Реферат Дискретно-аналоговое представление
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Содержание
Введение
1. Дискретно-аналоговое представление регулярными выборками
2. Физическая трактовка процессов интерполяции сигналов
3. Задачи идеальной интерполяции
4. Интерполяция алгебраическими полиномами
5. Определение частоты опроса
Заключение
Список литературы
Введение
В первой половине ХХ века при регистрации и обработке информации использовались, в основном, измерительные приборы и устройства аналогового типа, работающие в реальном масштабе времени, при этом даже для величин, дискретных в силу своей природы, применялось преобразование дискретных сигналов в аналоговую форму. Положение изменилось с распространением микропроцессорной техники и ЭВМ. Цифровая регистрация и обработка информации оказалась более совершенной и точной, более универсальной, многофункциональной и гибкой. Мощь и простота цифровой обработки сигналов настолько преобладают над аналоговой, что преобразование аналоговых по природе сигналов в цифровую форму стало производственным стандартом.
Под дискретизацией сигналов понимают преобразование функций непрерывных переменных в функции дискретных переменных, по которым исходные непрерывные функции могут быть восстановлены с заданной точностью. Роль дискретных отсчетов выполняют, как правило, квантованные значения функций в дискретной шкале координат. Под квантованием понимают преобразование непрерывной по значениям величины в величину с дискретной шкалой значений из конечного множества разрешенных, которые называют уровнями квантования. Если уровни квантования нумерованы, то результатом преобразования является число, которое может быть выражено в любой числовой системе. Округление с определенной разрядностью мгновенных значений непрерывной аналоговой величины с равномерным шагом по аргументу является простейшим случаем дискретизации и квантования сигналов при их преобразовании в цифровые сигналы.
Как правило, для производственных задач обработки данных обычно требуется значительно меньше информации, чем ее поступает от измерительных датчиков в виде непрерывного аналогового сигнала. При статистических флюктуациях измеряемых величин и конечной погрешности средств измерений точность регистрируемой информация также всегда ограничена определенными значениями. При этом рациональное выполнение дискретизации и квантования исходных данных дает возможность снизить затраты на хранение и обработку информации.
Кроме того, использование цифровых сигналов позволяет применять методы кодирования информации с возможностью последующего обнаружения и исправления ошибок при обращении информации, а цифровая форма сигналов облегчает унификацию операций преобразования информации на всех этапах ее обращения.
1. Дискретно-аналоговое представление регулярными выборками
При дискретно-аналоговом представлении сообщение на интервале времени T описывается вектором
где
Если шкала каждой координаты непрерывная, то это представление называется дискретно-аналоговым, а если шкала квантованная, то представление дискретно-квантованное, т.е. цифровое.
Дискретно-аналоговое представление сообщений может быть реализовано различными способами в зависимости от выбора системы координат. Наибольшее применение в РСПИ получили представления, у которых в качестве координат
Координаты
При представлении регулярными выборками расстояние между соседними точками опроса одинаково и равно
где
Частота опроса
Процесс формирования выборок в этом случае изображен на рисунке 1:
Рисунок 1
Выбор частоты опроса
Рассмотрим случай, когда потребителю необходимо восстановить на приёмной стороне функцию
где
т.е.
На точность функции восстановления функции
- шумы интерполяции;
- шумы радиолинии;
- погрешности системы.
В дальнейшем будем учитывать только ошибку за счет интерполяции. Т.е. выборки будут считаться точными, а шумы отсутствующими. Тогда выражение для оценки первичного сигнала будет иметь следующий вид:
Ошибка интерполяционной обработки в этом случае равна:
При этом оценка
Рисунок 2
Таким образом, функция
Теоретически необходимо учитывать все отсчеты
2. Физическая трактовка процессов интерполяции сигналов
Основное математическое соотношение интерполяционной обработки:
можно проиллюстрировать следующим образом (рисунок 3).
