Введение
Тема реферата «Статистические методы оценки прочности пластмасс».

Прочность пластических масс и изделий из них определяется максимальной нагрузкой или максимальным напряжением, которые образец или изделие могут выдержать без разрушения. Прочность зависит от вида пластмассы и определяется путем специальных физико-механических испытаний. Однако в отличие от традиционных конструкционных материалов испытания пластмасс дают дополнительный разброс показателей. Он объясняется суще6ствованием двух видов погрешностей: 1) систематических и 2) случайных. Систематические погрешности можно выделить и учесть при оценке прочности, так как их существование связано с малой точностью используемых методик и приборов. Случайные погрешности учесть очень трудно, так как нельзя предусмотреть заранее, в каком месте образца или изделия появится слабое место. Случайные погрешности возникают вследствие нерегулярного строения, неоднородности, наличия ослабленных мест и дефектов в структуре. Такие ослабления вызывают неравномерность распределения напряжений, концентрацию напряжений на микродефектах, что ведет к возникновению очага разрушения и последующему разрыву.

Случайные погрешности учитываются с помощью закономерностей теории вероятности. Экспериментальные данные принимают как случайные величины, т.е. такие величины, которые могут принимать те или иные значения в зависимости от причин, не учитываемых заранее. Для оценки ряда результатов испытаний одного и того же материала используется статистическая обработка данных. Полученные статистические характеристики позволяют сделать правильное суждение о полученных данных.

1. Статистические характеристики

1)     Среднее арифметическое значение случайной величины:
x = (x₁+x₂+x₃+۰۰۰+x_n) = (Σ x_i) / n,
где    n – количество наблюдений в выборке.

2)     Эмпирическое среднеквадратическое отклонение:
S_n = √ Σ(x_i – x)² / (n-1)
Берется только положительное значение.

3)     Дисперсия:
D_n = S_n² = Σ(x_i – x)² / (n-1)
Если n > 50, то (n-1) можно заменить на n.

4)     Доверительный интервал:
‌ x – x ‌ ≤ S_n / √n ∙t_α(n),
где х – среднее значение величины для бесконечно большого числа измерений (генеральной совокупности);

t_α(n) – коэффициент Стьюдента, значения которого выбираются из таблиц в зависимости от числа наблюдений n и доверительной вероятности α.

5)     Коэффициент вариации:
ν_х = S_n /х · 100% или ν_х = S_n /х




2. Оценка прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену
Основными условиями обеспечения прочности любого материала являются:
По напряжениям          n = σ_раз/σ_{max экв} ≥ [n]

По нагрузкам                n = R/Q ≥ [n],
где    n – запас прочности;

σ_раз – разрушающее напряжение;

σ_maxэкв – максимальное эквивалентное действующее напряжение;

R – разрушающая нагрузка;

Q – действующая нагрузка;

[n] – допускаемый запас прочности.

В основе оценки лежат:

1) статистическая природа прочности пластмассы;

2) возможность вероятностного распределения действующих нагрузок и напряжений.

Это позволяет построить графики плотностей вероятности распределения Р(х) по действующему напряжению σ и пределу прочности σ_в. При этом запас статистической прочности будет равен:
n = σ_в / σ_max.

Считаем, что σ_в и σ_max известны. В точке А кривые распределения нагружающих и разрушающих напряжений пересекаются и, если одновременно σ > σ_А и σ_в < σ_А, возможно разрушение.

Вероятность разрушения по Серенсену в предположении независимости событий:


Р_раз = Р (σ > σ_А)·Р(σ_в < σ_А) = S,
где    S – площадь заштрихованного участка.

Вероятность того, что случайная величина σ_А будет меньше заданного значения σ, равна:

Р (σ > σ_А) = ½ + Ф[(σ_А – σ) / S_д],
где    Ф – табулированная функция Лапласа;

S_д – среднее квадратическое отклонение действующего напряжения.

