СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

1. Геометрический метод решения задач ЛП

2. Симплекс-метод

2.1 Идея симплекс-метода

2.2 Реализация симплекс-метода на примере

2.3 Табличная реализация простого симплекс-метода

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Тема моей работы касается решения задач, возникающих в экономике. При этом встает вопрос о выборе наилучшего в некотором смысле варианта решения. А на поиск возможного варианта часто влияют разного рода факторы, сужающие рамки выбора. Иначе говоря, требуется решить задачу оптимизации, которая состоит в необходимости выбора наилучшего варианта решений среди некоторого, как правило, ограниченного множества возможных вариантов.

Задача оптимизации может быть сформулирована на языке математики, если множество доступных вариантов удается описать с помощью математических соотношений (равенств, неравенств, уравнений), а каждое решение - оценить количественно с помощью некоторого показателя, называемого критерием оптимальности или целевой функцией. Тогда наилучшим решением будет то, которое доставляет целевой функции наибольшее или наименьшее значение, в зависимости от содержательного смысла задачи. Так, например, при инвестировании ограниченной суммы средств в несколько проектов естественной является задача выбора тех проектов, которые могут принести в будущем наибольшую прибыль. При доставке в магазины продукции от различных поставщиков возникает задача минимизации транспортных затрат.

Процесс формализации задачи называется построением ее математической модели. Он состоит из трех этапов.

1.                 Выбор параметров задачи, от которых зависит решение. Эти параметры называют управляющими переменными и обозначают , формируя из них вектор . Принять решение – это значит задать конкретные значения переменных.

2.                 Построение числового критерия, по которому можно сравнивать различные варианты решений. Такой критерий принято называть целевой функцией и обозначать через .

3.                 Описание всего множества X допустимых значений переменных – ограничений, связанных с наличием материальных ресурсов, финансовых средств, технологическими возможностями и т.п..

Математическая задача оптимизации состоит в нахождении такого допустимого решения , которое доставляет целевой функции наибольшее или наименьшее значение среди всех возможных решений.

.

1. Геометрический метод решения задач ЛП

Этот метод часто используется при решении задач, в которых только две неизвестных величины. Разберем его на следующих примерах:

Пример 1.1. (Задача о производстве красок).

Небольшая фабрика изготовляет два вида красок: INT - для внутренних работ и EXT - для наружных работ. В производстве красок используются два исходных продукта А и В. Из-за малой площади склада максимально возможные суточные запасы этих продуктов равны 6 т. и 8 т. соответственно. На производство 1 тонны краски INT расходуется 1 тонна продукта А и 2 тонны продукта В, а на изготовление 1 тонны краски EXT идет 2 тонны продукта А и 1 тонна продукта В. Фабрика продает краску по цене 3 тыс. долл. за тонну краски INT и 2 тыс. долл. за тонну краски EXT. Исходные данные удобно свести в таблицу:





Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску EXT никогда не превышает спрос на краску INT, более чем на 1 тонну. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика в сутки, чтобы доход от реализации продукции был максимален?

Построим математическую модель задачи. Для этого надо определить переменные задачи, целевую функцию и ограничения, которым удовлетворяют переменные. Обозначим через x₁ - планируемый суточный объем производства краски INT, а через x₂ - суточный объем производства краски EXT. Целевая функция f(x) будет выражать суточный доход от продажи краски, равный 3x₁ + 2x₂ (тыс. долл.). Этот доход подлежит максимизации



f(
x)= 3
x₁ + 2
x₂
®
max.
Построим ограничения задачи, связанные с ограниченными запасами продуктов А и В. На производство краски INT в количестве x₁ (т) будет использовано 1x₁ (т) продукта А, а на производство краски EXT в объеме x₂ (т) будет затрачено 2x₂ (т) продукта А. Поскольку суточный запас продукта А равен 6 т., то расход продукта А на изготовление красок двух видов не может превышать в сутки этой величины: 1x₁+ 2x₂
£ 6. Аналогично получим ограничение, связанное с запасом продукта В: 2x₁+1x₂
£ 8. Ограничение по соотношению спроса на краски можно описать неравенством: x₂ - x₁
£ 1. Учитывая естественные условия неотрицательности объемов выпуска продукции, окончательно получим следующую задачу линейного программирования


f(x) = 3 x₁ + 2 x₂
®
max (1.1)