В качестве интерполяционной функции в этом примере используется функция
Рисунок 3
Для доказательства этого утверждения обозначим сигнал на входе и выходе линейного фильтра через
Рисунок 4
Представим сигнал на входе линейного фильтра в виде последовательности кратковременных импульсов, площадь которых равна соответствующим выборкам
Из свойств линейных систем следует, что сигнал на выходе равен:
Выражение (11) получается с учетом фильтрующего свойства δ-функции. Если импульсная характеристика линейного фильтра
Идеальное восстановление функции на выходе линейного фильтра невозможно, т.к.:
- отклик на выходе линейного фильтра не может появиться раньше соответствующей выборки на входе;
- число выборок не равно бесконечности;
- АЧХ фильтра отличается от идеальной.
3. Задачи идеальной интерполяции
В общем случае формула интерполяции имеет вид:
Интерполяция возможна в том случае, если в сигнале имеются корреляционные связи. Может быть поставлена задача оптимального выбора вида функции
Рассмотрим задачу идеальной интерполяции сигнала при предположении, что
Пусть непрерывный первичный сигнал описывается корреляционной
функцией
Можно показать, что в этом случае оптимальная интерполирующая функция имеет вид:
где
Т.о., оптимальная интерполирующая функция может быть определена как взвешенная сумма функций времени равных корреляционной функции первичного сигнала. Как следствие этой теории может бать доказана следующая теорема:
Если на интервале интерполяции
Рисунок 5
Чем меньше
Рисунок 6
Известно, что в этом случае в соответствии с теоремой
В.А. Котельникова возможно разложение первичного сигнала в ряд:
где
Сопоставим этот результат с выражением для идеальной интерполирующей функции:
Чтобы эти формулы совпали, необходимо чтобы при
Такой функцией корреляции обладает сигнал с прямоугольным спектром, а условие
Это соотношение не может быть использовано на практике по следующим причинам:
1. Сигнала с идеальным прямоугольным спектром не существует.
2. Число выборок
На практике при представлении регулярными выборками частота опроса выбирается исходя из соотношения
где
4. Интерполяция алгебраическими полиномами
цифровой кодирование алгебраический полином
Как было показано выше, для первичных сигналов с разными корреляционными функциями необходимо использовать разные интерполирующие функции. Такой подход не приемлем для практики, т.к. требует выполнения большого объема предварительных работ для определения вида интерполирующих функций. Для преодоления этих затруднений возможны два пути:
1. Использование для группы сигналов с близкими корреляционными функциями интерполирующей функции одного вида.
2. Применение в качестве интерполирующих функций хорошо программируемых функций с выбором частоты опроса, обеспечивающих во всех случаях требуемую верность.
Второй путь наиболее прост, но приводит к завышенным частотам опроса и, следовательно, к увеличению загрузки радиолинии. Наиболее рациональным является комбинированное использование обоих путей.
Во многих случаях в качестве интерполирующих путей используются алгебраические полиномы низких степеней, в частности полиномы Лагранжа. Интерполирующая функция по Лагранжу записывается в следующем виде:
где
При интерполяции по Лагранжу требуется определенным образом выбрать интервал обработки
1) Число точек опроса n четное (рисунок 7).
Рисунок 7
2) Число точек опроса n нечетное (рисунок 8).
Рисунок 8
Запишем момент времени, в котором ищется интерполяционная оценка в виде
где
На практике интерполяция по Лагранжу используется при n = 1, 2, 3:
1. Ступенчатая интерполяция (полиномы нулевой степени ) (рисунок 9).
В этом случае n = 1 и для интерполяции используется лишь одна выборка
Рисунок 9
2. Линейная интерполяция (полиномы первой степени) (рисунок 10).
При этом
Рисунок 10
3. Квадратичная интерполяция (квадратичная интерполяция) (рисунок 11).
