Реферат Серьёзные лекции по высшей экономической математике
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Правило 3-х
s
(трех “сигм”).
Пусть имеется нормально распределённая случайная величина x с математическим ожиданием, равным а и дисперсией s2. Определим вероятность попадания x в интервал (а – 3s; а + 3s), то есть вероятность того, что x принимает значения, отличающиеся от математического ожидания не более, чем на три среднеквадратических отклонения.
P(а – 3s< x < а + 3s)=Ф(3) – Ф(–3)=2Ф(3)
По таблице находим Ф(3)=0,49865, откуда следует, что 2Ф(3) практически равняется единице. Таким образом, можно сделать важный вывод: нормальная случайная величина принимает значения, отклоняющиеся от ее математического ожидания не более чем на 3s.
(Выбор числа 3 здесь условен и никак не обосновывается: можно было выбрать 2,8, 2,9 или 3,2 и получить тот же вероятностный результат. Учитывая, что Ф(2)=0,477, можно было бы говорить и о правиле 2–х “сигм”.)
Совместное распределение двух случайных величин.
Пусть пространство элементарных исходов W случайного эксперимента таково, что каждому исходу wij ставиться в соответствие значение случайной величины x, равное xi и значение случайной величины h, равное yj.
Примеры:
1. Представим себе большую совокупность деталей, имеющих вид стержня. Случайный эксперимент заключается в случайном выборе одного стержня. Этот стержень имеет длину, которую будем обозначать x и толщину—h (можно указать другие параметры—объем, вес, чистота обработки, выраженная в стандартных единицах).
2. Если результат эксперимента—случайный выбор какого–либо предприятия в данной области, то за x можно принимать объем производства отнесенный к количеству сотрудников, а за h—объем продукции, идущей на экспорт, тоже отнесенной к числу сотрудников.
В этом случае мы можем говорить о совместном распределении случайных величин x и h или о “двумерной” случайной величине.
Если x и h дискретны и принимают конечное число значений (x – n значений, а h – k значений), то закон совместного распределения случайных величин x и h можно задать, если каждой паре чисел xi, yj (где xi принадлежит множеству значений x, а y j—множеству значений h) поставить в соответствие вероятность pij, равную вероятности события, объединяющего все исходы wij (и состоящего лишь из этих исходов), которые приводят к значениям
x = xi; h = y j.
Такой закон распределения можно задать в виде таблицы:
| h x | y1 | y2 | ¼ | yj | ¼ | yk | | |
| x1 | р11 | р12 | ¼ | р1j | ¼ | р1k | P1 | |
| ¼ | ¼ | ¼ | ¼ | ¼ | ¼ | ¼ | ¼ | |
| xi | рi1 | рi2 | ¼ | рij | ¼ | рik | Pi | (*) |
| ¼ | ¼ | ¼ | ¼ | ¼ | ¼ | ¼ | ¼ | |
| xn | рn1 | рn2 | ¼ | рnj | ¼ | рnk | Pn | |
| | P1 | P2 | ¼ | Pj | ¼ | Pk | ¼ | |
Очевидно
Если просуммировать все рij в i–й строке, то получим
вероятность того, что случайная величина x примет значение xi. Аналогично, если просуммировать все рij в j–м столбце, то получим
вероятность того, что h принимает значение y j.
Соответствие xi ® Pi (i = 1,2,¼,n) определяет закон распределения x, также как соответствие yj ® P j (j = 1,2,¼,k) определяет закон распределения случайной величины h.
Очевидно
Раньше мы говорили, что случайные величины x и h независимы, если
pij=Pi×P j (i=1,2,¼,n; j=1,2,¼,k).
Если это не выполняется, то x и h зависимы.
В чем проявляется зависимость случайных величин x и h и как ее выявить из таблицы?
Рассмотрим столбец y1. Каждому числу xi поставим в соответствие число
pi/1=
которое будем называть условной вероятностью x= xi при h=y1. Обратите внимание на то, что это не вероятность Pi события x= xi, и сравните формулу (1) с уже известной формулой условной вероятности
Соответствие
xi®рi/1, (i=1,2,¼,n)
будем называть условным распределением случайной величины x при h=y1. Очевидно
Аналогичные условные законы распределения случайной величины x можно построить при всех остальных значениях h, равных y2; y3,¼, yn ,ставя в соответствие числу xi условную вероятность pi/j =
В таблице приведён условный закон распределения случайной величины x при h=yj
| x | x1 | x2 | ¼ | xi | ¼ | xn |
| pi/j | | | ¼ | | ¼ | |
Можно ввести понятие условного математического ожидания x при h = yj
Заметим, что x и h равноценны. Можно ввести условное распределение h при x=xi соответствием
Также можно ввести понятие условного математического ожидания случайной величины h при x=xi :
Из определения следует, что если x и h независимы, то все условные законы распределения одинаковы и совпадают с законом распределения x (напоминаем, что закон распределения x определяется в таблице (*) первым и последним столбцом). При этом очевидно, совпадают все условные математические ожидания М(x/h = yj) при j = 1,2,¼,k, которые равны Мx.
Если условные законы распределения x при различных значениях h различны, то говорят, что между x и h имеет место статистическая зависимость.