Табулированная функция Лапласа равна:



₂

Ф[(σ_А – σ)·/S_д] = 1/√2π · ∫е^{-1/2 ξ} ·dξ
где    ξ = (σ_А-σ_ср) / S_д; dξ = dσ_А / S_д

Вероятность того, что случайная величина σ_А будет больше заданного значения σ_в, равна:

Р(σ_в < σ_А) = ½ – Ф[(σ_А – σ_{в ср}) / S_в],
где    S_в – среднее квадратическое отклонение разрушающего напряжения.

В предположении того, что закон распределения случайных величин нормальный, можно записать:
Р_раз = {½ + Ф[(σ_А – σ)/S_д]}· {½ – Ф[(σ_А – σ_{в ср})/S_в]}


Плотность распределения при нормальном законе распределения равна:



_{2 2}

Р(х) = 1/(S·√2π)· e ^{– (x-xср) /2S}

Для точки А величина σ может быть найдена из равенства:

_{2 2 2 2}

1/S_д·e^{-(σА-σср) / 2Sд} = 1/S_в·e^{-(σА-σвср) / 2Sв}

или Z_д² – Z_в² = -2 ln(S_д/S_в),
где    Z_д = (σ_А-σ_ср) / S_д; Z_в = (σ_А-σ_вср) / S_в.
Величины Z_д и Z_в называются нормированными отклонениями.

Последнее уравнение решается относительно σ_А. Затем определяется Р_раз, представляющее условную величину. Эта величина должна сопоставляться с известными предельными значениями, которые устанавливаются экспериментально на основе опыта эксплуатации подобных конструкций.

Через Р_раз можно найти коэффициент надежности Н:
Н = lg (1/P_раз)

Р_раз = 1 – Р_нер; Р_нер = 1 – Р_раз
При вероятности неразрушения Р_нер, равной 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999, соответственно Н равно 1; 2; 3; 4.




3. Статистическая оценка прочности пластмасс по нагрузкам

Тимофеев Е.И. показал, что из-за недостаточной однородности и стабильности механических свойств пластмасс расчет по средним значениям нагрузок следует вести с учетом вероятности снижения прочности вследствие релаксации и неоднородности.

Изделие считается прочным, если действующая нагрузка Q меньше разрушающей R:

R – Q > 0

Вероятность такого события определяет надежность изделия:
α = Вер [(R – Q) > 0]
Обозначим разность нагрузок через Х:
Х= R – Q
Тогда, с учетом того, что Х подчиняется нормальному закону распределения с плотностью Р(Х), среднее значение Х равно:
Х₀ = R₀ – Q₀
Стандартное отклонение:
S_x = √ S_R² + S_Q²
Надежность:


2 2

α = Вер (Х > 0) = P(X)·dX = 1/(S·√2π)·∫e^{-1/2·((x-xср) / S}x ⁾ ·dx
С учетом нормированной функции Лапласа:
α = Ф(У),
где    У = X₀ / S_x (У берется из таблиц в зависимости от заданной вероятности).

После подстановки уравнений и деления числителя и знаменателя на Q₀ получим:
У = (R₀/Q₀ – 1) / √S_R² / Q₀² + S_Q² / Q₀²
Введем обозначения:

n₀ = R₀ / Q₀ – средний наиболее вероятный запас прочности;
ν_R = S_R / R₀; ν_Q = S_Q / Q₀ – коэффициенты вариации разрушающей и действующей нагрузок.

Тогда:

У = (n₀ –1)/√ n₀²·ν_R² + ν_Q²
Для трубы при r >> h, где r – радиус, а h – толщина стенки, принимают:
ν_{R =} √ ν_в² + ν_h²



Пользуясь специальными таблицами для Ф(У), после вычисления функции У можно определить запас прочности по средним значениям нагрузок или надежность по выбранному среднему коэффициенту запаса прочности. Определение функции У позволяет также исследовать влияние на надежность величины статистического разброса разрушающих и действующих нагрузок.

Статистические методы позволяют дать оценку влияния на надежность пластмассовых изделий температур, агрессивных сред, усталости, климатических факторов и т.д.

Например, по экспериментальным данным нагрев до 60 ⁰С приводит к снижению предела прочности при растяжении для стеклотекстолита КАСТ-В на 10%, пресс-материала АГ-4С – на 35 – 40%, пресс-материала АГ-4В – на 20%.