При этом
Рисунок 11
Можно показать, что верхние оценки относительных ошибок в этом случае равны
где
При
При восстановлении функции по отсчетам обычно получается плавная кривая, поэтому, можно для практических расчетов выбрать частоту опроса по формуле
5. Определение частоты опроса
Определим частоту опроса первичного сигнала при среднем квадратическом приближении алгебраическими полиномами. Используем показатель верности оценки
в форме интегральной средней квадратической ошибки
. (26)
Более удобно использовать приведенный показатель верности:
. (27)
Применим эту формулу для определения частоты опроса четырех моделей первичного сигнала:
Модель 1. Сигнал с ограниченным равномерным спектром (рисунок 12).
Рисунок 12
Применяя косинус преобразование Фурье от
, получим функцию корреляции этого сигнала:
. (28)
Модель 2. Сигнал с треугольным спектром (рисунок 13).
, 
.
Рисунок 13
Эффективная ширина спектра в этом случае имеет вид
,
а функция корреляции равна
. (29)
Модель 3. Сигнал марковского типа (рисунок 14).
Энергетический спектр этого сигнала описывается соотношением
,
а функция корреляции равна
. ( 30)
Рисунок 14
Модель 4. Сигнал с колокольным спектром (рисунок 15).
Энергетический спектр этого сигнала описывается соотношением
,
где
,
а функция корреляции равна
. (31)
Рисунок 15
Эти модели охватывают значительную часть практически используемых сигналов и являются стационарными случайными процессами. Применяя для этих моделей интерполяцию по Лагранжу при
получим следующие формулы (таблица 1) для расчета величины ж = 
.
В случае модели 1 и идеальной интерполяции, т.е. при опросе по В.А. Котельникову, ж = 1. Формулы, приведенные в таблице используются для определения частоты опроса
= ж
.
Таблица 1
Построим графики зависимости ж от показателя верности
для различных моделей сигналов (рисунки 16, 17).
Рисунок 16
Рисунок 17
Заключение
Для всех моделей, за исключением третьей, интерполяция полиномами более высокого порядка позволяет уменьшить частоту опроса при той же верности.
1. При переходе от линейной интерполяции к квадратичной, уменьшение частоты опроса не столь значительно, как при переходе от ступенчатой интерполяции к линейной.
2. Увеличивать степень полинома целесообразно только при увеличении требований к точности интерполяции.
3. Для третьей модели переход от линейной модуляции к квадратичной нецелесообразен, что объясняется свойствами марковских сигналов.
4. При интерполяции алгебраическими полиномами первичного сигнала коэффициент корреляции между соседними выборками равен 0,85 – 0,995. Это приводит к неэффективному использованию пропускной способности канала передачи информации.
5. Для определения частоты опроса необходимо располагать:
- спектральными характеристиками первичного сигнала, т.е. полосой
по уровню 0,99 энергии сигнала;
- точностными характеристиками, т.е. показателем верности
%;
- задать алгоритм обработки, т.е. тип интерполирующего полинома.
Список литературы:
1. Радиотехнические методы передачи информации: Учебное пособие для вузов / В.А. Борисов, В.В. Калмыков, Я.М. Ковальчук и др.; Под ред. В.В. Калмыкова. М.: Радио и связь. 1990. 304с.
2. Системы радиосвязи: Учебник для вузов / Н.И. Калашников, Э.И. Крупицкий, И.Л. Дороднов, В.И. Носов; Под ред. Н.И. Калашникова. М.: Радио и связь. 1988. 352с.
3. Тепляков И.М., Рощин Б.В., Фомин А.И., Вейцель В.А. Радиосистемы передачи информации: Учебное пособие для вузов / М.: Радио и связь. 1982. 264с.
4. Кириллов С.Н., Стукалов Д.Н. Цифровые системы обработки речевых сигналов. Учебное пособие. Рязань. РГРТА, 1995. 80с.
5. Кириллов С.Н., Бакке А.В. Оптимизация сигналов в радиотехнических системах. Учебное пособие. Рязань. РГРТА, 1997. 80с.
