Теория колец

Множества с двумя алгебраическими операциями. Кольца и поля.

          Пусть на множестве R определены две алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и обозначать соответственно + и *. Говорят, что умножение обладает свойством (правой) дистрибутивности относительно сложения, если

 .                                            (1)

 Аналогично определяется свойство левой дистрибутивности. Разумеется, если операция умножения коммутативна, эти свойства равнозначны. В общем случае говоря о свойстве дистрибутивности мы будем подразумевать двустороннюю дистрибутивность. Предположим, что операция ’+’ на R имеет нейтральный элемент, обозначаемый 0.  Положив в равенстве (1)  y = z = 0, получим: x*0 = x*0 + x*0, откуда,  при наличии свойства сокращения для операции ’+’   , получаем, что x*0 = 0. Если для элемента y имеется противоположный элемент (-y), то взяв в том же равенстве z = -y, получим: 0 = x*0 = x*y + x*(-y) и, значит,  x*(-y) = -x*y.

Определение.

Множество с двумя алгебраическими операциями R(+,*) называется кольцом, если

1.   (R,+) - абелева группа (аддитивная группа кольца R).

2.   Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.

Дополнительные свойства операции умножения отмечаются с помощью соответствующих прилагательных перед словом кольцо. Так ассоциативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности. Аналогичный смысл имеет термин коммутативное кольцо. Наличие нейтрального элемента для операции умножения выражают термином кольцо с единицей (  этот нейтральный элемент называют единицей и обозначают  или просто e ); При этом дополнительно предполагается, что кроме свойств 1  и 2 выполнено 

3.   0.

 Элементы такого кольца R, имеющие обратные относительно операции умножения,  называются обратимыми , а их множество обозначается через . Отметим, что для ассоциативного кольца с единицей множество  является группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R. Поскольку  в кольце R с единицей             x*0 = 0e , элемент 0 из R необратим. В случае ассоциативного кольца не будет обратим и такой элемент y0, для которого можно найти такое z0, что y*z = 0. Такой элемент y называется (левым) делителем нуля.

Определение.

Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим: .

Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля.

Примеры колец и полей.

1.   Хорошо известными примерами полей являются, конечно, поля R,Q, и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел . Отметим, что любое поле содержит по крайней мере 2 элемента - 0 и e. Этот “минимальный” запас элементов и достаточен для образования поля: операции определяются очевидным образом ( отметим только, что e+e=0). Построенное поле из двух элементов обозначается GF(2) (по причинам, которые будут ясны в дальнейшем). Напомним также, что если p - простое число, то все вычеты по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Значит, рассматривая группу  с дополнительной операцией умножения, мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF(p).

2.   Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Аддитивная группа этого кольца - хорошо известная нам бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа  содержит всего 2 элемента 1 и -1 и потому изоморфна . Элементы, не входящие в  необратимы, хотя и не являются делителями нуля.

3.   Пусть R - любое ассоциативное коммутативное кольцо. Множество- квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц. Отметим, что кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно. Если R содержит единицу , то матрица  Е =  diag(,,...,) ,будет единицей кольца матриц. Заметим, что для любой матрицы   имеет смысл понятие определителя det(A)  R, причем det(AB)=det(A)det(B). Если det(A) обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце матриц: , где - присоединенная к А матрица (то есть транспонированная матрица из алгебраических дополнений). Таким образом, = - группа матриц порядка n с обратимым определителем.  В случае поля R это означает, что det(A) 0, то есть матрица невырождена. С другой стороны, в этом случае любая вырожденная матрица  будет делителем нуля. В самом деле, из det(A) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы: , причем не все коэффициенты нулевые. Построим ненулевую матрицу В, взяв  в качестве ее первого столбца и считая прочие элементы В нулевыми. Тогда  А*В = 0 и значит А - делитель нуля.

4.   Пусть снова R любое ассоциативное коммутативное кольцо и x - некоторый символ. Формальная сумма вида p= , где  называется многочленом над кольцом R.  Если  , то число n называется степенью этого многочлена и обозначается deg(p). Нулевой многочлен не имеет степени. Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам и они образуют кольцо R[x]. Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p=e будет единицей кольца R[x]. Если R не имеет делителей нуля, то deg(pq)=deg(p)+ deg(q) и потому R[x] также не имеет делителей нуля. В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R, рассматриваемые как многочлены нулевой степени. Отметим, что эта конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных: по определению, R[x,y] =R[x][y] (=R[y][x]).

