Реферат Доверительный интервал. Проверка статистических гипотез
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Доверительный интервал.
Проверка статистических гипотез
1. Доверительный интервал
Точечные оценки являются приближенными, так как они указывают точку на числовой оси, в которой должно находиться значение неизвестного параметра. Однако оценка является приближенным значением параметра генеральной совокупности, которая при разных выборках одного и того же объема будет принимать разные значения, поэтому в ряде задач требуется найти не только подходящее значение параметра а, но и определить его точность и надежность.
Для этого в математической статистике используется два понятия – доверительный интервал и доверительная вероятность. Пусть для параметра а из опытных данных получена несмещенная оценка
Зададимся некоторой вероятностью b (например, b = 0,99) и найдем такое значение e > 0, для которого
Представим это выражение в виде
Это значит, что с вероятностью b точное значение параметра а находится в интервале le
Здесь параметр а – неслучайная величина, а интервал le является случайным, так как
Пример. Если при измерении какой-то величины Х указывается абсолютная погрешность Dх, то это, по существу, означает, что погрешность измерения, являясь случайной величиной, равномерно распределена в интервале (-Dх, Dх) и
1.1
Доверительный интервал для математического ожидания
В качестве еще одного примера рассмотрим задачу о доверительном интервале для математического ожидания. Пусть проведено n независимых опытов измерения случайной величины Х с неизвестным математическим ожиданием mx и дисперсией s2. На основании опытных данных Х1, Х2, ... , Хn построим выборочные оценки
Требуется построить (найти) доверительный интервал le, соответствующий доверительной вероятности b, для среднего генерального mx.
Так как среднее выборочное
Ранее было показано, что
Считая случайную величину
После замены
По табличным значениям функции Лапласа Ф*(z) находим аргумент, при котором она равна b. Если этот аргумент обозначить Zb, то тогда
Среднее квадратичное значение
Таким образом, доверительный интервал для среднего генерального равен:
le =
Если пользоваться табличными значениями интеграла вероятностей
то доверительный интервал принимает вид
le =
1.2
Распределение Стьюдента
При малом объеме выборки (n < 30) полученный доверительный интервал для среднего генерального, использующий нормальное распределение случайной величины
Для более точного получения доверительного интервала необходимо знать закон распределения случайной величины
подчиняется распределению Стьюдента c n – 1 степенью свободы, плотность распределения которого имеет вид
где
|
|
0,3
0,2
0,1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 t
На основании найденных
Пользуясь таблицей значений интеграла
по значению b найдем величину
2.
Проверка статистических гипотез
Принятие решения о параметрах генеральной совокупности играет исключительно важную роль на практике. Рассмотрим вопрос о принятии решения на примере. Пусть фирма, выпускающая конденсаторы, утверждает, что среднее пробивное напряжение конденсаторов равно или превышает 300 В. Испытав 100 конденсаторов, мы получили, что среднее выборочное пробивное напряжение равно 290 В, а несмещенное выборочное среднее квадратичное отклонение sn = 40 В. Можно ли с доверительной вероятностью 0,99 утверждать, что среднее пробивное напряжение превышает 300 В.
Здесь нас интересует односторонняя оценка – среднее пробивное напряжение должно превышать 300 В.
Выскажем статистическую гипотезу – генеральное среднее mx = 300 В, а затем проверим, соответствует ли она результатам наблюдения. Поскольку объем выборки больше 30, то выборочное среднее можно считать гауссовской случайной величиной с генеральной дисперсией s2 » sn2. Введем центрированную и нормированную величину
Утверждение о том, что среднее выборочное напряжение
Найдем вероятность того, что гауссовская случайная величина Z с mz = 0 и sz = 1 принимает значения больше zo:
Эта величина должна равняться доверительной вероятности 0,99. Тогда
Мы видим, что наблюдаемое значение z = - 2,5 нe принадлежит интервалу [-2,33;¥), поэтому гипотезу нужно отвергнуть.
Приведем пример гипотезы с двухсторонней оценкой. Пусть фирма, выпускающая стабилитроны определенного типа, утверждает, что номинальное напряжение стабилизации стабилитронов равно 10 В. Естественно, что отклонение напряжения стабилизации в меньшую или большую стороны одинаково нежелательно. Выдвинем гипотезу, что генеральное среднее напряжение стабилизации равно 10 В, а затем проверим эту статистическую гипотезу по результатам наблюдения.
Пусть при испытании 100 стабилитронов среднее выборочное равно 10,3 В, а несмещенное выборочное среднее квадратичное отклонение равно 1,2 В. Можно ли с доверительной вероятностью 0,95 считать выдвинутую гипотезу справедливой? Так как объем выборки больше 30, то можно, как и в предыдущем примере, ввести гауссовскую случайную величину Z. Найдем
и приравняем правую часть полученного соотношения 0,95. Тогда
Если объем выборки n < 30, то случайная величина
3.
