированной (желаемой) системы. Для рассматриваемого примера (кривая  б-б-б... рис.3) передаточная функция имеет вид:
                                          (1)
Для определения передаточной функции желаемой системы можно воспользоваться программой , приведенной в приложении 4. Программа написана на языке BASIC  и позволяет найти постоянные времени T1, Т2, Т3  желаемой передаточной функции по показателям качества sm  и tp. При этом передаточная функция записывается в виде
                                                            (2)
Типовая желаемая ЛАЧХ, по которой записана передаточная функция (2), показана на рис. 4.

Показатель степени k определяется наклоном заданной ЛАЧХ в области высоких частот.

Рис 4. Типовая ЛАЧХ желаемой следящей системы
Для обеспечения заданных показателей качества переходного процесса скорректированная система должна обладать определенным запасом устойчивости по фазе.  Необходимая величина запаса устойчивости по фазе (q) для заданной величины максимального перерегулирования указана в табл.1. После построения желаемой ЛАЧХ нужно рассчитать и построить  ЛФЧХ скорректированной системы и определить q .
3.5.3. Расчет последовательного корректирующего звена
ЛАЧХ последовательного непрерывного корректирующего звена строится путем графического вычитания из ЛАЧХ желаемой ЛАЧХ заданной части системы ( на рис.3  -  линия  с-с-с...).

По виду ЛАЧХ  нужно записать передаточную функцию непрерывного последовательного корректирующего звена.  Для ЛАЧХ
с-с-с... на рис.3 передаточная функция имеет вид:
                          (2)
Коэффициент  К_кор определяется из соотношения:    20lgК_кор=L₃ .

Эту же передаточную функцию можно получить, если передаточную функцию желаемую К_ж(Р) поделить на передаточную функцию заданной части системы  К_з(Р).
3.6. Моделирование следящей системы с непрерывным

последовательным корректирующим звеном
Для того, чтобы убедиться, что коррекция системы проведена правильно и скорректированная система имеет показатели качества переходного процесса не хуже заданных, нужно провести моделирование. Рекомендуется моделировать скорректированную систему на ПЭВМ, используя специализированные пакеты программ ДИСПАС или
Matlab simulink.