Реферат

Реферат Сборник Лекций 2 по Мат.Анализу

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 8.11.2024


§3. Дифференциал функции двух переменных


Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р0(х0,у0) частные производные f¢
x
(х0,у0) и f¢
у
(х0,у0). Перейдём от точки Р0 к точке R0(x0+Dx,y0+Dу), придавая переменным х и у в точке Р0 произвольные приращения Dx и Dу, соответственно. При этом функция в точке Р0 получит приращение

                    Df(х0,у0) = f(x0+Dx,y0+Dy) – f(x0,y0) = f(R0) – f(P0).

Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде

        Df(х0,у0) = f¢
x
(х0,у0)Dx + f¢
у
(х0,у0)Dу + a(Dx;Dу) Dx + b(Dx;Dу)Dу,          (1)

где , то функция называется дифференцируемой в точке Р0(х0,у0). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р0 и обозначается df(x0,y0):

                               df(x0,y0) = f¢
x
(х0,у0)Dx + f¢
у
(х0,у0)Dу
.
                                
(2)

Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагаяпоочерёдно f(x,y) = х и f(x,y) = у, получим, что дифференциалы и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно Dx  и Dу . Таким образом

                                            df = f¢
x
 + f¢
у

.



Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако, из справедливости равенства (1) следует

                                      ,

а это означает непрерывность функции в точке (х0,у0). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.

Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифферен­цируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, что функция дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке.

На рисунке 1 график функции z = f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р0Р равна значению функции z в точке P0,






то есть çР0Рç = f(x0,y0) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке P0 положительны, но это не ограничивает справедливости приведенных выше выводов и формул в общем случае). Координатами точек Q0, S0 и R0 являются пары чисел соответственно (x0,y0+Dу); (x0+Dx,y0) и (x0+Dx,y0+Dу), причём çQ0Qç = f(Q0), çS0Sç = f(S0) и çR0Rç = f(R0). Приращение Df(х0,у0) функции в точке Р0 равно çRR2ç.

Параллелограмм PQ1R1S1 лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ2R2S2 расположен в горизонтальной плоскости. Очевидно: çQ2Q1ç = f¢y(x0,y0)Dy и çS2S1ç = f¢x(x0,y0)Dx.

Из легко доказываемого равенства

                                      çR2R1ç = çS2S1ç + çQ2Q1ç

и формулы (2) следует, что дифференциал функции в точке Р0 равен çR2R1ç.

Так как df(x0,y0» Df(x0,y0), дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.



1. Курсовая на тему Внешний государственный долг Российской Федерации
2. Доклад Ель
3. Реферат Маркетинговая деятельность в сфере культуры
4. Статья Природа виндикационного притязания и элементы виндикационного иска
5. Реферат на тему Charles Baxter Essay Research Paper Charles BaxterAuthors
6. Отчет по практике Информационные системы управления 2
7. Сочинение на тему Литературный герой ЛИСИСТРАТА
8. Статья Агата Кристи Десять негритят
9. Реферат на тему Литературное направление новокрестьянская поэзия
10. Реферат Кривичи 2