Академия ФСО России
Кафедра Физики
Тема: «Резистивные электрические цепи и методы их расчета».

 

 

 

Орел-2009

Содержание
Введение
Методы расчета простых резистивных цепей
Расчет резистивных электрических цепей методом токов ветвей
Метод узловых напряжений (МУН)
Заключение
Литература

ВВедение
Резистивными называются электрические цепи, в схему замещения которых входят только элементы активного сопротивления и источники. Чаще всего это цепи, составленные из резисторов. Основной особенностью резистивных цепей является отсутствие накопителей энергии – индуктивностей и емкостей. Поэтому в специальной литературе такие цепи часто называют цепями "без памяти".
Анализ резистивных цепей представляет собою простую задачу, так как колебания в резистивных цепях описываются линейными алгебраическими уравнениями. Полученные при рассмотрении резистивных цепей методы анализа колебаний и основные теоремы теории цепей в дальнейших темах будут распространены на цепи общего вида. В этом прежде всего ценность результатов анализа колебаний в резистивных цепях.

Методы расчета простых резистивных цепей
Простыми резистивными цепями называются такие цепи, элементы которых соединены или только последовательно, или только параллельно, или только последовательно и параллельно.
Параллельное (последовательное) соединение нескольких однотипных элементов может быть заменено одним элементом. Поэтому простую цепь с одним источником путем объединения элементов, включенных только параллельно или только последовательно, можно свести к цепи, содержащей лишь один элемент. Резистивные цепи, которые указанным путем не могут быть сведены к одному элементу активного сопротивления, называются сложными.
Расчет простых резистивных цепей с одним источником производится с использованием закона Ома. При наличии нескольких источников используется метод наложения.
Рассмотрим методы расчета простых цепей на примерах, употребляя для краткости термины "резистор" вместо термина "элемент активного сопротивления".
Параллельные цепи
Пусть электрическая цепь содержит два резистора и источник тока (рис. 1.1).


Рис. 1.1.
Определим напряжение в цепи и токи в ветвях, если значения сопротивлений резисторов и задающий ток источника известны. Учитывая заданное направление тока  и выбранное направления токов  и , составляем уравнение  по первому закону Кирхгофа:
 откуда
Для резисторов выбрана  согласная система отсчетов и поэтому:
   .
Тогда                        
Следовательно, эквивалентное сопротивление двух параллельно соединяемых резисторов определяется из соотношения:
,
и равно отношению произведения соединяемых сопротивлений к их сумме:
.
Напряжение цепи находится  как произведение тока источника на эквивалентное сопротивление:
Токи в ветвях вычисляются по закону Ома:
   .
При дальнейшем использовании эти выражения условимся называть правилом деления тока между двумя ветвями, или просто правилом деления тока: ток в данной ветви пропорционален отношению сопротивления соседней ветви к сумме сопротивлений обеих ветвей.
Если использовать проводимости ветвей  и , то правило деления тока можно записать так:
    .
Ток в данной ветви пропорционален отношению проводимости этой ветви  к сумме проводимостей ветвей. Последние соотношения можно объединить в одно: , где  – эквивалентная проводимость цепи.
Для n параллельно соединенных резисторов: .
Последовательные цепи
Пусть несколько резисторов соединены последовательно (рис. 1.2).


Рис. 1.2.
Определим ток в цепи и напряжения на резисторах, если значения сопротивлений и Э.Д.С. источника известны.
По второму закону Кирхгофа получим:
 или
Учитывая, что , выражение принимает вид:
.
Отсюда получается известная формула:

где  – эквивалентное сопротивление цепи.
Напряжение на любом резисторе
.
Последовательная резистивная цепь может использоваться как делитель напряжения, причем правило деления напряжения таково: напряжение на данном резисторе пропорционально отношению его сопротивления к эквивалентному сопротивлению цепи.
Параллельно-последовательные цепи
При расчете параллельно-последовательной цепи с одним источником необходимо путем объединения сопротивлений свести цепь или к параллельному или к последовательному соединению, сопротивления для которых уже известны.


Рис. 1.3.
Например, в схеме рис. 1.3 заменяем последовательное соединение резисторов  и  одним элементом с сопротивлением . Затем объединяем параллельное соединение элементов  и .

