I.      


II.    Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов.

Для решения дифференциального уравнения:
(I.1)

где функции а_i
(
t
) (
i
=0,1,2) разлагаются в степенной ряд в окрестности точки t
₀
с радиусами сходимости r_i

:

      

   i
=0,1,2


необходимо найти два линейно-независимых решения j₁(t), j₂(t). Такими решениями будут, например, решения уравнения (I.1) с начальными условиями:



Решения j
_i будем искать в виде степенного ряда:



                 (I.2)
методом неопределенных коэффициентов.

     Для решения воспользуемся теоремами.

Теорема 1:   (об аналитическом решении)

Если p₀(x), p₁(x), p₂(x) являются аналитическими функциями x в окрестности точки x=x₀ и p₀(x)≠0, то решения уравнения p₀(x)y^’’ + p₁(x)y^’  + p₂(x)y = 0 также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности той же точки и, значит, решения уравнения можно искать в виде:  y=l₀ + l₁(x-x₀) + l₂(x-x₀)² + … + l_n(x-x₀)ⁿ + …
Теорема 2:   (о разложимости решения в обобщенный степенной ряд)


Если уравнение (I.1) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но x=x₀ является нулем конечного порядка S функции a₀(x), нулем порядка S-1 или выше функции a₁(x) (если S>1) и нулем порядка не ниже S-2 коэффициента a₂(x) (если S>2), то существует, по крайней мере, одно нетривиальное решение уравнения (I.1) в виде суммы обобщенного степенного ряда:

      y= l₀(x - x₀)^k + l₁(x – x₀)^k+1 + … + l_n(x-x₀)^k+n + …

где k- некоторое действительное число, которое может быть как целым, так и дробным, как положительным, так и отрицательным.
Рассмотрим уравнение:

       (I.3)
a₀(t) =  t + 2 ; a₁(t) = -1; a₂(t) = -4t³; a₀(t) ≠ 0 t

по теореме 2 хотя бы одно нетривиальное решение уравнения (I.3) может быть найдено в виде суммы обобщенного степенного ряда (t) = c_n(t-t₀)ⁿ

возьмем t₀ = 0, будем искать решение в виде (t) =  c_ntⁿ        (I.4)

Опираясь на теорему 1 и, дифференцируя ряд (I.4) почленно два раза, получим

  (t) = nc_nt^n-1, (t) = n(n-1)c_nt^n-2

(2+t)( n(n-1)c_nt^n-2) – (nc_nt^n-1) – 4t³( c_ntⁿ)=0

Вычислим коэффициенты при соответствующих степенях:

t⁰ :  4c₂ – c₁=0       4c₂-c₁-4c_-3=0

t¹ :         

  



рекуррентное соотношение имеет вид

          n N, c_-3=0, c_-2=0, c_-1=0             (I.5)

при  n=0,

         n=1,

         n=2,  c₄=0

   n=3,   

   n=m-2,           

          

Итак,

Найдем радиусы сходимости R полученных решений, общим методом не представляется возможным, поэтому на основании теоремы о существовании и единственности решения.







Которые имеют область сходимости (по формуле Даламбера):

а)       

б)         

 Итак, область сходимости

III.             Синтез управления с не более, чем с одним переключением в управляемой системе второго порядка.
Необходимо рассмотреть линейную управляемую систему:



   
 

Требуется подобрать управление и( ), переводящее фазовую точку (х₁,х₂) из заданного начального состояния в начало координат (0,0).

На выбор управления и( ) накладывается условие | и( )|=1 и и( ) имеет не более одного переключения.

 положение равновесия

      Д=-7   фокус, т.к. <0, то  фазовая кривая закручивается.

   


III
.     Малые возмущения системы линейных уравнений

В этой задаче рассматривается система:

с действительными коэффициентами а_ij.

Необходимо исследовать фазовые кривые этой системы:

               (1)
Сведем систему (1) к системе вида:



    (2)


с помощью замены
       (3)
Запишем систему (1) в виде

, где           (4)

Подставим   в систему (4), а   в систему (3), тогда получим:







        (5)

Найдем собственные значения матрицы А:
,

                                                     

Систему (2) можно записать в виде:

,  где         (6)

Из системы (5) и (6) следует, что     

Подберем матрицу С такую, что  пусть   и AC = CB

=





Решив эту систему, получим:  a=-2, b=-1, c=1, d=0,  т.е.      и    

Поставим матрицу С в замену:









Подставим полученные значения в систему (2):

        

, где 

                                                 

При   получаем систему        

Это уравнение малых колебаний маятника. По теореме о дифференцируемости по параметру при малых e решение (на конечном интервале времени) отличается поправкой порядка e от гармонических колебаний:        
Следовательно, при достаточно малом e = e(Т) фазовая точка остается вблизи окружности радиуса А в течении интервала времени Т.

При  фазовая кривая не обязательно замкнутая: она может иметь вид спирали, у которой расстояние между соседними витками очень мало (порядка e). Чтобы узнать, приближается ли фазовая кривая к началу координат или уходит от него, рассмотрим приращение энергии  за один оборот вокруг начала координат. Нас интересует знак этого приращения: на раскручивающейся спирали приращение положительное, на сжимающейся – отрицательное, а на цикле равно 0. Выведем приближенную формулу:
Подставляя значения  и , получим:



Для вычисления энергии за оборот следовало бы проинтегрировать эту функцию вдоль витка фазовой траектории, которая неизвестна. Но виток близок к окружности. Поэтому интеграл можно посчитать с точностью до O() по окружности радиуса А.

Пусть , тогда

        




 для  (при малых положительных значениях ), поэтому фазовые точки удаляются от центра, т.е. фазовая кривая раскручивается.

Вектор скорости кривой направлен по часовой стрелке, так как точка с координатами (1,0) переходит в точку (0,-1)



Так как detC>0, то при замене  на   ориентация системы координат не изменилась.

Литература

1.     Лизоркин Г.И. Курс обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1981, Гл.7. §6. С.344-348.

2.     Эльсгольц Г.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969, Гл.2. §7.

3.     Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969, Гл.1. §5.

4.     Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969, Гл.1. §3.

5.     Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974, Гл.2. §16.

6.     Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975, ГЛ.2. §12. С.73-78, 84-85.