1 x₁ + 2 x₂
£
6, (1.2)

2 x₁ + 1 x₂
£
8, (1.3)

- x₁ + x₂
£ 1, (1.4)

x₁
³ 0, x₂
³ 0. (1.5)
Построим множество планов задачи, описываемое ограничениями (1.2)-(1.5). Рассмотрим первое неравенство. Оно задает некоторую полуплоскость, расположенную по одну сторону от граничной прямой


p₁: 1x₁+2x₂=6


Построим эту прямую на плоскости с координатными осями x₁ и x₂. Для проведения прямой достаточно знать две ее точки. Проще всего найти точки пересечения прямой с осями координат. Полагая x₁ = 0, из уравнения прямой получим x₂ = 3, а при x₂ = 0 найдем x₁ = 6. Таким образом прямая p₁ пройдет через точки (0,3) и (6,0). Чтобы определить, по какую сторону от прямой расположена искомая полуплоскость, достаточно подставить в неравенство (1.2) координаты любой точки плоскости. Если прямая не проходит через начало координат, то удобнее всего взять точку (0, 0). Очевидно, что в этой точке неравенство (1.2) строго выполняется (1* 0 + 2* 0 < 6), значит полуплоскость, определяемая этим неравенством, лежит ниже прямой p₁, включая в себя начало координат. Искомую полуплоскость отметим штриховкой (рис.1.1).

Аналогично построим полуплоскость, задаваемую неравенством (1.3). Для этого нанесем на координатную плоскость граничную прямую


p₂: 2x₁+x₂=8,
найдя ее точки пересечения с осями координат: (0,8) и (4,0).

Подставляя координаты точки (0,0) в неравенство (2.3), видим, что начало координат лежит в искомой полуплоскости (2* 0 + 1* 0 < 8), значит все точки, удовлетворяющие неравенству (2.3), расположены левее прямой p₂. Отметим эту область штриховкой (рис.1.1).

Точки, задаваемые ограничением (4), находятся ниже прямой


p₃: -x₁+x₂=1,
проходящей через точки (0, 1) и (-1, 0).

Наконец, условия неотрицательности: x₁
³ 0, x₂ ³0 задают все точки первой четверти, что также отметим штриховкой.

Выделяя теперь точки плоскости, удовлетворяющие всем ограничениям задачи (1.1)-(1.5), то есть расположенные одновременно во всех заштрихованных полуплоскостях, получаем множество планов X. Оно представляет собой многоугольник (в данной задаче - пятиугольник). Его стороны лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы неравенств (1.2)-(1.5) заменой знаков неравенств на строгие равенства.


Рис. 1.1
Для графического представления целевой функции введем понятие линии уровня (изолинии функции).

Определение. Линией уровня (изолинией) функции f(x) называется множество точек x = (x_1, x₂), в которых она принимает одно и то же постоянное значение f(x) = h, где h - некоторое число. Для линейной функции двух переменных f(x) = c₁ x₁ + c₂ x₂ линия уровня, соответствующая числу h, будет представлять прямую с уравнением


c₁
x₁ +
c₂
x₂ =
h (1.6)
При изменении числа h будем получать семейство линий уровня (параллельных прямых) с одним и тем же направляющим вектором c = =(c₁, c₂₎, перпендикулярным всем прямым. Известно, что вектор c = (c₁, c₂) для линейной функции f(x) = c₁ x₁ +c₂ x₂ указывает направление ее возрастания. Геометрически это означает, что при параллельном перемещении прямой (1.6) в направлении целевого вектора c значение целевой функции возрастает.