6. Кириллов С.Н., Шелудяков А.С. Методы спектральной обработки речевых сигналов. Учебное пособие. Рязань. РГРТА, 1997. 80с.
Размещено на Allbest.ru
Определим частоту опроса первичного сигнала при среднем квадратическом приближении алгебраическими полиномами. Используем показатель верности оценки
Более удобно использовать приведенный показатель верности:
Применим эту формулу для определения частоты опроса четырех моделей первичного сигнала:
Модель 1. Сигнал с ограниченным равномерным спектром (рисунок 12).
Рисунок 12
Применяя косинус преобразование Фурье от
Модель 2. Сигнал с треугольным спектром (рисунок 13).
Рисунок 13
Эффективная ширина спектра в этом случае имеет вид
а функция корреляции равна
Модель 3. Сигнал марковского типа (рисунок 14).
Энергетический спектр этого сигнала описывается соотношением
а функция корреляции равна
Рисунок 14
Модель 4. Сигнал с колокольным спектром (рисунок 15).
Энергетический спектр этого сигнала описывается соотношением
где
а функция корреляции равна
Рисунок 15
Эти модели охватывают значительную часть практически используемых сигналов и являются стационарными случайными процессами. Применяя для этих моделей интерполяцию по Лагранжу при
В случае модели 1 и идеальной интерполяции, т.е. при опросе по В.А. Котельникову, ж = 1. Формулы, приведенные в таблице используются для определения частоты опроса
Таблица 1
| Модель | ж = | ||
| 1 | n = 1 | n = 2 | n = 3 |
| | | | |
| 2 | | | |
| 3 | | | |
| 4 | | | |
Построим графики зависимости ж от показателя верности
Рисунок 16
Рисунок 17
Заключение
Для всех моделей, за исключением третьей, интерполяция полиномами более высокого порядка позволяет уменьшить частоту опроса при той же верности.
1. При переходе от линейной интерполяции к квадратичной, уменьшение частоты опроса
2. Увеличивать степень полинома целесообразно только при увеличении требований к точности интерполяции.
3. Для третьей модели переход от линейной модуляции к квадратичной нецелесообразен, что объясняется свойствами марковских сигналов.
4. При интерполяции алгебраическими полиномами первичного сигнала коэффициент корреляции между соседними выборками равен 0,85 – 0,995. Это приводит к неэффективному использованию пропускной способности канала передачи информации.
5. Для определения частоты опроса необходимо располагать:
- спектральными характеристиками первичного сигнала, т.е. полосой
- точностными характеристиками, т.е. показателем верности
- задать алгоритм обработки, т.е. тип интерполирующего полинома.
Список литературы:
1. Радиотехнические методы передачи информации: Учебное пособие для вузов / В.А. Борисов, В.В. Калмыков, Я.М. Ковальчук и др.; Под ред. В.В. Калмыкова. М.: Радио и связь. 1990. 304с.
2. Системы радиосвязи: Учебник для вузов / Н.И. Калашников, Э.И. Крупицкий, И.Л. Дороднов, В.И. Носов; Под ред. Н.И. Калашникова. М.: Радио и связь. 1988. 352с.
3. Тепляков И.М., Рощин Б.В., Фомин А.И., Вейцель В.А. Радиосистемы передачи информации: Учебное пособие для вузов / М.: Радио и связь. 1982. 264с.
4. Кириллов С.Н., Стукалов Д.Н. Цифровые системы обработки речевых сигналов. Учебное пособие. Рязань. РГРТА, 1995. 80с.
5. Кириллов С.Н., Бакке А.В. Оптимизация сигналов в радиотехнических системах. Учебное пособие. Рязань. РГРТА, 1997. 80с.
6. Кириллов С.Н., Шелудяков А.С. Методы спектральной обработки речевых сигналов. Учебное пособие. Рязань. РГРТА, 1997. 80с.
Размещено на Allbest.ru