Пример I. Пусть закон совместного распределения двух случайных величин x и h задан следующей таблицей. Здесь, как говорилось ранее, первый и последний столбцы определяют закон распределения случайной величины x, а первая и последняя строки – закон распределения случайной величины h.
| h x | 1 | 2 | 3 | |
| 10 | 1/36 | 0 | 0 | 1/36 |
| 20 | 2/36 | 1/36 | 0 | 3/36 |
| 30 | 2/36 | 3/36 | 2/36 | 7/36 |
| 40 | 1/36 | 8/36 | 16/36 | 25/36 |
| | 6/36 | 12/36 | 18/36 | |
Полигоны условных распределений можно изобразить на трехмерном графике (рис. 1).
| |
Здесь явно просматривается зависимость условного закона распределения x от величины h.
Пример II. (Уже встречавшийся).
Пусть даны две независимые случайные величины x и h с законами распределения
| x | 0 | 1 | | h | 1 | 2 |
| Р | 1/3 | 2/3 | | Р | 3/4 | 1/4 |
Найдем законы распределений случайных величин a=x+h и b=x*h
| a | 1 | 2 | 3 | | b | 0 | 1 | 2 |
| Р | 3/12 | 7/12 | 2/12 | | Р | 4/12 | 6/12 | 2/12 |
Построим таблицу закона совместного распределения a и b.
| b a | 0 | 1 | 2 | |
| 1 | 3/12 | 0 | 0 | 3/12 |
| 2 | 1/12 | 6/12 | 0 | 7/12 |
| 3 | 0 | 0 | 2/12 | 2/12 |
| | 4/12 | 6/12 | 2/12 | |
Чтобы получить a=2 и b=0, нужно чтобы x приняла значение 0, а h приняла значение 2. Так как x и h независимы, то
Р(a=2; b=0)= Р(x=0; h=2)=Р(x=0)*Р(h=2)=1/12.
Очевидно также Р(a=3; b=0)=0.
| |
Построим полигоны условных распределений. Здесь зависимость a от b довольно близка к функциональной: значению b=1 соответствует единственное a=2, значению b=2 соответствует единственное a=3, но при b=0 мы можем говорить лишь, что a с вероятностью
Пример III.
Рассмотрим закон совместного распределения x и h, заданный таблицей
| h x | 0 | 1 | 2 | |
| 1 | 1/30 | 3/30 | 2/30 | 1/5 |
| 2 | 3/30 | 9/30 | 6/30 | 3/5 |
| 3 | 1/30 | 3/30 | 2/30 | 1/5 |
| | 1/6 | 3/6 | 2/6 | |
В этом случае выполняется условие P(x=xi; h=yj)=P(x=xi)*P(h=yj), i=1,2,3¼; j=1,2,3,¼
Построим законы условных распределений
| x | 1 | 2 | 3 |
| | 1/5 | 3/5 | 1/5 |
Законы условных распределений не отличаются друг от друга при h=1,2,3 и совпадают с законом распределения случайной величины x.
В данном случае x и h независимы.
Характеристикой зависимости между случайными величинами x и h служит математическое ожидание произведения отклонений x и h от их центров распределений (так иногда называют математическое ожидание случайной величины), которое называется коэффициентом ковариации или просто ковариацией.
cov(x; h) = M((x–Mx)(h–Mh))
Пусть x = {x1, x2, x3,¼, xn}, h = {y1, y2, y3,¼,yn}. Тогда
cov(x; h)=
Эту формулу можно интерпретировать так. Если при больших значениях x более вероятны большие значения h, а при малых значениях x более вероятны малые значения h, то в правой части формулы (2) положительные слагаемые доминируют, и ковариация принимает положительные значения.
Если же более вероятны произведения (xi – Mx)(yj – Mh), состоящие из сомножителей разного знака, то есть исходы случайного эксперимента, приводящие к большим значениям x в основном приводят к малым значениям h и наоборот, то ковариация принимает большие по модулю отрицательные значения.
В первом случае принято говорить о прямой связи: с ростом x случайная величина h имеет тенденцию к возрастанию.
Во втором случае говорят об обратной связи: с ростом x случайная величина h имеет тенденцию к уменьшению или падению.
Если примерно одинаковый вклад в сумму дают и положительные и отрицательные произведения (xi – Mx)(yj – Mh)pij, то можно сказать, что в сумме они будут “гасить” друг друга и ковариация будет близка к нулю. В этом случае не просматривается зависимость одной случайной величины от другой.
Легко показать, что если
P((x = xi)∩(h = yj)) = P(x = xi)P(h = yj) (i = 1,2,¼,n; j = 1,2,¼,k),
òî cov(x; h)= 0.
Действительно из (2) следует
Здесь использовано очень важное свойство математического ожидания: математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю.
Доказательство (для дискретных случайных величин с конечным числом значений).
Ковариацию удобно представлять в виде
cov(x; h)=M(xh–xMh–hMx+MxMh)=M(xh)–M(xMh)–M(hMx)+M(MxMh)=
=M(xh)–MhMx–MxMh+MxMh=M(xh)–MxMh
Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий.
Легко доказывается следующее свойство математического ожидания: если x и h—независимые случайные величины, то М(xh)=МxМh. (Доказать самим, используя формулу M(xh) =
Таким образом, для независимых случайных величин x и h cov(x;h)=0.