Наконец, заменяем последовательное соединение элементов  и  одним элементом с сопротивлением .
Тогда токи в резисторах  и  вычисляем по правилу деления тока :
;     .
Токи  и  находим по правилу деления тока :
;  
Напряжения на резисторах по известным токам в них  вычисляются по закону Ома.
Расчет резистивных электрических цепей методом токов ветвей
Расчет сложных резистивных цепей, т. е. цепей, не сводящихся к последовательному  или параллельному соединению элементов, основывается на использовании законов Кирхгофа. Если цепь имеет  элементов, то для нее по 1-му и 2-му законам Кирхгофа можно составить  линейно независимых уравнений. Используя закон Ома, эти уравнения можно записать относительно искомых токов ветвей или относительно искомых напряжений  на зажимах элементов. В методе токов ветвей (элементов) неизвестными, подлежащими определению, являются токи в элементах цепи. Существо метода рассмотрим на примере цепи, называемой удлинителем (схема рис. 1.4).


Рис. 1. 4.
Зададим (произвольно) направления отсчета токов в  каждом элементе. Направления отсчета напряжений на зажимах каждого элемента выберем так, чтобы  для всех элементов получить согласную систему отсчетов.
Для схемы, приведенной на рисунке 1.4, по первому закону Кирхгофа, можно составить соответственно для узлов 1, 2 и 3 следующие три независимые уравнения:

По второму закону Кирхгофа можно составить три независимых уравнения, так как:

Выберем контуры так, как показано на рисунке 1.4. По второму закону Кирхгофа:

Учитывая, что напряжение на любом резисторе  и перенеся известную величину в правую часть, получим:
.
В результате получено шесть линейно независимых уравнений относительно такого же количества неизвестных токов. Таким образом, система разрешима, и можно найти все токи и по ним вычислить напряжения на резисторах.
Если в цепи имеется источник тока, то в системе уравнений неизвестным будет напряжение на зажимах этого источника, а не ток через источник, поскольку он известен и равен задающему току источника. Общее число неизвестных при этом сохраняется тем же.
Число уравнений, которое необходимо составлять для расчета цепи рассматриваемым методом, равно числу элементов цепи. Поэтому метод токов ветвей используется редко. Можно существенно уменьшить число необходимых уравнений, если применить другие методы анализа цепи.
Метод узловых напряжений (МУН)
В методе узловых напряжений неизвестными, подлежащими определению, являются так называемые узловые напряжения, т. е. напряжения, которые представляют собой разности потенциалов данного узла и узла, принятого за базисный.
Обоснование метода произведем на примере цепи, содержащей только резисторы и источники тока (рис. 1.5).


Рис. 1.5.
В качестве базисного выберем узел 0. Такой выбор обусловлен тем, что к узлу 0 подключено наибольшее количество элементов. Введем узловые напряжения  Количество узловых напряжений на единицу меньше числа узлов цепи.
Чтобы выяснить правила составления уравнений для узловых напряжений, введем в рассмотрение согласную систему отсчета направлений токов и напряжений.
По первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2, 3:

Токи резистивных ветвей, подключенных к базисному узлу, выразим через узловые напряжения и проводимости ветвей:
;   ;  
Токи остальных ветвей (элементов) выразим через межузловые напряжения и проводимости элементов.
;   ;  
Каждое из межузловых напряжений можно определить через соответствующие узловые напряжения, так как ;  и т. д. Эти же соотношения получаются и на основании второго закона Кирхгофа. Так, из  следует . Тогда:
;      
Подставим теперь значения токов в исходную систему уравнений 1, 2, 3. После приведения подобных членов и переноса известных величин в правую часть получим систему уравнений для искомых узловых напряжений или систему узловых уравнений цепи:

Эта система из трех уравнений разрешима относительно трех искомых узловых напряжений. Когда узловые напряжения будут найдены, по ним вычисляются токи в ветвях и межузловые напряжения с помощью соотношений, приведенных выше.
Таким образом, в методе узловых напряжений задача расчета цепи решается путем составления  уравнений, тогда как в методе токов ветвей число уравнений равно числу элементов цепи.
Произведем анализ уравнений 1-3 и выясним правила, по которым узловые уравнения можно записывать сразу, без промежуточных выкладок.
Назовем сумму проводимостей ветвей, подключенных к узлу, собственной проводимостью узла. Например, для первого узла собственная проводимость

