Несобственный интеграл.

Определение:  Пусть.  w

собственная или правая несобственная точка числовой прямой

Функция f: [a;w)®R интегрируема по Риману на любом отрезке [a,b] Î [a, w ).

Тогда, если  существует    (1):               


То его величина обозначается
  (2)                                                                                                                                    


и  называется несобственным  интегралом функции  f  по промежутку [a,w ).

 Введем обозначение : f  Î R^<a,b> - функция  интегрируема  по Риману в несобственном   смысле по промежутку <a,b>.

Если предел (1) существует и равен конечному числу, то говорят,что данный интеграл сходится. Если предел (1) не существует или равен бесконечности, то  говорят,что данный интеграл  расходится. Обычный интеграл  Римана  (3)


 называется собственным интегралом.Его значение

соответствует  величине  площади криволинейной  трапеции (см. рисунок 1):
                             Y                    f(x)

                                            



                                               a           b                X

Если функция  f  неотрицательна  и  непрерывна  на промежутке [a,b) (b может  быть  бесконечным), то несобственный  интеграл (4)


Равен площади неограниченного открытого множества  G={(x,y):a<x<b,0<y<f(x)}.Интеграл (5)


назовем несобственным  интегралом   1  рода,  аналогично  определяется  интеграл (6):


       Y                                                                                                      Y



                             f(x)                                                                          f(x)
       




                     a                              +¥    X                 -¥                                            a             X

             рис.,поясняющий интеграл (5)                 рис.,поясняющий интеграл (6).
Интеграл


где функция неограниченна в точке b ,но интегрируема по Риману на любом отрезке [a,k]Î[a,b) назовем несобственным интегралом второго рода.(7)


Аналогично определяется несобственный интеграл на полуинтервале (a,b].(8)




    Y                                                                                            Y




                           f(x)                                                                                          f(x)





      0              a               b                   X                                      0                a                     b                  X

            рис.,поясняющий интеграл (7)                                                рис.,поясняющий интеграл (8)
Если  же  функция   определена  на интервале  (a,b)  и неограниченна  в точках  a и b  и  при некотором выборе  точки с  (a,b)  существуют  несобственные  интегралы  на полуинтервалах (a,c] и[c,b),cÎ(a,b).

При этом существование и значение данного интеграла не зависит от выбора точки  с.Тогда


                                                                                                                                                                    

         Y




 .
                                      f(x)
           0           a k            c                l  b        X
Такие интегралы называются несобственными интегралами с двумя (или несколькими) особенностями.(рисунок 2)

Вообще,если функция f :<a,b>®R  имеет на промежутке <a,b> конечное число особых точек и  Т:  a=k1<k2< ……..<kn=b_ такое разбиение  <a,b>, что на каждом  из<ki,ki+1>,i=1¸n,особой  точкой функции является только одна из концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов  (9):




cходится,  то (10)


cходится. Если хотя бы один из (9) расходится,то и весь (10) расходится.Действительно,расходимость хотя бы одного из участников суммы (10) означает,что данный интеграл (9) либо имеет бесконечную величину (см. пример 3,4),либо не имеет конкретного значения (см. пример 2),тем самым обращая всю сумму (10) либо в бесконечность,либо лишая ее конкретного значения.
   Y





                                                                f(x)
      0         a=k1       k2………ki…….kn-1                              kn=b(+¥  в данном случае).

       Рис.,поясняющий  несобственный интеграл с несколькими особенностями (9),(10).
         Рассмотрим некоторые примеры:

Пример 1


По определению интеграл сходится и его величина равна p/4.То есть у площади бесконечной криволинейной трапеции под графиком подынтегральной функции  существует предел.(см. рисунок 3):




Y

  1
  0      1                                      ¥           X
При мер 2


Не существует   при  b®¥  ---  интеграл   расходится.На этом примере хорошо видна разница понятий «предел не существует» и «предел равен бесконечности» (пример 3).Смотрим на рисунок: в зависимости от значения b площадь под графиком принимает значения от  0  до  2,но т.к. b не определено конкретно,то не существует и предела(рисунок 4)
    Y






     1

               +                           +                           +      b?            b?                X

     0             p       -        2p              -                         -     b?           b?     (¥)
Пример 3




Þ  интеграл  расходится.А в этом примере площадь под графиком 1/x имеет бесконечно большую величину.При этом(обратите внимание!!!-частая ошибка студентов) 1/x®0 при  x®¥.

Для сходимости несобственного интеграла при x®¥ необходимо,но не достаточно стремление ^
Пример 4


На концах отрезка  [0,2]  подынтегральная  функция определена.  Но  x=1   -  особая   точка.

Для  сходимости  интеграла  необходима сходимость  интегралов


 

Рассмотрим   сначала


При  b®1  F(b)=ln[(1-x)/(1+x)]  не имеет предела  Þ  данный  и,  как  следствие, исходный  интегралы  расходятся.

