Абстрактная теория групп
I.
Понятие абстрактной группы.
1.Понятие алгебраической операции.

           Говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция (
*), если каждой упорядоченной паре элементов  поставлен в соответствие некоторый элемент  называемый их произведением.

Примеры.

1.    Композиция перемещений на множествах  является алгебраической операцией.

2.    Композиция подстановок является алгебраической операцией на множестве  всех подстановок степени n.

3.    Алгебраическими операциями будут и обычные операции сложения, вычитания и умножения на множествах  соответственно целых, вещественных и комплексных чисел. Операция деления не будет алгебраической операцией на этих множествах, поскольку частное  не определено при . Однако на множествах ,  это будет алгебраическая операция.

4.    Сложение векторов является алгебраической операцией на множестве .

5.    Векторное произведение будет алгебраической операцией на множестве .

6.    Умножение матриц будет алгебраической операцией на множестве всех квадратных матриц данного порядка.
2.Свойства алгебраических операций.

1.    Операция (*) называется ассоциативной, если .

Это свойство выполняется во всех приведенных выше примерах, за исключением операций вычитания ( и деления) и операции векторного умножения векторов. Наличие свойства ассоциативности позволяет определить произведение любого конечного множества элементов. Например, если , . В частности можно определить степени с натуральным показателем: . При этом имеют место обычные законы: , .

2. Операция (*) называется коммутативной, если

   В приведенных выше примерах операция коммутативна в примерах 3 и 4 и не коммутативна в остальных случаях. Отметим, что для коммутативной операции

3.   Элемент  называется нейтральным для алгебраической операции (*) на множестве X, если . В примерах 1-6 нейтральными элементами будут соответственно тождественное перемещение, тождественная перестановка, числа 0 и 1 для сложения и умножения соответственно (для вычитания нейтральный элемент отсутствует !), нулевой вектор, единичная матрица. Для векторного произведения нейтральный элемент отсутствует.                                                Отметим, что нейтральный элемент (если он существует) определен однозначно. В самом деле, если  - нейтральные элементы, то . Наличие нейтрального элемента позволяет определить степень с нулевым показателем: .

4.   Допустим, что для операции (*) на X существует нейтральный элемент. Элемент  называется обратным для элемента , если . Отметим, что по определению . Все перемещения обратимы также как и все подстановки. Относительно операции сложения все числа обратимы, а относительно умножения обратимы все числа, кроме нуля. Обратимые матрицы - это в точности все матрицы с ненулевым определителем. Если элемент x обратим, то определены степени с отрицательным показателем: . Наконец, отметим, что если x и y обратимы, то элемент  также обратим и . (Сначала мы одеваем рубашку, а потом куртку; раздеваемся же в обратном порядке!).

Определение (абстрактной) группы.

      Пусть на множестве G определена алгебраическая операция (*). (G ,*) называется группой, если

1.   Операция (*) ассоциативна на G.

2.   Для этой операции существует нейтральный элемент e (единица группы).


3.   Каждый элемент из G обратим.


Примеры групп.

1.    Любая группа преобразований.

2.    (Z, +), (R, +), (C, +).

3.   

4.    Матричные группы: - невырожденные квадратные матрицы порядка n, ортогональные матрицы того же порядка, ортогональные матрицы с определителем 1.
3.Простейшие свойства групп.

1.    В любой группе выполняется закон сокращения: (левый закон сокращения; аналогично, имеет место и правый закон).                                                                                        Доказательство.                                                                                                     Домножим равенство слева на  и воспользуемся свойством ассоциативности:   .

2.    Признак нейтрального элемента:

Доказательство                                                                                                Применим к равенству  закон сокращения.

3.    Признак обратного элемента:

Доказательство: Применим закон сокращения к равенству .

4.    Единственность обратного элемента. Обратный элемент определен однозначно.                                                                                                           Следует из п.3.

5.    Существование обратной операции. Для любых двух элементов произвольной группы G уравнение  имеет и притом единственное решение.                                                                                          Доказательство                                                                                                       Непосредственно проверяется, что (левое частное элементов ) является решением указанного уравнения. Единственность вытекает из закона сокращения, примененного к равенству .          Аналогично устанавливается существование и единственность правого частного.
4.Изоморфизм групп.

Определение.

Отображение  двух групп G и K называется изоморфизмом , если

1.Отображение j взаимно однозначно.                                                      2.Отображение j сохраняет операцию: .

Поскольку отображение обратное к j также является изоморфизмом, введенное понятие симметрично относительно групп G и K , которые называются изоморфными.

Примеры.

1.Группы поворотов плоскости  и вокруг точек  и изоморфны между собой. Аналогично, изоморфными будут и группы, состоящие из поворотов пространства относительно любых двух осей.