Построим линии уровня целевой функции f(x) = 3x₁ + 2 x₂ в нашей задаче. Их уравнения будут иметь вид 3x₁ + 2 x₂ = h. Они задают семейство параллельных прямых, зависящих от параметра h. Все прямые перпендикулярны целевому вектору c = (3, 2), составленному из коэффициентов целевой функции, поэтому для построения семейства линий уровня целевой функции достаточно построить ее целевой вектор, и провести несколько прямых, перпендикулярных этому вектору. Линии уровня будем проводить на множестве планов X, помня при этом, что при параллельном перемещении прямых в направлении целевого вектора c = (3, 2₎ значение функции f(x)= 3x₁ + 2x₂ будет возрастать. Поскольку в задаче оптимальный план должен доставлять целевой функции максимально возможное значение, то для решения задачи графически надо среди всех точек x = (x_1, x₂) множества планов X найти такую точку x* = (x₁*_, x₂*), через которую пройдет последняя линия уровня в направлении целевого вектора c = (3,2₎. Из рисунка 1.2 видно, что искомой точкой будет точка, лежащая в вершине множества X, образованной пересечением прямых p₁ и p₂. Решая систему уравнений, описывающих эти прямые найдем оптимальный план x₁* = 3 ¹/₃, x₂* = 1 ¹/₃. При этом максимальное значение целевой функции будет равно f(x*) = 12 ²/₃. Таким образом, ежесуточно фабрика должна производить 3 ¹/₃ тонн краски INT и 1 ¹/₃ тонн краски EXT, получая при этом доход 12 ²/₃ тыс. долларов.


x₁ + 2 x₂ = 6,

2 x₁ + x₂ = 8,


Пример 1.2. Лечебное предприятие закупает два вида мультивитаминных комплексов «Здоровье» и «Долголетие» с содержанием витаминов трех видов. Количество единиц этих витаминов в одном грамме мультикомплексов, необходимая их норма при профилактическом приеме и стоимость одного грамма комплексов «Здоровье» и «Долголетие» отражены в таблице





Сколько граммов мультивитаминных комплексов каждого вида требуется на один профилактический прием, чтобы были получены все витамины не меньше требуемой нормы, и при этом их суммарная стоимость была минимальной.

Составим математическую модель задачи. Для этого введем переменные: x₁ – количество комплекса «Здоровье» (гр.), x₂ – количество комплекса «Долголетие» (гр.), необходимое для профилактического приема. Целевая функция выражает суммарную стоимость витаминных комплексов, которая должна быть минимально возможной


f(
x)= 5
x₁ + 4
x₂
®
min (1.7)
Ограничения, описывающие выполнение норм по витаминам, имеют вид:


По витамину V₁: 3x₁ + x₂ ³ 9,  (1.8)

По витамину V₂: x₁ + 2x₂ ³ 8, (1.9)

По витамину V₃: x₁ + 6x₂ ³12.  (1.10)
При этом переменные должны быть неотрицательны: x_j ³ 0, j = 1, 2.

Снова начнем решение с построения множества планов X, для чего проведем граничные прямые, уравнения которых получаются при замене в ограничениях знаков неравенств на равенства


p₁: 3
x₁ +
x₂ = 9,

p₂: x₁ + 2
x₂ = 8,

p₃: x₁ + 6
x₂ = 12.
Подставляя координаты точки (0,0) в неравенства (1.8)-(1.10) видим, что начало координат им не удовлетворяет и, следовательно, не входит в множество планов Х. Поэтому штриховки направлены выше и правее граничных прямых. Выделяя точки, удовлетворяющие всем неравенствам и условиям неотрицательности, получаем множество планов, изображенное на рис. 1.2. В данном примере оно не ограничено.


