СОДЕРЖАНИЕ
Введение

1.Понятие системы счисления. Классификация систем счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления

1.1 Непозиционные системы счисления

1.2 Позиционные системы счисления

2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

2.1 Перевод целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую

2.2. Перевод правильных дробей

2.3 Перевод неправильных дробей

2.4 Перевод чисел из системы счисления в систему с кратным основанием

3. Выбор системы счисления для применения в ЭВМ

4. Двоичная система счисления

4.1 Навыки обращения с двоичными числами

5. Формы представления двоичных чисел в ЭВМ

6. Точность представления чисел в ЭВМ

Вывод

Литература






Введение
Тема реферата по курсу «Прикладная теория цифровых автоматов» - «Представление численной информации в ЭВМ. Системы счисления».

Цель написания реферата:

ознакомится с понятием системы счисления; классификацией систем счисления; переводом чисел из одной системы счисления в другую; выбором системы счисления для применения в ЭВМ; двоичной системой счисления; формами представления двоичных чисел в ЭВМ; точностью представления чисел в ЭВМ и др.

1.Понятие системы счисления. Классификация систем счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления

Системы счисления были созданы в процессе хозяйственной деятельности человека, когда у него появилась потребность в счете, а по мере развития научной и технической деятельности возникла также необходимость записывать числа и производить над ними вычисления

Системой счисления называется совокупность символов и приемов, позволяющих однозначно изображать числа. Или, в общем случае, это специальный язык, алфавитом которого являются символы, называемые цифрами, а синтаксисом - правила, позволяющие однозначно сформировать запись чисел.         Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа. В общем случае число записывается следующим образом:
А=а_n a_n-1 ... а₂ a₁ а₀
Отдельную позицию в записи числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда, количество разрядов в записи числа - это разрядность и она совпадает с длиной числа. В техническом плане длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки. Если алфавит имеет р различных значений, то разряд a_і в числе рассматривается как р-ичная цифра, которой может быть присвоено каждое из р значений.

Каждой цифре a_і данного числа А однозначно соответствует ее количественный (числовой) эквивалент - К(a_і). При любой конечной разрядной секе количественный эквивалент числа А будет принимать в зависимости от кличественных отдельных разрядов значения от К(А) _min до К(А)
_max.

Диапазон представления (D) чисел в данной системе счисления - это интервал числовой оси, заключенный между максимальными и минимальными числами, представленными заданной разрядностью (длиной разрядной сетки):


D
=
К(А)
_(
p
)
max

-
К(А)
_(
p
)
min
.
Существует бесчисленное множество способов записи чисел цифровыми знаками. Однако, любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:

1) возможность представления любого числа в заданном диапазоне чисел;

2) однозначность представления;

3) краткость и простоту записи чисел;

4) легкость овладения системой, а также простоту и удобство оперировать ею.

В зависимости от целей применения используют различные системы счисления: 2-ю, 10-ю, 8-ю, 16-ю, римскую, а для исчисления времени - система счисления времени и т.д.

В зависимости от способа записи чисел и способа вычисления их количественного эквивалента системы счисления можно классифицировать следующим образом (рис. 1)

В основном системы счисления строятся по следующему принципу:
А_(p)= а_nр_n +а_n-1p_n-1…..+а₁р₁,
где    А_(p)- запись числа в системе с базисом р_і;

а_і- база или последовательность цифр системы счисления с р_i-чным алфавитом

р_i - базис системы счисления (совокупность весов отдельных разрядов системы счисления). Базис десятичной системы счисления 10⁰, 10¹, 10², 10³, ..., 10^п.

База системы счисления может быть положительной (0,1,2...9), но может быть и смешанной (1, ).


Рисунок. 1- Классификация систем счисления
Основанием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов для изображения числа в данной системе счисления.

Вес разряда R_i
в любой системе счисления - это отношение R_i
=
p_i
/
p
₀.