Определение.

Подмножество  называется подкольцом, если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R.

Это означает, что К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения: . Отметим, что если R обладает свойством ассоциативности , коммутативности или отсутствием делителей нуля, то  и К обладает теми же свойствами. В то же время, подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2Z Z не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R и K имеют единицы, но они не равны друг другу. Так будет, например, для подкольца , состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом; =diag(1,1,...,1,0)  =diag(1,1,...,1).

Определение.

Гомоморфизмом колец  называется отображение, сохраняющее обе кольцевые операции:  и . Изоморфизм - это взаимно однозначный гомоморфизм.

Ядро гомоморфизма  - это ядро группового гомоморфизма  аддитивных групп , то есть множество всех элементов из R, которые отображаются в .

Пусть снова - некоторое подкольцо. Поскольку (К,+) - подгруппа коммутативной группы (R,+), можно образовать факторгруппу R/K, элементами которой являются смежные классы  r+K. Поскольку К*К К,  для произведения двух смежных классов имеет место включение: (r+K)*(s+K) r*s+r*K+K*s+K.

Определение.

Подкольцо К называется идеалом кольца R, если : x*K K и     K*yK.

Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов     (r+K)*(s+K) содержится в смежном классе r*s+K. Значит в факторгруппе R/K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.

Примеры.

1.   Подкольцо nZ является идеалом  кольца Z, поскольку для любого целого m m(nZ) nZ. Факторкольцо Z/nZ - это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Отметим, что если число n не является простым, то Z/nZ имеет делители нуля.

2.   Пусть IR[x] - множество всех многочленов , у которых =0. Удобно записать: I = xR[x]. Поскольку p*I =(p*x)R[x] I, мы имеем идеал кольца многочленов. Каждый смежный класс q+I содержит элемент . Значит, (q+I)*(s+I) = (+I)*(+I) =*+I.

3.   В развитие предыдущего примера рассмотрим некоторое ассоциативное коммутативное  кольцо S. Если  любой его элемент, то множество I=x*S является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим элементом x. Этот идеал обозначается (x).  Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то (x)=S.

4.   Если кольцо S является полем, то всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем. В самом деле, если , x 0, то для всякого имеем: , откуда .

5.   Пусть I идеал кольца R. Сопоставляя каждому элементу  смежный класс r+I, получаем сюръективный гомоморфизм  . Этот гомоморфизм называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо.

Замечание.

Свойства ассоциативности, коммутативности и наличия единицы очевидно сохраняются при переходе к факторкольцу. Напротив, отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце (см. пример 1).

Теорема об ядре.

Ядро гомоморфизма колец является идеалом.

Доказательство.

Пусть - гомоморфизм колец, I =Ker,  - любой элемент. Тогда, (x*I) =(x)* (I) =(x)*0 =0. Значит, x*I Ker =I. Аналогично проверяется, что I*xI.

Теорема о гомоморфизме для колец.

Пусть - сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу R/Ker. Если эти изоморфные кольца отождествить, то  отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы для групп и мы его опускаем.

Пример.

Пусть K - кольцо многочленов R[x], : KC - гомоморфизм, сопоставляющий каждому многочлену p его значение в точке i : (p) =p(i). Ядро этого гомоморфизма составляют многочлены, представимые в виде:    (+1)*q(x), где q - любой многочлен. Можно записать: Ker =(+1). По теореме о гомоморфизме .
Кольцо многочленов над полем.
           Кольцо многочленов над полем (в отличие от случая многочленов над кольцом) обладает рядом специфических свойств, близких к свойствам кольца целых чисел Z .
I.    Делимость многочленов.

Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления “углом” использует только  арифметические действия над коэффициентами и потому применим к многочленам над любым полем k. Он дает возможность для  двух ненулевых многочленов p,sk[x] построить такие многочлены  q (неполное частное) и r (остаток), что p = q*s +r , причем либо r =0, либо deg(r )< deg(s ). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p ) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным ( или приведенным), если его старший коэффициент равен 1.

Определение.

Общим наибольшим делителем  ненулевых многочленов p и s  называется такой унитарный многочлен ОНД( p, s), что

1.    ОНД( p, s) | p;  ОНД( p, s) | s.