Рис. 1.2
Изобразим целевую функцию (1.7) с помощью линий уровня. Для этого достаточно построить целевой вектор c = (5, 4) и перпендикулярно ему провести несколько прямых на множестве Х. Поскольку целевой вектор указывает направление возрастания целевой функции, а в задаче о рационе требуется найти ее минимум, то для нахождения оптимального решения будем перемещать линию уровня параллельно самой себе по множеству Х в направлении, противоположном целевому вектору.
 

Рис. 1.3


Последней точкой множества планов, через которую еще проходит линия уровня будет точка пересечения прямых p₁ и p₂. Решая систему уранений (рис. 1.3).


3 x₁ + x₂ = 9

x₁ + 2 x₂ = 8
получим оптимальный план x₁* = 2, x₂* = 3. Минимальное значение целевой функции при этом будет равно



f(x*) = 5∙2 + 4∙3 = 22.
Следовательно, самый дешевый набор для профилактического приема состоит из 2 гр. комплекса А и 3 гр. комплекса В, и его стоимость равна 22 руб.

Теперь несложно сформулировать геометрический способ решения стандартных задач ЛП с двумя переменными:

·                   изображается допустимый многоугольник – пересечение полуплоскостей, являющихся решениями соответствующих неравенств;

·                   изображается целевой вектор ;

·                   через допустимое множество проводится перпендикуляр к целевому вектору – это линия уровня целевой функции;

·                   путем перемещения линии уровня параллельно самой себе в направлении целевого вектора до тех пор, пока  не окажется по одну сторону от перемещаемой прямой, визуально определяется точка (или точки) максимума;

·                   вычисляются координаты точки максимума (решением соответствующей системы уравнений, задающих прямые, точка пересечения которых и есть искомая точка) и максимальное значение целевой функции.

Замечание. Для определения точки минимума следует перемещать изолинию против направления целевого вектора.

В разобранных примерах оптимальный план находился в единственной вершине многоугольника допустимых планов. Однако при решении задач ЛП могут встретиться и другие случаи.

Бесконечное множество оптимальных планов. На рис.1.4 целевая функция принимает одно и то же максимальное значение в любой точке отрезка AB, соединяющего две вершины множества планов Х. Такая ситуация возникает, если линии уровня параллельны граничной прямой.

Отсутствие ограниченного решения. На рис.1.5 изображен случай, когда целевая функция не ограничена сверху на множестве планов и решение задачи на максимум не существует. При этом решение задачи на минимум может существовать, (как в задаче о витаминах).

Отсутствие допустимых планов. На рис.1.6 области, допустимые по каждому из ограничений, не имеют общих точек. В этом случае говорят, что ограничения несовместны, множество планов пусто и задача ЛП решения не имеет.
   

Рис. 1.4                Рис. 1.5                Рис. 1.6

2.3 Табличная реализация простого симплекс-метода

Табличную реализацию продемонстрируем на том же примере (2.2)–(2.5).

Шаг 0. Решение начинается с построения начальной симплекс-таблицы. Сначала заполняется правая часть таблицы с третьей колонки. В двух верхних строках записываются имена переменных задачи (x_1,...,x₄) и коэффициенты целевой функции при этих переменных. Ниже записываются коэффициенты уравнений – элементы матрицы условий А, так что под переменной x₁ располагается столбец A₁, под переменной x₂ – столбец A₂ и т.д. В правый столбец заносятся правые части ограничений (числа b_i > 0).

Затем находим столбцы матрицы условий, образующие единичный базис – в нашем примере это A₃ и A₄ – и соответствующие им базисные переменные x_3,
x₄ записываем во вторую колонку. Наконец, в первом столбце записываем коэффициенты целевой функции при базисных переменных.


