Современные качественные исследования устойчивости
О вариационности некоторых ДУЧП
 с отклоняющимися аргументами
И.А. Колесникова
Российский университет дружбы народов
117198, Россия, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.
тел.: (095) 952-35-83, e-mail [email protected]
 Исследована задача существования вариационных принципов для дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами вида  

1. Постановка задачи. Пусть N – оператор, заданный в области D(N) линейного нормированного пространства U над полем действительных чисел R, а область значений R(N)   принадлежит линейному нормированному пространству V над полем R, т.е.

В дальнейшем всюду предполагается, что в каждой точке

 существует производная Гато  оператора N, определяемая формулой
                                                            (1)
Решается задача существования вариационных принципов для заданных ДУЧП с отклоняющимися аргументами вида
             (2)
где -ограниченная область в , с кусочногладкой границей
в предположении достаточной  гладкости всех рассматриваемых  функций.

 Зададим область определения оператора N равенством

       (3)
 
Здесь - заданные функции,  - неизвестная функция. Числа   зависят соответственно от . Если - четны, то При нечетном  полагаем       
Обозначим

Введем  классическую билинейную форму вида  где                                                      (4)

Будем говорить, что уравнение (2) допускает прямую вариационную формулировку на множестве D(N), относительно билинейной формы (4), если существует функционал F_N: D(F_N )=D(N)—>R такой, что
       
Функционал F_N называется потенциалом оператора N, а N – градиентом функционала F_N. Записывают N=grad_фF_N. Оператор N называется потенциальным на множестве D(N) относительно Ф.
Обозначая через  замыкание области , будем предполагать, что - выпуклое множество, , для любых фиксированных элементов функция
Как известно [2., стр.15], необходимым и достаточным условием потенциальности оператора N на множестве D(N) относительно заданной формы является условие симметричности



Искомый функционал в этом случае имеет вид:
где F₀ произвольный фиксированный элемент из R.
Для уравнения вида (2) устанавливается, что существует вариационный принцип в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда справедлива
Теорема 1.  Для потенциальности оператора (2) на множестве (3) относительно билинейной формы (4) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

Современные качественные исследования устойчивости
Доказательство теоремы может быть проведено по схеме изложенной в работе [1, стр.43].
2.Примеры.

А. Рассматривается дифференциальное уравнение с отклоняющимися аргументами вида (частный случай уравнения (2))

с  граничными условиями
Для решения вопроса о вариационности задачи (7),(8) воспользуемся теоремой 1. Из условий (6) получим


Отсюда заключаем, что в случае потенциальности рассматриваемого оператора коэффициенты a_-1, a _{0 ,}a ₁ могут зависеть только от x, а b_-1, b₀, b₁ – только от t.
С учетом условий (9), уравнение (7) может быть записано в виде

Таким образом, уравнение (7’) c граничными условиями (8) допускает вариационную формулировку.
Соответствующий функционал имеет вид


В. Рассматривается уравнение
где  a,b – const, u – неизвестная функция с граничными условиями


Для оператора задачи(10),(11) условия (6) не выполняются. В этой связи рассматривается следующая задача.
Найти функцию [2] М=М(x,t,u,u_i) в Ω для любого u из D(N) и  соответствующий функционал F[u] так, что

Используя условия (6), находим вариационный множитель М=е^u(x,t). Тогда получим, что оператор вида
 
является потенциальным.
Соответствующее эквивалентное уравнение будет иметь вид:


 Таким образом, задача (13’), (11) допускает вариационную формулировку с функционалом


ЛИТЕРАТУРА.
[1]  Савчин В.М. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП с отклоняющимися аргументами.// XXXII Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук. Тезисы докладов.1996г.С. 25.
[2] Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г., Вариационные принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 40.М.1992.