    2.Группа диэдра   и соответствующая пространственная группа  изоморфны.

3.   Группа тетраэдра T изоморфна группе  состоящей из четных подстановок четвертой степени. Для построения изоморфизма достаточно занумеровать вершины тетраэдра цифрами 1,2,3,4 и заметить, что каждый поворот, совмещающий тетраэдр с собой некоторым образом переставляет его вершины и, следовательно, задает некоторую подстановку множества{1,2, 3, 4} Повороты вокруг оси, проходящей через некоторую вершину (например 1), оставляет символ 1 на месте и циклически переставляет символы 1, 2, 3. Все такие перестановки - четные. Поворот вокруг оси, соединяющей середины ребер (например, 12 и 34 ) переставляет символы 1 и 2 , а также 3 и 4. Такие перестановки также являются четными.

4.   Формула определяет взаимно однозначное соответствие между множеством R вещественных чисел и множеством  положительных  чисел. При этом . Это означает, что  является изоморфизмом.

Замечание. В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать одинаковыми. По существу это означает, что игнорируются индивидуальные свойства элементов группы и происхождение алгебраической операции.
5.Понятие подгруппы.

         Непустое подмножество  называется подгруппой, если само является группой. Более подробно это означает, что ,  и .

Признак подгруппы.

Непустое подмножество  будет подгруппой тогда и только тогда, когда .

Доказательство.

В одну сторону это утверждение очевидно. Пусть теперь - любой элемент. Возьмем  в признаке подгруппы. Тогда получим . Теперь возьмем . Тогда получим .

Примеры подгрупп.

1.   Для групп преобразований новое и старое понятие подгруппы равносильны между собой.

2.   - подгруппа четных подстановок.


3.  


4.    и т.д.


5.   Пусть G - любая группа и  - любой фиксированный элемент. Рассмотрим множество всевозможных степеней этого элемента. Поскольку , рассматриваемое множество является подгруппой. Она называется циклической подгруппой с образующим элементом g .


6.   Пусть  любая подгруппа Рассмотрим множество - централизатор подгруппы H в группе G. Из определения вытекает, что если , то , то есть . Теперь ясно, что если , то и  и значит централизатор является подгруппой. Если группа G коммутативна, то . Если G=H, то централизатор состоит из тех элементов, которые перестановочны со всеми элементами группы; в этом случае он называется центром группы
G  и обозначается Z(G).


Замечание об аддитивной форме записи группы.

Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (-g). Степени элемента g имеют вид g+g+...+g , называются кратными элемента g и обозначаются ng.
6. Реализация абстрактной группы как группы преобразований.

         Существует несколько способов связать с данной абстрактной группой некоторую группу преобразований. В дальнейшем, если не оговорено противное, знак алгебраической операции в абстрактной группе будет опускаться.

Пусть  некоторая подгруппа.

А) Для каждого  определим отображение (левый сдвиг на элемент
h) формулой .

Теорема 1

1.  

2.   Множество L(H,G)= является группой преобразований множества G.


3.   Соответствие:  является изоморфизмом групп H и L(H,G).


Доказательство.

1.   Надо проверить, что отображение  взаимно однозначно для всякого . Если , то  по закону сокращения. Значит  инъективно. Если любой элемент, то  и  так что  к тому же и сюръективно.

2.   Обозначим через · операцию композиции в группе Sym(G) взаимно однозначных отображений . Надо проверить, что  и . Пусть  любой элемент. Имеем: ;  и значит, .


3.   Пусть . Надо проверить, что l взаимно однозначно и сохраняет операцию. По построению l сюръективно. Инъективность вытекает из закона правого сокращения: . Сохранение операции фактически уже было установлено выше:  .


Следствие.

Любая абстрактная группа изоморфна группе преобразований некоторого множества (Достаточно взять G=H и рассмотреть левые сдвиги).

Для случая конечных групп получается теорема Кэли
:

Любая группа из n элементов изоморфна подгруппе группы подстановок степени n.

B) Для каждого  определим отображение (правый сдвиг на элемент
h) формулой .

Теорема
B.

1.   .

2.   Множество  является группой преобразований множества G.


3.   Соответствие является изоморфизмом групп H и R(H,G).


Доказательство теоремы B вполне аналогично доказательству теоремы A. Отметим только, что . Именно поэтому в пункте 3 теоремы В появляется не , а .

С) Для каждого  определим (сопряжение или трансформация элементом h ) формулой .

Теорема С.

1.   Каждое отображение  является изоморфизмом группы G с собой (автоморфизмом группы G).