Таблица 1 -  Начальная симплекс-таблица



Так как задача имеет предпочтительный вид, то значения базисных переменных равны правым частям уравнений, расположенным в последнем столбце. Поскольку небазисные переменные равны нулю, то начальный базисный план равен 


x^o = (0, 0, x₃, x₄₎ = (0, 0, 4, 12).
Шаг 1. Для проверки плана x^o на оптимальность подсчитаем симплексные оценки для небазисных переменных x₁ и x₂ по формуле 



_j
=< c_Б
, A_j > – c_j.

₁ = < c_Б
, A₁ > – c₁ = 0 ·(–1) + 0 ·3 – 1 = –1.
При табличной реализации для подсчета оценки ₁ надо найти сумму произведений элементов первого столбца (c_Б) на соответствующие элементы столбца A₁ при небазисной переменной x₁. Аналогично подсчитывается оценка ₂, как скалярное произведение первого столбца (c_Б) на столбец при переменной x₂.


₂ = <
c_Б,
A₂ > –
c₂ = 0 ·2 + 0 · 2 – 2 = –2.
Симплексные оценки записываются в последней строке симплекс-таблицы, которая называется дельта-строкой. При этом заполняются не только клетки при небазисных переменных, но и базисные клетки. Легко проверить, что для базисных единичных столбцов матрицы условий симплексные оценки равны нулю. В последней клетке строки оценок записываем значение целевой функции в точке x^o_. Заметим, что, так как небазисные координаты базисного плана равны нулю, то подсчет целевой функции удобно производить по формуле 


f(x)= < c_Б, x_Б >,
перемножая скалярно первый и последний столбцы таблицы. 

Так как среди оценок _j есть отрицательные, то план x^o – не оптимальный, и надо найти новый базисный план, заменив одну из базисных переменных на новую из числа небазисных.

Шаг 2. Поскольку обе оценки ₁ и ₂ < 0, то в базис можно включить любую из переменных x_1, x₂. Введем в базис переменную с наибольшей по модулю отрицательной оценкой, то есть x₂.

Столбец симплекс-таблицы, в котором находится вводимая в базис переменная называется ведущим столбцом.

В примере ведущим будет столбец при x₂.

Шаг 3. Если в ведущем столбце все элементы отрицательны, то решения задачи не существует и max f(x) . В примере все элементы ведущего столбца положительны, следовательно, можно найти максимальное значение x₂, при котором одна из старых базисных переменных обратится в ноль. Напомним, что максимальное значение x₂ = min{4/2, 12/2}=2.

По таблице это значение вычисляется как наименьшее из отношений компонент базисного плана (из последнего столбца) к соответствующим положительным элементам ведущего столбца.

Наименьшее отношение находится в строке с базисной переменной x_3. Значит переменная x₃ исключается из состава базисных переменных (x₃ = 0).

Строка, содержащая переменную, исключаемую из базиса, называется ведущей строкой.

В примере ведущей строкой будет первая строка.

Элемент, находящийся на пересечение ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим элементом.

В нашем случае ведущий элемент a₁₂ = 2.
Табл. 2 - Начальная симплекс-таблица с ведущими строкой и столбцом

cБ	Базисные перемен.	с1=1	с2=2	с3=0	С4=0	Значения базисных перем.	Уравнения
		x1	x2	x3	x 4
c3=0	x 3	–1	2	1	0	4	p1
c4=0	x4	3	2	0	1	12	p2
Строка оценок j		1= –1	2= –2	3= 0	4= 0	f(x)= 0

Шаг 4. Для получения нового базисного плана приведем задачу к новому предпочтительному виду относительно новых базисных переменных. 

Для этого построим новую симплекс-таблицу, во втором столбце которой вместо исключаемой переменной x₃ запишем новую базисную переменную x₂, а в первом столбце (с_Б) вместо с₃ запишем коэффициент целевой функции при x₂
 : c₂=2. В новой симплекс таблице столбец при x₂ должен стать единичным (ведущий элемент должен равняться единице, а все остальные элементы должны обратиться в ноль). Это достигается следующими преобразованиями строк таблицы.

a.      Все элементы ведущей строки делим на ведущий элемент и записываем в той же строке новой симплекс- таблицы.