Проводимость ветви, включенной между двумя узлами, назовем проводимостью связи или взаимной проводимостью узлов. Например, для узлов 1 и 2 взаимная проводимость .
Любое из уравнений 1-3 отвечает следующим правилам.
1. В левую часть уравнения k-го узла со знаком "плюс" входит произведение k-го узлового напряжения на собственную проводимость k-го узла; все остальные слагаемые имеют знак "минус" и являются произведениями напряжения соответствующего узла на взаимную проводимость между данными и k-м узлом.
2. В правую часть уравнения k-го узла входит алгебраическая сумма задающих токов источников, подключенных к этому узлу, причем со знаком "плюс" берутся токи, ориентированные к узлу.
Составленная по этим правилам система узловых уравнений называется "канонической", если неизвестные расположены в порядке нарастания индексов, а уравнения в соответствии с номерами узлов. Для цепи, имеющей  узлов, система имеет  уравнений:

Часть взаимных проводимостей цепи может быть равна нулю, если узлы не связаны между собой прямой ветвью, а имеют связь лишь через другие ветви.
Обратим внимание, что для резистивной цепи взаимные проводимости  и  равны и поэтому определитель системы уравнений симметричен относительно главной диагонали.
Метод узловых напряжений можно применять и для цепей, имеющих источники напряжения. В простейшем случае цепи с одним источником напряжения в качестве базисного узла принимается тот узел, к которому одним из своих зажимов подключен источник. Тогда узловое напряжение узла, к которому подключен второй зажим источника, оказывается известным: оно будет равно напряжению источника или отличаться от него знаком. Следовательно, при наличии источника напряжения число неизвестных и число необходимых уравнений сокращается.
Пример. Составить систему узловых напряжений для цепи, схема которой изображена на рис. 1.6.


Рис. 1.6.
В качестве базисного выбираем узел 0, к которому подключен источник напряжения (можно базисным считать узел 3). Вводим узловые напряжения , как показано на схеме. По правилам, сформулированным выше составляем уравнения для первого и второго узла. Уравнение для третьего узла составлять не требуется, так как его узловое напряжение известно: .
Система имеет вид:

Подставляя известное значение для  и перенеся известные величины в правую часть, окончательно получим:

При наличии в электрической цепи нескольких источников напряжения необходимо выбрать базисный узел так, чтобы все источники  напряжения одним зажимом были подключены к нему. При этом число узловых уравнений сокращается на число источников напряжения, т. е.:

Если такой базисный узел отсутствует, то задача разрешима при определенных преобразованиях. При наличии в электрической цепи ветви с источником напряжения и последовательно включенной проводимостью, наиболее удобно произвести замену эквивалентным источником тока. При этом проводимость рассматривается как внутреннее сопротивление источника напряжения.

 

Сема рис. 1.6 имеет семь элементов. По методу токов ветвей здесь потребовалось бы составить шесть уравнений для шести неизвестных токов (ток источника  задан). По методу узловых напряжений необходимо составить только два уравнения.
В общем случае выигрыш, полученный в методе узловых напряжений, тем больше, чем больше независимых контуров имеет цепь, поскольку число необходимых уравнений уменьшается на величину, равную количеству независимых контуров.
При использовании метода узловых напряжений целесообразно перед составлением уравнений объединить в один элемент резисторы, соединенные между собой простым узлом (т. е. последовательно), если такие узлы имеются в схеме. Тогда в схеме остается меньше узлов и потребуется составить меньшее число уравнений.

Заключение
Напряжения и токи в параллельно-последовательных резистивных цепях с одним источником можно найти путем эквивалентных преобразований схемы заданной цепи. Для этого резисторы, соединены только параллельно и только последовательно, объединяются и заменяются их эквивалентами. Подобные преобразования проводятся до тех пор, пока схема цепи, преобразуется в схему параллельной или последовательной резистивной цепи. После этого вновь, шаг за шагом, восстанавливается схема цепи, и последовательно находятся напряжения и токи в ветвях цепи.
Для нахождения токов и напряжений ветвей составляются  уравнений по первому  закону Кирхгофа и  уравнений по второму закону Кирхгофа. В результате получаем систему  линейно-независимых уравнений, число которых равно числу токов ветвей. Совместное решение этой системы позволяет найти все токи.
Метод узловых напряжений является наиболее общим и широко применяется для расчета электрических цепей, в частности, в различных программах автоматизированного проектирования электронных схем.
Методические указания и задания курсантам для самостоятельной работы, список рекомендуемой литературы: подготовиться к следующей лекции по указанию преподавателя, Белецкий А. Ф. ТЛЭЦ, с. 49-58, 63-67, Качанов Н. С. и др. ЛРТУ, с. 28-32, 35-39.

Литература
Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986.
Бакалов В. П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998.
Качанов Н. С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974
В. П. Попов Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 2000