4.1 Навыки обращения с двоичными числами
Хотя все правила выполнения операций в двоичной системе счисления очень просты, но тем не менее при работе с двоичными числами из-за отсутствия навыков возникают разного рода неудобства. Ниже приведены некоторые простые приемы, которые позволяют довольно свободно обращаться с двоичными числами.
Таблица 4.1.

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2n	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096

1. Число 100...00 = 2ⁿ.

n нулей

Необходимо знать наизусть десятичные значения чисел, представленных в таблице 4.1.

2. Число 111...11= 2ⁿ -1.

n единиц

3. Необходимо знать наизусть десятичные значения двоичных чисел от 0 до 31 включительно. Эти числа в дальнейшем будут называться “малыми числами”.

4. Двоичное число






А= а_n-k+5 а_n-k+4 а_n-k+3 а_n-k+2 а_n-k+1 000...000

                   малое число         k нулей равно а2^k .

         Пример. 11011000=11011х2³ = 27 х 8 = 216.

         Двоичное число

А= а_n-k+5 а_n-k+4 а_n-k+3 а_n-k+2 а_n-k+1 00...00 b₅b₄b₃b₂b₁= а х 2^k + b

                   малое число a                малое число b

                                                                  k разрядов

         Пример. 10110000101 = 1011 х 2⁷ + 101 = 11 х 128 + 5 = 1413.
5. Если в n- разрядном числе много единиц и мало нулей, то для определения его количественного эквивалента можно из n разрядного числа, записанного одними единицами, вычесть малое число, в котором разряды со значением 1 соответствуют разрядам исходного числа с нулевым значением и наоборот.

Пример. 11111101001 соответствует

         11111111111 = 2¹¹ - 1

                    10110 = 22

         11111101001

т.е. 11111101001 = 2048 -1 - 10110 = 2047 - 22 = 2025.

        

                   6. Чтение двоичных дробей

         А= 0,000...001 = 2^-n

                   n-1 нулей

         Дробь А = 0,111...111 = 1 - 2^-k.

                             k единиц
Двоичная дробь читается по тем же правилам, что и десятичная: разряды справа от запятой читаются как целое число, которое является числителем; знаменатель читается как целое число, являющееся 2^k , причем k - номер младшего разряда справа от запятой.

5. Формы представления двоичных чисел в ЭВМ
Машинное представление числа – это представление числа в разрядной сетке ЭВМ.

Машинное изображение числа условно обозначают [A].
При этом А=[A]k_A,
где k_A – масштабный коэффициент, величина которого зависит от формы представления числа в ЭВМ.

Под формой представления числа в ЭВМ понимают свод правил, позволяющий установить взаимное соответствие между записью числа и его количественным эквивалентом.

Если произвольное вещественное число А`=[A]k<sub>A</sub>, то такое число представлено в разрядной сетке машины точно. Если А`≠[A]k_A, то произвольное вещественное число может быть представлено в машине приближенно или вообще не может быть представлено. При приближенном представлении вещественное число А` заменяется некоторым числом [А], принадлежащим множеству машинных чисел. Множеству машинных чисел принадлежат только числа, кратные двум, так как любые два попарно соседних машинных числа отличаются друг от друга на величину 2^-n , где n - количество разрядов.
А_min‹ |A| ‹ A _max
Если |A| ‹ A _min, такое число называют машинным нулем. Числа, большие чем A_max, не могут быть представлены. В этом случае говорят о переполнении разрядной сетки.

Существует три формы представления чисел в ЭВМ: естественная, с фиксированной запятой и нормальная (с плавающей запятой).

Естественной формой записи числа называется запись числа в виде полинома, представленного в сокращенном виде:
А= а_n a_n-1 ... a₁ a₀ a_--1 a_--2 ... a_--k
При этом отсчет весов разрядов ведется от запятой. Запятая ставится на строго определенном месте – между целой и дробной частью числа. Поэтому для каждого числа необходимо указать положение его запятой в одном из разрядов кода, т.е. в общем случае место положения запятой должно быть предусмотрено в каждом разряде. Обычно такую форму представления используют в калькуляторах.