Полученную строку p₁' назовем разрешающей.

b.     К оставшейся второй строке прибавим разрешающую строку, умноженную на такое число, чтобы элемент, стоящий в ведущем столбце обратился в ноль.


p₂' = p₂ + (- 2) p₁' = p₂ - p_1.

c.     Заполним последнюю строку, вычислив оценки _j' = < c_Б', A_j' > - - c_j, где c_Б', A_j' - соответствующие столбцы новой симплекс-таблицы, и значение целевой функции f(x)= < c_Б', x_Б' >.

Получим вторую симплекс-таблицу с новым базисом.
Таблица 3 - Результат первой итерации



Новый базисный план x' = (0, x₂, 0, x₄₎ = (0, 2, 0, 8).

Поскольку оценка ₁= -2 < 0, то план x' не оптимален. Для перехода к новому базисному плану (соседней угловой точки) проведем еще одну итерацию симплекс - метода. 

Так как ₁ < 0, то в базис вводится переменная x₁. Первый столбец, содержащий x₁ - ведущий.

Находим отношения компонент базисного плана к соответствующим положительным элементам ведущего столбца и в качестве ведущей строки берем строку с наименьшим отношением. В таблице 2 в ведущем столбце только второй элемент больше нуля (= 4), следовательно, вторая строка будет ведущей, а расположенная в ней базисная переменная x₄ подлежит исключению из базиса. 

Выделяем ведущий столбец и ведущую строку и на их пересечении находим ведущий элемент (= 4).

Строим новую (третью) симплекс-таблицу, заменяя в ней базисную переменную x₄ на x_1, и снова преобразуя строки таблицы таким образом, чтобы ведущий элемент стал равным единице, а остальные элементы ведущего столбца обратились в ноль. Для этого ведущую (вторую) строку делим на 4, а к первой строке прибавляем полученную вторую строку, деленную на 2. Последнюю строку вычисляем по формулам для симплексных оценок _j'' = < c_Б'', A_j'' > - c_j, где c_Б'', A_j'' - соответствующие столбцы новой симплекс-таблицы. Значение целевой функции на новом базисном плане находим по формуле f(x'')= < c_Б'', x_Б'' >.
Таблица 4 - Результат второй итерации



Новый базисный план x'' = (x₁, x₂, 0, 0₎ = (2, 3, 0, 0). Поскольку все оценки неотрицательны, то план x'' - оптимальный план.

Таким образом, x* = (2, 3, 0, 0), f(x*) = 8.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренные способы решения задач линейного программирования широко используются на практике. Однако следует отметить, что математическая модель всегда беднее реальной экономической системы. Она описывает эту систему лишь приблизительно, выделяя одни свойства и пренебрегая другими. Для компенсации указанного недостатка в математической экономике разрабатывается несколько типов моделей, каждый из которых призван отразить какую-то одну определённую сторону экономической действительности с тем, чтобы при решении конкретной экономической задачи можно было подобрать такую модель, которая лучше всего к ней подходит.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.           Ашманов С.А. Линейное программирование. – М.: Наука, 1981.

2.           Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. – М.: Высшая школа, 1980.

3.           Калихман И.Л. Линейная алгебра и программирование. – М.: Высшая школа, 1967.

4.           Нит И.В. Линейное программирование. – М.: Изд-во МГУ, 1978.

5.           Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. Теория и конечные методы. – М.: Физматиз, 1963.

6.           Тарасенко Н.В. Математика-2. Линейное программирование: курс лекций. – Иркутск: изд-во БГУЭП, 2003.

7.           Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 1993. – 336 с.

8.           www.yandex.ru

9.           www.mathematica.ru

10.       www.monax.ru