Функция риска
доверительный интервал вероятность статистическая гипотеза
Пусть имеются две противоположные гипотезы Но и Н1 и некоторая связанная с ними случайная величина Y. И пусть у - значение случайной величины Y, полученное в результате испытаний, которое принадлежит множеству D - множество всех значений случайной величины Y. Требуется провести проверку гипотезы Но относительно конкурирующей гипотезы Н1 на основании результатов испытания.
Разобьем множество D на две части - Dо и D1 с условием принятия гипотезы Но при попадании полученного значения у в Dо и гипотезы Н1 - при попадании у в D1. Выбор решающего правила, то есть разбиение множества D на две части Dо и D1 в любой задаче проверки гипотез возможен больше, чем одним способом. Возникает вопрос, какое из этих разбиений в каждой конкретной задаче считать наилучшим? Чтобы решить поставленную задачу нужно обладать некоторой дополнительной информацией. Такая информация носит название априорной.
Будем считать известными два условных распределения вероятностей случайной величины Y:
Кроме того нам потребуется априорная вероятность р того, что гипотеза Но имеет место.
Введем в рассмотрение события:
А – верна гипотеза Но, тогда р = р(А);
В – в результате эксперимента значение у попало в интервал Dо;
Тогда по результатам эксперимента возможны только четыре события:
АВ – верна гипотеза Но и принято решение о ее истинности;
А
Ясно, что события
В и А
определяют ошибочные решения. Событию 
В соответствует так называемая ошибка первого рода, а событию А - ошибка второго рода.
Для ответа на вопрос, какое из решающих правил следует считать лучшим, введем понятие функции потерь и функцию риска.
Функция потерь – дискретная случайная величина С, которая каждому из событий АВ,В, А, ставит в соответствие потери 
, выраженные в каких-то единицах. Правильному решению естественно положить нулевые потери, а ошибкам первого и второго ряда положить соответственно положительные потери (числа) С1 и С2, которые нужно задать.
Пусть ро = р(АВ или), р1 = р(В), р2 = р(А). Определение значений этих вероятностей будет проведено ниже. Ряд распределения для случайной величины С имеет вид
Определение. Математическое ожидание М(С) случайной величины С называется функцией риска и обозначается буквой r.
Таким образом, r = М(С) = 0 ро + с1 р1 + с2 р2 = с1 р1 + с2 р2.
Введение функции риска приводит к естественному выбору решающего правила. Из двух правил лучшим считается то, которое приводит к меньшему риску. Для нахождения минимума функции риска найдем вероятности р1 и р2:
Тогда
Для того, чтобы интеграл был минимальным, а значит и минимальное значение принимала функция риска r, нужно в состав Dо включить только те у, в которых подыинтегральная функция
С1 (1-р) f1(y) – p C2 fo(y) < 0,
а в состав D1- остальные значения у.
Последнее неравенство можно записать в виде
Функция f1(y)/fo(y) называется отношением правдоподобия.
Итак, оптимальное решающее правило заключается в следующем: полученное в результате эксперимента значение у подставляется в отношение правдоподобия f1(y)/fo(y) и сравнивается с числом
l =
если полученное в результате вычисления число f1(y)/fo(y) меньше l, принимается гипотеза Но; в противном случае – гипотеза Н1.
Величина l носит название порога, а оптимальное решающее правило носит название порогового критерия оптимальности.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Для ответа на вопрос, какое из решающих правил следует считать лучшим, введем понятие функции потерь и функцию риска.
Функция потерь – дискретная случайная величина С, которая каждому из событий АВ,
Пусть ро = р(АВ или
| С | 0 | с1 | с2 |
| р | ро | р1 | р2 |
Определение. Математическое ожидание М(С) случайной величины С называется функцией риска и обозначается буквой r.
Таким образом, r = М(С) = 0 ро + с1 р1 + с2 р2 = с1 р1 + с2 р2.
Введение функции риска приводит к естественному выбору решающего правила. Из двух правил лучшим считается то, которое приводит к меньшему риску. Для нахождения минимума функции риска найдем вероятности р1 и р2:
Тогда
Для того, чтобы интеграл был минимальным, а значит и минимальное значение принимала функция риска r, нужно в состав Dо включить только те у, в которых подыинтегральная функция
С1 (1-р) f1(y) – p C2 fo(y) < 0,
а в состав D1- остальные значения у.
Последнее неравенство можно записать в виде
Функция f1(y)/fo(y) называется отношением правдоподобия.
Итак, оптимальное решающее правило заключается в следующем: полученное в результате эксперимента значение у подставляется в отношение правдоподобия f1(y)/fo(y) и сравнивается с числом
l =
если полученное в результате вычисления число f1(y)/fo(y) меньше l, принимается гипотеза Но; в противном случае – гипотеза Н1.
Величина l носит название порога, а оптимальное решающее правило носит название порогового критерия оптимальности.
Размещено на http://www.allbest.ru/