Если место запятой в разрядной сетке машины заранее фиксировано, то такое представление называется представлением с фиксированной запятой (точкой).

В большинстве ЭВМ с фиксированной запятой числа, с которыми оперирует машина, меньше единицы и представлены в виде правильных дробей, т.е. запятую фиксируют перед старшим разрядом числа, причем числа, больше единицы, приводятся к такому виду при помощи масштабного коэффициента К_А. Представление чисел в виде правильных дробей обусловлено необходимостью уменьшить возможность переполнения разрядной сетки машины, т. е. уменьшить опасность потери значащих цифр старших разрядов при выполнении арифметических операций.

Результат умножения никогда не выходит за пределы разрядной сетки, если запятая расположена перед старшим разрядом. Но в этом случае результаты сложения и деления могут выйти за пределы разрядной сетки (при операции сложения — не более чем на один разряд).

Можно было бы оперировать только малыми числами, так как вероятность переполнения при их сложении мала. Однако это приводит к снижению точности представления чисел и точности вычислений. Поэтому всегда стремятся использовать числа, величины которых близки к максимальному значению. Однако при этом на них накладываются следующие ограничения: 1) абсолютная величина суммы двух чисел должна быть меньше единицы; 2) делитель по абсолютной величине должен быть больше делимого.

В ячейке машины с фиксированной перед старшим разрядом запятой число записывается в разрядную сетку в виде значащей части дроби со своим знаком, т. е. для записи n-значной дроби разрядная сетка должна содержать n + 1 разряд.

Разрядная сетка или формат числа в двоичной системе счисления имеет вид:
         Запятая

Знак

2-1

2-2

2-n

                   n+1

Здесь n разрядов используют для изображения цифровой части числа и 1 – для знака.

Величины чисел, представляемых в машинах с фиксированной перед старшим разрядом запятой, лежат в пределах:
2^-n ≤ |А| ≤ 1-2^-n
В этом случае: |А|_min=0,...01 = 2^-n , а |А|_max= 0,1...1= 1-2^-n. (Запятая разделяет целую и дробную части).

Начиная с вычислительных машин 2-го поколения, форматы чисел в ЭВМ представляются кратными байту, т. е. n=8, или 16, 32.

Во всех рассмотренных форматах могут изображаются числа, которые по своей абсолютной величине меньше 1, что упрощает конструкцию, уменьшает объем оборудования. Недостатком такого представления чисел является необходимость выполнения трудоемкого расчета масштабов в процессе подготовки задачи для решения в ЭВМ.

Нередко запятую фиксируют после младшего разряда числа. Тогда все данные представляются в виде целых чисел. В этом случае также необходимо масштабирование исходных данных.

Веса разрядов в формате числа, содержащего n+1 разряд (1 знаковый) представлены на рисунке:

Знак

2n-1

2n -2

21

20

                    n+1
Отдельных разрядов для записи целой части числа (0) и запятой не выделяется, так как их положение обусловлено формой записи чисел.

Знак числа обычно кодируется следующим образом: знаку «+» соответствует 0 в знаковом разряде, знаку «-» - 1.

При представлении чисел с фиксированной запятой в случае выполнения арифметических действий над произвольными числами программист может принять любое условное положение запятой в пределах формата. Но при разработке программы он должен следить за положением запятой во время вычислений, чтобы не возникло переполнение.

Необходимость расчета масштабов, необходимость следить за положением запятой во время вычислений исключаются при представлении чисел с плавающей запятой.

В общем случае число можно представить в виде произведения целой степени основания системы и цифровой части, являющейся правильной дробью:
А= p^ma = p^m ∑a_ip^i-m.      (i от -k до n),
где a – мантисса, m - порядок.

Формат числа, представленного в форме с плавающей запятой, имеет вид:

Знак пор.

