Реферат Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего
от 25%

Подписываем
договор
Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули
1. Скалярне поле
Нехай
Прикладами скалярних полів є поле температури даного тіла, поле густини даного неоднорідного середовища, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску, поле потенціалів заданого електростатичного поля тощо.
Поверхня (лінія), на якій функція
Фізичні скалярні поля не залежать від вибору системи координат: величина
Якщо в просторі ввести прямокутну систему координат
2. Векторне поле
Кажуть, що в області
Фізичні приклади векторних полів: електричне поле системи електричних зарядів, яке характеризується в кожній точці вектором напруженості
Зручною геометричною характеристикою векторного поля
Нехай векторна лінія, яка проходить через точку
де
або, помноживши на
Кожне із рівнянь (1) – (3) є диференціальним рівнянням векторних ліній у векторній формі і визначає множину векторних ліній. Конкретна векторна лінія, яка проходить через задану точку
де
Фізичні векторні поля не залежать від системи координат: в кожній точці
Оскільки в прямокутних координатах
а додаткове векторне рівняння (4) еквівалентне таким умовам:
де
3. Похідна за напрямом
Скалярне і векторне поля
Називаються диференційованими
диференційовані
Нехай
Означення. Число
Похідна за напрямом
Якщо в прямокутній системі координат
Зокрема, якщо вектор
Аналогічно визначається похідна за напрямом векторного поля.
Означення. Вектор
Якщо в прямокутній системі координат
4. Градієнт скалярного поля
скалярне векторне поле дивергенція
Означення. Градієнтом скалярного поля
Із рівності (7) випливає, що
Звідси
Тут
5. Потенціальне поле
Означення. Векторне поле
Функція
Інколи потенціалом векторного поля
Розглянемо, наприклад, поле тяжіння точкової маси
Аналогічно
Далі, розглянемо ще один приклад. Нехай задано електричне поле точкового заряду
Це поле також є потенціальним полем. Його можна подати у вигляді
Поверхні рівня потенціала
6. Дивергенція
Означення. Дивергенцією векторного поля
Слово «дивергенція» означає «розбіжність».
Дивергенція характеризує густину джерел даного векторного поля в розглянутій точці.
Розглянемо, наприклад, електричне поле точкового заряду
Оскільки
(при
7. Ротор
Означення. Ротором (або вихором) векторного поля
називається вектор-функція
.
Зокрема, для плоского поля
маємо
.
Розглянемо тверде тіло, яке обертається навколо осі
із сталою кутовою швидкістю
(рис. 1).

Рисунок 1 – Тверде тіло, яке обертається навколо осі
Векторне поле швидкостей
точок цього тіла можна подати у вигляді
.
Знайдемо ротор поля швидкостей
:
.
Таким чином,
є сталим вектором, напрямленим уздовж осі обертання
, а його модуль дорівнює подвоєній кутовій швидкості обертання тіла:
.
Розглянемо потенціальне поле
. Його потенціал
. Обчислимо ротор цього поля:
.
Взагалі, ротор довільного потенціального поля дорівнює нулю (див. підрозділ 2). Тому кажуть, що потенціальне поле є безвихровим.
8. Соленоїдальне поле
Векторне поле
називається соленоїдальним в області
, якщо в цій області
. Оскільки
характеризує густину джерел поля
, то в тій області, де поле соленоїдальне, немає джерел цього поля.
Наприклад, електричне поле
точкового заряду соленоїдальне (задовольняє умову
) всюди поза точкою, де знаходиться заряд (в цій точці
). Векторні лінії соленоїдального поля не можуть починатися або закінчуватися на межі області, або бути замкненими кривими. Прикладом соленоїдального поля з замкненими векторними лініями є магнітне поле, яке створюється струмом у провіднику.
Якщо векторне поле
можна подати як ротор деякого векторного поля
, тобто
, то вектор – функція
називається векторним потенціалом поля
.
Можна перевірити (див. докладніше п. 2), що
, тобто поле
є соленоїдальним.
Довільне векторне поле можна подати у вигляді суми потенціального і соленоїдального полів.
9. Оператор Гамільтона
Згадаємо, що символ
називається оператором частинної похідної по
. Під добутком цього оператора на функцію
розумітимемо частинну похідну
, тобто
. Аналогічно,
і
– оператори частинних похідних по
і по
.
Введемо векторний оператор «набла» або оператор Гамільтона:
.
За допомогою цього символічного (операторного) «вектора» зручно записувати і виконувати операції векторного аналізу.
У результаті множення вектора
на скалярну функцію
отримуємо
:
.
Скалярний добуток вектора
на вектор – функцію
дає
:
.
Векторний добуток вектора
на вектор – функцію
дає
:
.
10. Нестаціонарні поля
Нехай в області
визначено нестаціонарне скалярне поле
: величина
є функцією точки
і часу
. Приклад такого поля – змінний з часом розподіл температури в будь-якому середовищі (наприклад, в потоці рідини). Розглянемо точку
, яка рухається в області
(частинку рідини). Координати точки (частинки) змінюються з часом за відомим законом
. Величина
в рухомій точці
є складеною функцією
:
.
Обчислимо похідну по
цієї функції (вона називається повною похідною). За правилом диференціювання складеної функції знаходимо
.
Вводячи в точці
вектор швидкості
, отримуємо

Або
.(11)
Аналогічно, якщо в області
задано нестаціонарне векторне поле
, то для рухомої точки
векторна величина
є складеною функцією
:
. Повну похідну по
для кожної координати вектор – функції
можна обчислити за формулою (11). Помноживши результати на базисні вектори
і складаючи, отримуємо
.(12)
У формулах (11) і (12) доданки
і
виражають швидкості зміни величин
та
з часом при фіксованих координатах, тобто характеризують локальні зміни цих величин, і тому називаються локальними похідними. Доданки
і
утворюються за рахунок зміни координат точки, її руху (конвекції). Тому ці доданки у виразах повних похідних називаються конвективними похідними.
Локальні похідні характеризують нестаціонарність розглянутого поля у даній точці простору. Конвективні похідні характеризують неоднорідність поля у даний момент часу.
Размещено на Allbest.ru
Означення. Ротором (або вихором) векторного поля
називається вектор-функція
Зокрема, для плоского поля
Розглянемо тверде тіло, яке обертається навколо осі
Рисунок 1 – Тверде тіло, яке обертається навколо осі
Векторне поле швидкостей
Знайдемо ротор поля швидкостей
Таким чином,
Розглянемо потенціальне поле
Взагалі, ротор довільного потенціального поля дорівнює нулю (див. підрозділ 2). Тому кажуть, що потенціальне поле є безвихровим.
8. Соленоїдальне поле
Векторне поле
Наприклад, електричне поле
Якщо векторне поле
Можна перевірити (див. докладніше п. 2), що
Довільне векторне поле можна подати у вигляді суми потенціального і соленоїдального полів.
9. Оператор Гамільтона
Згадаємо, що символ
Введемо векторний оператор «набла» або оператор Гамільтона:
За допомогою цього символічного (операторного) «вектора» зручно записувати і виконувати операції векторного аналізу.
У результаті множення вектора
Скалярний добуток вектора
Векторний добуток вектора
10. Нестаціонарні поля
Нехай в області
Обчислимо похідну по
Вводячи в точці
Або
Аналогічно, якщо в області
У формулах (11) і (12) доданки
Локальні похідні характеризують нестаціонарність розглянутого поля у даній точці простору. Конвективні похідні характеризують неоднорідність поля у даний момент часу.
Размещено на Allbest.ru