Пример решения задачи

по разделу «Переходные процессы»
Задача. Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис. 1). В цепи действует постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон изменения во времени токов и напряжений после коммутации в ветвях схемы.

Задачу следует решить двумя методами: классическим и операторным. На основании полученного аналитического выражения построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t = 0 до t = , где – меньший по модулю корень характеристического уравнения.

Параметры цепи: R₁ = 15 Ом; R₂ = 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В.

Решение.
Классический метод.
Решение задачи получается в виде суммы принужденного и свободного параметра:

i(t) = i_пр(t) +  i_св(t);     u(t) = u_пр(t)+  u_св(t),                          (1)

где , а .

1. Находим токи и напряжения докоммутационного режима для момента времени t = (0–). Так как сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю, а емкости – бесконечности, то расчетная схема будет выглядеть так, как это изображено на рис. 2. Индуктивность закорочена, ветвь с емкостью исключена. Так как в схеме только одна ветвь, то ток i₁(0–) равен току i₃(0–), ток i₂(0–) равен нулю, и в схеме всего один контур.

Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура:

,

откуда

 = 4 А.

Напряжение на емкости равно нулю [u_C(0–) = 0].

2. Определим токи и напряжения непосредственно после коммутации для момента времени t = 0+. Расчетная схема приведена на рис. 3. По первому закону коммутации i_L(0–) = i_L(0+), т.е. ток i₃(0+) = 4 А. По второму закону коммутации u_C(0–) = u_C(0+) = 0.

Для контура, образованного ЭДС Е, сопротивлением R₂ и емкостью С, согласно второго закона Кирхгофа имеем:



или

;

i₁(0+) = i₂(0+) + i₃(0+) = 14 А.

Напряжение на сопротивлении R₂ равно Е – u_C(0+) = 100 В, напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости.

3. Рассчитываем принужденные составляющие токов и напряжений для . Как и для докоммутационного режима индуктивность закорачивается, ветвь с емкостью исключается. Схема приведена на рис. 4. и аналогична схеме для расчета параметров докоммутационого режима.

 = 10 А;

             = 100 В;      ;      

4. Определяем свободные составляющие токов и напряжений для момента времени t = 0+, исходя из выражений i(0+) = i_пр(0+) + i_св(0+) и u(0+) = u_пр(0+) + u_св(0+).

i_св1(0+) = 4 А; i_св2(0+) = 10 А; i_св3(0+) = –6 А; u_свL(0+) = u_свС(0+) = 0; .

5. Определяем производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно после коммутации (t = 0+), для чего составим систему уравнений, используя законы Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 3, положив Е = 0.

;

                                    (2)



Производную тока через индуктивность можно найти, используя выражение: , а производную напряжения на емкости – из уравнения . Т.е.

  и  ,

откуда

;                                 (3)

Подставляя (3) в (2), после решения получаем:

;     ;     ;   

Все полученные результаты заносим в таблицу.

	i1	i2	i3	uL	uC	uR2
t = 0+	14	10	4	0	0	100
	10	0	10	0	0	100
	4	10	–6	0	0	0
	–105	–105	0	106	106	–106

6. Составляем характеристическое уравнение. Для этого исключим в послекоммутационной схеме источник ЭДС, разорвем любую ветвь и относительно разрыва запишем входное сопротивление для синусоидального тока . Например, разорвем ветвь с сопротивлением R₂:

.

Заменим jw на р и приравняем полученное уравнение нулю. Получим:



или

R₂CLp² + pL + R₂ = 0.

Откуда находим корни р₁ и р₂.

             р₁ = –1127,       р₂ = –8873.

7. Определим постоянные интегрирования А₁ и А₂. Для чего составим систему уравнений:

;                 

         

или

;



Например, определим постоянные интегрирования для тока i₁ и напряжения u_L. Для тока i₁ уравнения запишутся в следующем виде:

4 = А_1i + А_2i;                 

.

После решения:                 А_1i = –8,328 А,   А_2i = 12,328 А.      

для напряжения u_L:

;                 

.

После решения:            = 129,1 В,   = –129,1 В.             

8. Ток i₁ cогласно (1) изменяется во времени по закону:

i₁(t) = 10 – 8,328е^–1127t + 12,328e^–8873t,

а напряжение u_L:

u_L(t) = 129,1e^–1127t – 129,1 e^–8873t.