2.   Множество  является группой преобразований множества G.


3.   Отображение  сюръективно и сохраняет операцию.


Доказательство.

1.   Поскольку , отображение  взаимно однозначно как композиция двух отображений такого типа. Имеем:  и потому  сохраняет операцию.

2.   Надо проверить, что  и . Оба равенства проверяются без труда.


3.   Сюръективность отображения  имеет место по определению. Сохранение операции уже было проверено в пункте 2.


Замечание об инъективности отображения
q.

В общем случае отображение q не является инъективным. Например, если группа H коммутативна, все преобразования  будут тождественными и группа тривиальна. Равенство означает, что  или                       (1)                В связи с этим удобно ввести следующее определение: множество  называется централизатором подгруппы . Легко проверить, что централизатор является подгруппой H. Равенство (1) означает, что . Отсюда вытекает, что если централизатор подгруппы
H в
G тривиален, отображение
q является изоморфизмом.

11. Некоторые теоремы о подгруппах конечных групп.

Теорема Коши.

Если порядок конечной группы делится на простое число p, то в ней имеется элемент порядка p.

Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, отметим, что если g¹e и , где p - простое число, то порядок g равен p. В самом деле, если m - порядок g, то p делится на m, откуда m=1 или m=p. Первое из этих равенств невозможно по условиям выбора g.

Индукция , с помощью которой проводится доказательство теоремы, основана на следующей лемме

Лемма.

Если некоторая факторгруппа G/H конечной группы G имеет элемент порядка p, то тем же свойством обладает и сама группа G.

Доказательство леммы.

Пусть  - элемент порядка p. Обозначим через m порядок элемента . Тогда  и значит m делится на p. Но тогда  - элемент порядка p.

Доказательство теоремы Коши.

Зафиксируем простое число p и будем проводить индукцию по порядку n группы G. Если n=p, то G»Z/pZ и теорема верна. Пусть теорема уже доказана для всех групп порядка меньше n и  , причем n делится на p.

 

Рассмотрим последовательно несколько случаев

1.   G содержит собственную ( то есть не совпадающую со всей группой и нетривиальную) подгруппу H , порядок которой делится на p. В этом случае порядок H меньше n и по предположению индукции имеется элемент  порядка p. Поскольку  в этом случае теорема доказана.

2.   G содержит собственную нормальную подгруппу. Если ее порядок делится на p, то по 1 теорема доказана. В противном случае на p делится порядок факторгруппы G/H и теорема в этом случае следует из доказанной выше леммы.

3.   Если G - коммутативна, то возьмем любой . Если порядок g делится на p, то теорема доказана по 1, поскольку Z(g)ÌG. Если это не так, то , поскольку в коммутативной группе все подгруппы нормальны, теорема доказана по 2.

4.   Остается рассмотреть случай, когда порядки всех собственных подгрупп G не делятся на p, группа G проста ( то есть не имеет собственных нормальных подгрупп ) и не коммутативна. Покажем, что этого быть не может. Поскольку центр группы G является нормальной подгруппой и не может совпадать со всей группой, он тривиален. Поэтому G можно рассматривать как группу преобразований сопряжения на множестве G. Рассмотрим разбиение множества G на классы сопряженных элементов: . Здесь отдельно выделен класс  и классы неединичных элементов. Стабилизатор St(g) элемента g¹ e представляет собой подгруппу группы G, не совпадающую со всей группой. В самом деле, если St(g) = G, то g коммутирует со всеми элементами из G и потому gÎZ(g) = {e}. Значит, порядок этой подгруппы не делится на p, а потому  делится на p: . Но тогда  - не делится на p, что не соответствует условию.

Замечание.

Если число p не является простым, то теорема неверна даже для коммутативных групп. Например, группа   порядка 4 коммутативна, но не является циклической, а потому не имеет элементов порядка 4.

Теорема о подгруппах коммутативной группы.

Для конечной коммутативной группы G справедлива теорема обратная к теореме Лагранжа : если m - делитель порядка группы, то в G имеется подгруппа порядка m.

Доказательство.

Проведем индукцию по порядку n группы G. Для n = 2 теорема очевидна. Пусть для всех коммутативных групп порядка < n теорема доказана. Пусть простое p делит m . По теореме Коши в G имеется циклическая подгруппа S порядка p. Так как G коммутативна, S - нормальная подгруппа. В факторгруппе G/S  используя предположение индукции выберем подгруппу K порядка m/p .Если  естественный гомоморфизм, то  - подгруппа G порядка m .
Замечание.

Для некоммутативных групп данная теорема неверна. Так, например, в группе  четных перестановок степени 4, которая имеет порядок 12, нет подгрупп шестого порядка.