2S-1

2S-2

20

Знак числа

2-1

2-n-1

2-n

 порядок S+1разрядов          мантисса n+1 разрядов
В разрядной сетке предусмотрено наличие разряда для фиксации знака мантиссы, который соответствует знаку числа.

Представление числа с плавающей запятой можно проиллюстрировать на следующем примере:

987.54 =10³* 0.98754,

987.54 =10⁴* 0.098754,

987.54 =10⁵*0.0098754.

В целях однозначного представления любого числа введено понятие “нормализованное число”. Нормализованным считается число А, мантисса которого удовлетворяет неравенству:
2^-1 ≤ |а| ≤ 1-2^-n
Другими словами, нормализованным считается то число, у которого старший разряд равен 1.

Диапазон представления порядка числа лежит в пределах:
2^S-1 ≥ m ≥ –(2^S-1).
Отсюда следует, что диапазон представления чисел для p = 2:

минимальное число:    



и максимальное:



Очевидно, что диапазон представления чисел в машинах с плавающей запятой значительно больше, чем в машинах с фиксированной запятой:
D= ≈=
Сопоставляя между собой две основные формы представления чисел в ЭВМ, можно прийти к следующим выводам.

Диапазон представления чисел в машинах с фиксированной запятой значительно меньше, чем в машинах с плавающей запятой, а точность зависит от величины исходных чисел. Программирование для машин с фиксированной запятой значительно сложнее, т.к. приходится вводить масштабные коэффициенты, чтобы избежать переполнения масштабной сетки при выполнении арифметических операций.

Однако машины с плавающей запятой конструктивно более сложны, так как необходимо вводить дополнительное оборудование для выполнения операций над порядками чисел, а также предусмотреть операцию нормализации и выравнивания порядков чисел. Время выполнения операций над числами в машине с плавающей запятой больше, чем в машине с фиксированной запятой, что обусловлено необходимостью работы с порядками.

Как и при фиксированной запятой, здесь возможно переполнение разрядной сетки, которое выражается в том, что результат какой-либо операции имеет порядок больше допустимого. Это приводит к аварийной ситуации. При выполнении операций возможно получение чисел, имеющих порядок меньше допустимого и нормализованную мантиссу. Эти числа рассматриваются как машинные нули, так же как и числа, имеющие нулевую мантиссу и допустимый порядок.

Иногда нормальную форму представления чисел называют полулогарифмической, так как порядок числа р выражен в логарифмической форме.






6. Точность представления чисел в ЭВМ
При решении различных задач требуется различная точность получаемых результатов. Так, при решении инженерных задач достаточна точность до 3—4 десятичных знаков (10—13 двоичных), при решении научных задач — 5—6 десятичных или 16—20 двоичных знаков и при решении особо точных задач — до 50 двоичных разрядов.

При ограниченной длине машинных слов множество чисел, которые можно представить в машине, является конечным. Поэтому представление чисел в ЭВМ, как правило, влечет за собой появление погрешностей, величина которых зависит как от формы представления чисел, так и от длины разрядной сетки.

Точность представления числа характеризуется абсолютной и относительной погрешностями.

Абсолютная погрешность — это разность между истинным значением величины А и ее значением, полученным из машинного изображения [А], т. е.

Усредненная абсолютная погрешность представления чисел в машинах с фиксированной запятой определяется как среднее арифметическое между минимально представимым числом и его минимальной потерей, т. е.

В машинах с фиксированной запятой абсолютная погрешность постоянна и равна половине младшего разряда.

Относительная погрешность представления определяется как отношение усредненной абсолютной погрешности к самому числу:

.