2.   q | p, q | s  q | ОНД( p, s).

По определению,  для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а  ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0.

Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов.

Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения.

Основная теорема теории делимости (для многочленов).

Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q.

Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции     доказательство аналогичной теоремы над

Z. Все же наметим основные его шаги.

Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень( но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w  | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим:   r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0,    то       deg(r )<deg(w), что противоречит выбору  w.  Значит,  r =0. Аналогично проверяется, что w | q.  Обозначим: W = ОНД(p , q). По определению w | W. С другой стороны, W | p, W | q W | w. Остается заметить, что оба многочлена w и W унитарные и значит W = w.

Замечание.

Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов  ОНД  для подходящих многочленов . Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.
Следствие.

Всякий идеал в кольце многочленов над полем является главным.

В самом деле, пусть p - ОНД всех многочленов, входящих в идеал I. Тогда  , где . По определению идеала отсюда вытекает, что , а значит, I =(p).
II. Разложение на множители.

       Пусть k некоторое поле, p, q, s - многочлены над k. Если p=q*s, причем оба многочлена q и s имеют степень меньшую, чем p, то многочлен p называется приводимым (над полем k ). В противном случае p неприводим. Неприводимый многочлен в кольце k[x] является аналогом простого числа в кольце Z . Ясно, что каждый ненулевой многочлен p= можно разложить в произведение: p= *, где все многочлены  неприводимы над k и имеют старший коэффициент равный 1. Можно доказать, что такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Разумеется среди этих множителей могут быть одинаковые; такие множители называются кратными. Объединяя кратные множители можно то же разложение записать в виде: p= .

Примеры.

1.   . Заметим, что многочлены первой степени по определению неприводимы над любым полем. Множитель x является кратным, остальные - простые.

2.   Многочлен  неприводим над полем Q рациональных чисел. В самом деле, если ()=(x-a)*q, то подставляя в это равенство x=a, получаем: , что невозможно ни для какого рационального числа a. Тот же многочлен над полем R вещественных чисел приводим: , причем второй множитель имеет отрицательный дискриминант и потому далее не разложим над R . Наконец, над полем C комплексных чисел имеем: , где = - кубический корень из 1. На этом примере мы видим, что понятие приводимости существенно зависит от того над каким полем рассматривается многочлен.

Свойства неприводимых многочленов.

1 .Если p- неприводимый многочлен и d =ОНД(p, q)
1, то p | q.

В самом деле, p = d*s и если deg(s )>0, то это противоречит неприводимости p, а если deg(s )=0, то d | qp | q.

2. Если p |
 и p неприводим, то либо p |
 либо p |
. Действительно, в противном случае НОД(p, ) = НОД(p, ) =1 и потому по основной теореме теории делимости  ; , откуда:  и значит, ,      то есть     НОД(p, )=1 и, следовательно, deg (p )=0.
III. Корни многочленов. Производная и кратные корни.

      Пусть p =  некоторый многочлен над k и . Элемент поля k,  равный , называется значением многочлена p в точке a и обозначается p(a).  Соответствие  является гомоморфизмом  Ядро этого гомоморфизма состоит из всех многочленов, для которых p(a) = 0, то есть a является их корнем. Поскольку ядро I - идеал, содержащий (x-a) и не совпадающий с k[x] (x -a +),  а каждый идеал в k[x] - главный, то  I =(x-a).  Мы приходим таким образом к теореме Безу : элемент  будет корнем многочлена p тогда и только тогда, когда (x - a) | p.  Отсюда непосредственно вытекает, что неприводимый многочлен степени больше 1 не имеет корней.

Если  | p , то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие производной многочлена p. По определению это многочлен . Имеют место обычные правила вычисления производной: ; . Отсюда следует, что  и потому наличие у  многочлена корня a кратности не ниже n влечет наличие  у его производной того же корня кратности не ниже (n-1). В частности, если
p(a) = 0, но
, то корень
a - простой (то есть не кратный).

Если  | p, но  не делит p, то число n называется кратностью корня a . Пусть - множество всех корней многочлена p с указанными кратностями . Поскольку      при        ab               НОД(,) =1, многочлен p делится на   и потому  deg(p) . Итак, многочлен степени
n имеет не более
n корней с учетом их кратности.