Реферат Эрмитовы операторы
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Эрмитовы операторы
Содержание
Линейные операторы
Линейные уравнения
Эрмитовы операторы
Линейные операторы
Пусть M
и N
— линейные множества. Оператор L
, преобразующий элементы множества M
в элементы множества N
, называется линейным, если для любых элементов f
и g
из M
и комплексных чисел λ и μ
справедливо равенство
L(λ+ μg
) = λLf + μ
Lg
(1)
При этом множество M
=
ML
называется областью определения оператора L
. Если Lf
=
f
при всех f Є M
, то оператор L
называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.
Линейные уравнения
Пусть L
— линейный оператор с областью определения ML
. Уравнение
Lu
=
F
(2)
называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F
называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из ML
— решением этого уравнения.
Если в уравнении (2) свободный член F
положить равным нулю, то полученное уравнение
Lu
= 0 (3)
называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).
В силу линейности оператора L
совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.
Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения ио этого уравнения и общего решения ŭ, соответствующего линейного однородного уравнения (3)
и = ио +
ŭ
.
Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственным в ML, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (3) имело только нулевое решение в ML
. Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в ML
. Обозначим через Rl
область значений оператора L
, т.е. (линейное) множество элементов вида {Lf}, где f пробегает ML
. Тогда для любого F
Є Rl уравнение (2) имеет единственное решение и Є ML
, и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F
из Rl
соответствующее решение уравнения (2). Этот оператор называется обратным оператором к оператору L
и обозначается через L-1, так что
и =
L-
(4)
Оператор L-1, очевидно, является линейным и отображает Rl
на ML. Непосредственно из определения оператора L
-1
, а также из соотношений (2) и (4) вытекает:
L
L-
=
F
,
F
Є Rl
;
L-1Lu
=
u
, и Є
ML
,
т.е. L
L-1=
I
,
L-1L
=
I
.
Если линейный оператор L
имеет обратный L
-1, то системы функций {φk} и {L
φk} одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все φk принадлежат ML
.
)
Рассмотрим линейное однородное уравнение
Lu
= λu, (5)
где λ — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из ML. Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из ML
, называются собственными значениями оператора L
, а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r, 1 ≤ r
≤ ∞, линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то λ называется простым собственным значением.
Если кратность r собственного значения λ оператора L
конечна и u
1
,...,и2 — соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация
u
0
=
c
1
u
1
+
c
2
u
2
+ ... +
crur
также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения
Lu
= λ
u
+
f
(6)
существует, то его общее решение представляется формулой
и = и* +∑с
k
и
k
,
(7)
где и* — частное решение (6) и сk, k = l,2,...,r, — произвольные постоянные.
Эрмитовы операторы
Линейный оператор L
, переводящий MLСL
2
(
G
) в L2(G), называется эрмитовым, если его область определения ML
плотна в L2(G) и для любых f
и g
из Ml
справедливо равенство
(
Lf
,
g
) = (f
,
Lg
).
Выражения (Lf
,
g
) и (Lf
,
f) называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными оператором L
.
Для того чтобы линейный оператор L
был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма (Lf
,
f), f
Є Ml
, где Ml
плотна в L2(G), принимала только вещественные значения.
Линейный оператор L
, переводящий Ml
С L2(G) в L2(G), называется положительным, если Ml
плотна в L2(G) и
(Lf,
f) ≥ 0, f
Є Ml
.
В частности, всякий положительный оператор эрмитов.
Теорема. Если оператор
L
эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Доказательство. Пусть λ0 — собственное значение, u0 — соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L
,
L
u0 = λ0u0. Умножая скалярно это равенство на u0, получим
(
L
u0,
u0)
= (λ0 u0,
u0) = λ0 (u0, u0) λ0|| u0||2 = λ0. (8)
Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма (Lf
,
f
) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) λ0 — вещественное (неотрицательное) число.
Докажем, что любые собственные функции и1 и и2, соответствующие различным собственным значениям λ1 и λ2, ортогональны. Действительно, из соотношений
Lu1 = λ1 и1, Lu2 = λ2и2,
из вещественности λ1 и λ2 и из эрмитовости оператора L
получаем цепочку равенств
λ1(и1,и2) = (λ и1,и2) = (L
и1,и2) = (и1,
Lu2) = (и1,λ2и2) = =λ2(и1,и2),
т.е. λ1(и1,и2) = λ2(и1,и2). Отсюда, поскольку λ1 ≠ λ2, вытекает, что скалярное произведение (и1,и2) равно нулю. Теорема доказана.
Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L
не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: λ1,λ2,..., повтори λk столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и1,и2,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция иk:
Luk = λk , иk, k = 1,2,...
Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система {φk} состоит из линейно независимых функций. Всякая система ψ1,ψ2,... линейно независимых функций из L2(G) преобразуется в ортонормальную систему φ1,φ2, — следующим процессом ортогонализации Шмидта:
φ1 = ψ1 /||ψ2 || , φ2 = ψ2 – (ψ2, φ1) φ1 / || ψ2 – (ψ2, φ1) φ1 ||
φk = ψk – (ψk, φk-1)φk-1 – … – (ψk,φ1)φ1 / || ψk – (ψk, φk-1)φk-1 – … – – (ψk,φ1)φ1||
При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Таким образом, если система собственных функций {ик} эрмитова оператора L
не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:
(
Luk,
ui
) = λk(иk,
ui) = λkδki
Список литературы
1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.
2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.
3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-лит, 2000.