Так как само число с фиксированной запятой меняется в пределах
,
то и относительная погрешность является величиной переменной, меняющейся соответственно в пределах

Для машин с фиксированной запятой она определяется следующим образом:

Таким образом, относительная погрешность для машин с фиксированной запятой зависит от величины числа и колеблется в пределах от  для больших чисел, до 2^-1 для малых чисел. В машинах с плавающей запятой абсолютная погрешность представления числа определяется следующим образом:


где  - погрешность представления мантиссы, которая определяется так же, как абсолютная погрешность представления чисел в машине с фиксированной запятой, т. е.  - порядок числа, который изменяется в пределах
.
Следовательно, в отличие от машин с фиксированной запятой, в машинах с плавающей запятой абсолютная погрешность представления чисел зависит от порядка числа: минимальная при наибольшем отрицательном m и максимальная при наибольшем положительном определяются следующим образом:

Относительная погрешность представления чисел в машинах с плавающей запятой определяется по общему правилу:

т. е.  не зависит от порядка числа и изменяется в пределах





Следовательно, в машинах с плавающей запятой, в отличие от машины с фиксированной запятой, относительная погрешность изображения чисел во всем диапазоне представления практически постоянна и для чисел с нормализованной мантиссой зависит от количества разрядов мантиссы: чем их больше, тем меньше погрешность представления.

В некоторых вычислительных средствах информационной единицей являются не отдельные числа, а их блоки или массивы, т. е. последовательности, состоящие из сотен и тысяч чисел. В этих случаях нередко применяется промежуточная форма представления чисел в ЭВМ, так называемое представление с поблочно плавающей запятой, при котором всему массиву чисел присваивается общий порядок и массив считается нормализованным, если хотя бы одно его слово является нормализованным. Естественно, что относительная погрешность представления отдельных элементов массива будет при этом различной. Как и в случае представления с фиксированной запятой, максимальный по абсолютной величине элемент будет представлен с минимальной, в то время как минимальный по абсолютной величине элемент массива — с максимальной относительной погрешностью. Однако это не имеет существенного значения, так как основную информационную нагрузку в этих случаях несут максимальные элементы массивов. Вместе с тем благодаря представлению чисел с поблочно плавающей запятой удается при приемлемой точности вычислений значительно сократить объем оборудования, а главное - время выполнения операции, так как действия над порядками в этом случае выполняются только один раз за время обработки всего массива чисел.

Из этого следует, что нельзя отдать предпочтение какой-либо одной форме представления чисел. Обычно в ЭВМ общего назначения применяют нормальную форму. Этим обеспечивается большой диапазон представления чисел, высокая точность вычислений, простота программирования. Усложнение аппаратуры этих ЭВМ имеет второстепенное значение.

         В специализированных ЭВМ чаще применяют фиксированную или поблочно плавающую запятую, если информация обрабатывается отдельными массивами, так как эти формы обеспечивают простоту конструкции ЭВМ. Диапазон изменения величин известен заранее, масштабные коэффициенты подбираются один раз, требуемая точность вычислений также известна заранее и определяет длину разрядной сетки.

В современных ЭВМ используются обе формы представления чисел. При этом в большинстве случаев формат чисел с фиксированной запятой служит для представления целых двоичных и десятичных чисел и выполнения операций над ними, что, например, необходимо для операций над кодами адресов (операции индексной арифметики).




Вывод
В процессе написания реферата мы ознакомились с:

- с понятием системы счисления;

- классификацией систем счисления;

- переводом чисел из одной системы счисления в другую;

- выбором системы счисления для применения в ЭВМ;

- двоичной системой счисления;

- формами представления двоичных чисел в ЭВМ;

- точностью представления чисел в ЭВМ и др.




Литература
1. Самофалов К.Г., Романкевич А.М., и др. Прикладная теория цифровых автоматов. - Киев. “Вища школа” 1987.

2. Соловьев Г.Н. Арифметические устройства ЭВМ. - М. “Энергия”. 1978.

3. Савельев А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов - М. “Высшая школа”. 1987.

4. Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы. - М. Энергоатомиздат. 1985.

5. Лысиков Б.Г. Арифметические и логические основы цифровых автоматов. - Минск. “Вышэйшая школа”. 1980.