Примечание. Если не обратить внимания на особую точку и применить формулу Ньютона-Лейбница, то можно получить неверный ответ  ln1/3.Поэтому прежде чем исследовать  несобственный интеграл на сходимость,полезно внимательно изучить подынтегральную  функцию ,найти ее особые точки  и  построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке  [0,2]  выглядит  примерно  так(рисунок 5)
          Y






           1



           0          1         2                    X





                  ФОРМУЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ                           

                                                        ИНТЕГРАЛОВ.
1)Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f непрерывна на [a,b), и F- первообразная f.Тогда







Здесь еще раз необходимо напомнить,что перед применением формулы следует убедиться в непрерывности f(x).
2)Линейность несобственного интеграла.
Если несобственные интегралы

Сходятся,то для любых чисел  m,n сходятся несобственный интеграл


3)Интегрирование по частям.
Если функции u=u(x),v=v(x) непрерывно дифференцируемы на промежутке [a,b),то

Причем,если любые два из выражений

имеют  смысл (т.е.их пределы конечны),то имеет смысл и третье.Посмотрим пример(5):

Причем

4)Замена переменной в несобственном интеграле.
Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b); функция g(t) непрерывно дифференцируема на [t1,t2),причем g(t1)=a;b=limg(t),t®t2;тогда

При этом интегралы в обеих частях равенства одновременно сходятся или расходятся.Может случиться,что при замене переменной несобственный интеграл становится собственным,и наоборот:

Пример 6:


Монотонность несобственного интеграла.
Если функции f(x) и g(x) интегрируемы по Риману в несобственном смысле на промежутке <a,b> и f(x)<g(x) для всех xÎ<a,b>,то

Рисунок 6,7:




      Y                                                                                     Y

                                                                                                                       g(x)
                                      g(x)                                                                         f(x) 
                                           f(x)

        0                                                              X                    0          a                b                         X
Следствие: fÎR^<a,b>;|f|ÎR^<a,b>;

Рисунок 8:




      Y





                                          |f|

                         +                 +            +              +

        0          a                      -                            -

                                     f

В вышеперечисленных свойствах явно просматривается сходство с поведением обычных Римановских интегралов.Однако нельзя автоматически,без анализа,переносить все свойства собственных интегралов на несобственные интегралы.Например,если функции f,g интегрируемы по Риману на<a,b> в собственном смысле,то их произведение fg тоже интегрируемо.Для несобственных интегралов это свойство выполняется не всегда:

Пример7:

f=g=1/Öx на промежутке(0,1]

т.е. сходится,а для fg=1/x

Интеграл расходится,функция fg=1/x не интегрируема в несобственном смысле на (0,1]
       НЕСОБСТВЕННЫЕ  ИНТЕГРАЛЫ  ОТ ЗНАКОПОСТОЯННЫХ  ФУНКЦИЙ .
В курсе математического анализа встречаются несобственные интегралы,значение которых точно вычислить затруднительно,например (8.1)

и тогда перед студентом ставится задача :исследовать несобственный интеграл на сходимость,не вычисляя его значения.Для этого необходимо  применять следующие методы:
ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ.

Основной признак для исследования сходимости несобтвенных интегралов от знакопостоянных функций.Суть его сводится к подбору так называемой функции сравнения,несобственный интеграл от которой на заданном промежутке легко вычислить,и дать заключение о сходимости исходного интеграла ,используя следующие утверждения:


Пусть функции f(x) и g(x)  неотрицательны на полуинтервале [a,b) и f(x)<g(x).Тогда из сходимости


Справедливость утверждения можно осмыслить ,посмотрев на рисунки 6 и 7.Здесь же необходимо заметить.,что из сходимости




Для применения признака сравнения необходим набор “эталонных” функций.Основными являются степенные функции вида 

Посмотрим,как ведут себя такие функции на промежутке [a,¥) ,а также попробуем применить с их использованием признак сравнения.

Если p=1:смотрим примеры 3 и 7.Интеграл расходится на промежутках [a,¥) и на [a,b) (при неограниченности функции в точке b)

Теперь исследуем на сходимость некоторые функции:

Пример 8:

Пример 9:



Следствие.

Функции f(x) и g(x) знакопостоянны на [a;b), g(x)#0, на данном интервале,и либо существует предел



Теперь посмотрим,как ведёт себя степенная функция на интервале (0;a]:



В случае,если подынтегральная функция имеет особую точку x=b ,необходимо искать функцию сравнения в виде

Исследование которой при замене переменной y=x-b приведёт нас к тоько что рассмотренному случаю на интервале (0;a]
Пример 10:


Следовательно,расходится весь интеграл,отметим только,что на интервале [3;5) функция сравнения имеет вид



Часто для нахождения функции сравнения требуется таблица эквивалентных замен (следствие из формулы Тейлора)
При  x®0

Ln(1+x)~x
Sinx~x
Tgx~x
Arcsinx,arctgx~x







Необходимо помнить также,что при x®¥

Cosx,sinx  есть ограниченные функции,
arctgx®p/2,(-p/2 при x®-¥)
arcctgx®0(p при x®-¥)
При x®0

Arccosx,arcctgx®p/2
Вернёмся к примеру 8.1



Напоминание

По правилу Лопиталя


Пример 11







Исходный интеграл ,состоящий из суммы сходящегося и расходящегося интегралов,тоже расходится.
ПРИЗНАКИ АБЕЛЯ-ДИРИХЛЕ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
.Функции f(x) и g(x):[a;b)®R ,удовлетворяют условиям:
   а)  g(x) локально монотонна при x®b и ограничена на [a;b)

Пример 12

Действительно:




2)Для функций f(x) и g(x),удовлетворяющих условиям на интервале [a;b)
a)g(x) локально монотонна при x®b,g(x)®0


В заключении рассмотрим несобственные интегралы от знакопеременных функций.
Определение:Интеграл от функции f(x) называется абсолютно сходящимся,если сходится интеграл

Если интеграл сходится абсолютно,то он сходится.Если интеграл  от |f(x)| расходится,а от f(x) –сходится,то говорят,что несобственный интеграл сходится условно.Нетрудно понять,что для знакопостоянных функций абсолютная сходимость совпадает  с  обычной.

При исследовании на абсолютную и условную сходимость часто пользуются признаками Абеля-Дирихле.(2)
Пример 13