Если труба изготовлена из АГ-4С, и σ_в = 9,75 МПа; σ_д = 5,1 МПа; ν_R = 0,095; ν_д = 0,3, то:

n₀ = 9,75 / 5,1 = 1,91

У = (1,91 – 1) / √ 1,91²·0,095² + 0,3² = 2,5

По таблице для У = 2,5 находим α = 0,9938 или 99,38%.

При нагреве до 60 ⁰С:

n₀ = 0,6·9,75 / 5,1 = 1,147

У = (1,147 – 1) / √ 1,147²·0,095² + 0,3² = 0,445

По таблице для У = 0,445 находим α = 0,672 или 67,2%.

Количественная оценка надежности показывает, что такое изделие эксплуатировать нельзя.

Повышения надежности можно достичь за счет улучшения прочности материала или усовершенствования технологии изготовления изделий, приводящих к понижению коэффициента вариации ν_в.

Из уравнения для У можно определить запас прочности:
n₀ = (1 + У·√ν_R² + ν_Q² – У²·ν_R²·ν_Q²) / (1 – У²·ν_R²)




4. Оценка эксплуатационных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности
Примем за условный вес конструкции изделия вес, приходящийся на единицу длины l и единицу действующей нагрузки Q.
q´_усл = q / (l·Q),
а за единицу прочности примем величину:
k_в = l·R / q,
где    R – разрушающая нагрузка.

Из этих уравнений выводим:
q´_усл = n / k_в
Условный наиболее вероятный коэффициент запаса прочности с учетом вариации поперечного сечения изделия равен:
n₀ = [1 + У·√ν_в² + ν_F² + ν_Q² – У² ·ν_Q² ·(ν_в² + ν_F²)] / [(1 – У²·(ν_в² + ν_F²)]
Тогда можно записать, что средняя наиболее вероятная прочность материала равна:
k_0σ = σ_в0 / γ,
где    γ – удельный вес материала.


Пусть q_0усл ´= n₀ / k_0σ.
После подстановок получим:
q₀´_усл = 1 / k_0σ·[(1-У²·(ν_в²+ν_F²)] / [1+У·√ν_в²+ν_F²+ν_Q²–У²·ν_Q² ·(ν_в²+ν_F²)]
Знаменатель этой формулы называют критерием эффективной удельной прочности материалов:




k´_0σ = k_0σ · [(1-У²·(ν_в²+ν_F²)] / [1+У·√ν_в²+ν_F²+ν_Q²–У²·ν_Q² ·(ν_в²+ν_F²)]
Из уравнения видно, что k´_0σ учитывает неоднородность материала (ν_в), вариацию действующих напряжений (ν_Q), рассеивание размеров (ν_F) и заданную надежность α = Ф(У).

Упростив уравнение и приняв, что ν_Q = ν_F = 0, получим:
k´_0σ = k_0σ ·(1 – У· ν_в)
Оценка конструкционных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности показывает, что пластмассы резко отличаются по степени однородности. Из реактопластов наиболее неоднородны АГ-4С, АГ-4В, из термопластов – полиамиды 6 и 66. Если же перерабатывать пластмассы при оптимальных строго регулируемых режимах, то k´_0σ имеет примерно равные значения при любых степенях надежности (У = 2, 3, 4). Это свидетельствует о том, что качество изделий при этих условиях, их прочностные свойства и однородность изделий значительно улучшаются.




Заключение
В процессе написания реферата мы ознакомились со статистическими методами оценки прочности пластмасс; оценкой прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену; статистической оценкой прочности пластмасс по нагрузкам и оценкой эксплуатационных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности.



Литература
1. Альшиц И.Я. и др. Проектирование изделий их пластмасс. – М.: Машиностроение, 1979. – 248 с.

2. Зенкин А.с. и др. Допуски и посадки в машиностроении. К.: Техніка, 1990. –320 с.

3. Штейнберг Б.И. и др. Справочник молодого инженера-конструктора. – К.: Техніка, 1979. – 150 с.

4. Лепетов В.А., Юрцев Л.И. Расчет и конструирование резиновых изделий. М.: Химия, 1987. – 408 с.